2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（2）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（2）教案 新人教A版導(dǎo)入新課思路1.當(dāng)x1時(shí),f(x)=x+1;當(dāng)x1時(shí),f(x)=-x,請寫出函數(shù)f(x)的解析式.這個(gè)函數(shù)的解析式有什么特點(diǎn)？教師指出本節(jié)課題.思路2.化簡函數(shù)y=|x|的解析式,說說此函數(shù)解析式的特點(diǎn),教師指出本節(jié)課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題函數(shù)h(x)=與f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么區(qū)別?請舉出幾個(gè)分段函數(shù)的例子.活動：學(xué)生討論交流函數(shù)解析式的區(qū)別.所謂“分段函數(shù)”,習(xí)慣上指在定義域的不同部分,有不同對應(yīng)法則的函數(shù).并讓學(xué)生結(jié)合體會來實(shí)際舉例.討論結(jié)果：函數(shù)h(x)是分段函數(shù),在定義域的不同部分,其解析式不

2、同.說明:分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問題,如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅納稅額等等.例如:y=等.應(yīng)用示例思路11.畫出函數(shù)y=|x|的圖象.活動：學(xué)生思考函數(shù)圖象的畫法:化簡函數(shù)的解析式為基本初等函數(shù);利用變換法畫出圖象,根據(jù)絕對值的概念來化簡解析式.解法一：由絕對值的概念,我們有y=所以,函數(shù)y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示.圖1-2-2-10解法二：畫函數(shù)y=x的圖象,將其位于x軸下方的部分對稱到x軸上方,與函數(shù)y=x的圖象位于x軸上方的部分合起來得函數(shù)y=|x|的圖象如

3、圖1-2-2-10所示.變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)y=(1)求fff(5)的值;(2)畫出函數(shù)的圖象.分析:本題主要考查分段函數(shù)及其圖象.f(x)是分段函數(shù),要求fff(5),需要確定ff(5)的取值范圍,為此又需確定f(5)的取值范圍,然后根據(jù)所在定義域代入相應(yīng)的解析式,逐步求解.畫出函數(shù)在各段上的圖象,再合起來就是分段函數(shù)的圖象. 解：(1)54,f(5)=-5+2=-3.-30,ff(5)=f(-3)=-3+4=1.010的圖象.步驟:畫整個(gè)二次函數(shù)y=x2的圖象,再取其在區(qū)間(-,0上的圖象,其他部分刪去不要;畫一次函數(shù)y=-x的圖象,再取其在區(qū)間(0,+)上的圖象,其他部分刪去不要;這兩部

4、分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象.如圖1-2-2-12所示.圖1-2-2-12函數(shù)y=f(x)的圖象位于x軸上方的部分和y=|f(x)|的圖象相同,函數(shù)y=f(x)的圖象位于x軸下方的部分對稱到上方就是函數(shù)y=|f(x)|的圖象的一部分.利用函數(shù)y=f(x)的圖象和函數(shù)y=|f(x)|的圖象的這種關(guān)系,由函數(shù)y=f(x)的圖象畫出函數(shù)y=|f(x)|的圖象.2.某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定:(1)乘坐汽車5千米以內(nèi)(含5千米),票價(jià)2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票價(jià)增加1元(不足5千米按5千米計(jì)算),如果某條線路的總里程為20千米,請根據(jù)題意,寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)

5、解析式,并畫出函數(shù)的圖象.活動：學(xué)生討論交流題目的條件,弄清題意.本例是一個(gè)實(shí)際問題,有具體的實(shí)際意義,根據(jù)實(shí)際情況公共汽車到站才能停車,所以行車?yán)锍讨荒苋≌麛?shù)值.由于里程在不同的范圍內(nèi),票價(jià)有不同的計(jì)算方法,故此函數(shù)是分段函數(shù).解：設(shè)里程為x千米時(shí),票價(jià)為y元,根據(jù)題意得x(0,20.由空調(diào)汽車票價(jià)制定的規(guī)定,可得到以下函數(shù)解析式:圖1-2-2-13y=根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式,可畫出函數(shù)圖象,如圖1-2-2-13所示.點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,以及應(yīng)用函數(shù)解決問題的能力.生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問題,如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅納稅額等等.在列出其解析式時(shí),要充分考慮實(shí)際問

6、題的規(guī)定,根據(jù)規(guī)定來求得解析式.注意：本例具有實(shí)際背景,所以解題時(shí)應(yīng)考慮其實(shí)際意義;分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程,而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.變式訓(xùn)練xx上海中學(xué)高三測試,理7某客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是:如果行程不超過100千米,票價(jià)是每千米0.5元,如果超過100千米,超過部分按每千米0.4元定價(jià),則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行程千米數(shù)x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式是_.分析:根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式.答案：y=思路21.已知函數(shù)f(x)=(1)求f(-1),ff(-1),fff(-1)的值;(2)畫出函數(shù)的圖象.

7、活動：此函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)注意在不同的自變量取值范圍內(nèi)有不同的對應(yīng)關(guān)系.解：(1)f(-1)=0;ff(-1)=f(0)=1;fff(-1)=f(1)=-12+21=1.(2)函數(shù)圖象如圖1-2-2-14所示:圖1-2-2-14變式訓(xùn)練xx福建廈門調(diào)研,文10若定義運(yùn)算ab=則函數(shù)f(x)=x(2-x)的值域是_.分析:由題意得f(x)=畫函數(shù)f(x)的圖象得值域是(-,1.答案：(-,1點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的解析式和圖象.求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),要注意自變量在其定義域的哪一段上,依次代入分段函數(shù)的解析式.畫分段函數(shù)y=(D1,D2,兩兩交集是空集)的圖象步驟是(1)畫整個(gè)函數(shù)y=f1(x

8、)的圖象,再取其在區(qū)間D1上的圖象,其他部分刪去不要;(2)畫整個(gè)函數(shù)y=f2(x)的圖象,再取其在區(qū)間D2上的圖象,其他部分刪去不要;(3)依次畫下去;(4)將各個(gè)部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象.2.如圖1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,動點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿著折線BC、CD、DA前進(jìn)至A,若P點(diǎn)運(yùn)動的路程為x,PAB的面積為y.圖1-2-2-15(1)寫出y=f(x)的解析式,指出函數(shù)的定義域;(2)畫出函數(shù)的圖象并求出函數(shù)的值域.活動：學(xué)生之間相互討論交流,教師幫助學(xué)生審題讀懂題意.首先通過畫草圖可以發(fā)現(xiàn),P點(diǎn)運(yùn)動到不同的位置,y的求法是不同

9、的(如圖1-2-2-16的陰影部分所示).圖1-2-2-16可以看出上述三個(gè)陰影三角形的底是相同的,它們的面積由其高來定,所以只要由運(yùn)動里程x來求出各段的高即可.三角形的面積公式為底乘高除以2,則PAB的面積的計(jì)算方式由點(diǎn)P所在的位置來確定.解：(1)分類討論:當(dāng)P在BC上運(yùn)動時(shí),易知B=60,則知y=10(xsin60)=x,0x4.當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動時(shí),y=102=10,4x10.當(dāng)P在DA上運(yùn)動時(shí),y=10(14-x)sin60=x+35,100,x=0,x0段上的圖象,合在一起得函數(shù)的圖象.(1)如圖1-2-2-19所示,畫法略.圖1-2-2-19(2)f(1)=12=1,f(-1)=

10、1,ff(-1)=f(1)=1.3.某人驅(qū)車以52千米/時(shí)的速度從A地駛往260千米遠(yuǎn)處的B地,到達(dá)B地并停留1.5小時(shí)后,再以65千米/時(shí)的速度返回A地.試將此人驅(qū)車走過的路程s(千米)表示為時(shí)間t的函數(shù).分析:本題中的函數(shù)是分段函數(shù),要由時(shí)間t屬于哪個(gè)時(shí)間段,得到相應(yīng)的解析式.解：從A地到B地,路上的時(shí)間為=5(小時(shí));從B地回到A地,路上的時(shí)間為=4(小時(shí)).所以走過的路程s(千米)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s=拓展提升問題:已知函數(shù)y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,nN*.(1)求:f(2),f(3),f(4),f(5);(2)猜想f(n),nN*.探究:(1)由題意得f(1)=

11、1,則有f(2)=f(1)+2=1+2=3,f(3)=f(2)+2=3+2=5,f(4)=f(3)+2=5+2=7,f(5)=f(4)+2=7+2=9.(2)由(1)得f(1)=1=21-1,f(2)=3=22-1,f(3)=5=23-1,f(4)=7=24-1,f(5)=9=25-1.因此猜想f(n)=2n-1,nN*.課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了:畫分段函數(shù)的圖象;求分段函數(shù)的解析式以及分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.作業(yè)課本P25習(xí)題1.2 B組 3、4.設(shè)計(jì)感想本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)容量較大,特別是例題條件有圖,建議使用信息技術(shù)來完成.本節(jié)重點(diǎn)設(shè)計(jì)了分段函數(shù),這是課標(biāo)明確要求也是高考的重點(diǎn),通過分段函數(shù)問題能夠區(qū)分學(xué)生的思維層次,因此教學(xué)中應(yīng)予以重視.