《2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版選修2-1（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章 圓錐曲線與方程1利用橢圓的定義解題橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)有些問題，如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來解決，可以起到事半功倍的效果，下面通過幾個(gè)例子進(jìn)行說明1求最值例1線段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動時(shí)，PM的長度的最小值是()A2 B. C. D5解析由于|PA|PB|64|AB|，故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn)，A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a3，c2，b.于是PM的長度的最小值是b.答案C2求動點(diǎn)坐標(biāo)例2橢圓1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析設(shè)橢圓上的動點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a10，所
2、以|PF1|PF2|2225，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號由解得|PF1|PF2|5a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)答案(3，0)點(diǎn)評由橢圓的定義可得“|PF1|PF2|10”，即兩個(gè)正數(shù)|PF1|，|PF2|的和為定值，結(jié)合均值不等式可求|PF1|，|PF2|積的最大值，結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo)3求焦點(diǎn)三角形面積例3如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面積解由已知，得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120
3、，即|PF2|2|PF1|242|PF1|， 由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.將代入，得|PF1|.所以2，即PF1F2的面積是.點(diǎn)評在PF1F2中，由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，消去|PF2|可求|PF1|.從以上問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問題，我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解.2如何求橢圓的離心率1由橢圓的定義求離心率例1以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為_解析如圖所示，設(shè)橢圓的方程為1 (ab0)，半焦距為c，由題
4、意知F1AF290，AF2F160.|AF2|c，|AF1|2csin 60c.|AF1|AF2|2a(1)c.e1.答案1點(diǎn)評本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì)，并結(jié)合橢圓的定義，化難為易，使問題簡單解決2解方程(組)求離心率例2橢圓1 (ab0)的左焦點(diǎn)為F1(c，0)，A(a，0)、B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F1到直線AB的距離為，則橢圓的離心率e_.解析如圖所示，直線AB的方程為1，即bxayab0.點(diǎn)F1(c，0)到直線AB的距離為，|ac|，即7a214ac7c2a2b2.又b2a2c2，整理，得5a214ac8c20.兩邊同除以a2并由e知，8e214e50，解得e或e(舍去)答
5、案3利用數(shù)形結(jié)合求離心率例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓1(ab0)，圓O的半徑為a，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，且這兩條切線互相垂直，則離心率e_.解析如圖所示，切線PA、PB互相垂直，PAPB.又OAPA，OBPB，OAOB，則四邊形OAPB是正方形，故OPOA，即a，e.答案4綜合類例4設(shè)M為橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，如果MF1F275，MF2F115，求橢圓的離心率解由正弦定理得，e.點(diǎn)評此題可推廣為若MF1F2，MF2F1，則橢圓的離心率e.3活用雙曲線定義妙解題在解雙曲線中的有關(guān)求動點(diǎn)軌跡、離心率、最值等問題時(shí)，若能靈活應(yīng)用雙曲線的定義，能把大題化為小題，起到事半功倍
6、的作用下面舉例說明1求動點(diǎn)軌跡例1動圓C與兩定圓C1：x2(y5)21和圓C2：x2(y5)216都外切，求動圓圓心C的軌跡方程解設(shè)動圓圓心為C(x，y)，半徑為r，因?yàn)閯訄AC與兩定圓相外切，所以即|CC2|CC1|3|C1C2|10，所以點(diǎn)C的軌跡是以C1(0，5)，C2(0，5)為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且a，c5，所以b2.故動圓圓心C的軌跡方程為1(y)點(diǎn)評依據(jù)動圓與兩定圓外切建立關(guān)系式，易得到|CC2|CC1|30，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，試求該雙曲線離心率的取值范圍解因?yàn)閨PF1|4|PF2|，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以設(shè)|P
7、F2|m，則|PF1|4m，由雙曲線的定義，則|PF1|PF2|4mm2a，所以ma.又|PF1|PF2|F1F2|，即4mm2c，所以mc，即ac，所以e.又e1，所以雙曲線離心率的取值范圍為(1，點(diǎn)評本題利用雙曲線的定義及三角形的兩邊之和與第三邊之間的關(guān)系建立了關(guān)于雙曲線基本量a，c的不等關(guān)系，使問題得以巧妙地轉(zhuǎn)化、獲解4拋物線的焦點(diǎn)弦例1如圖所示，AB是拋物線y22px(p0)過焦點(diǎn)F的一條弦設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，過A、M、B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1、M1、B1，則有以下重要結(jié)論：(1)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切；(2)|A
8、B|2(x0)(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)；(3)|AB|x1x2p；(4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2，y1y2p2；(5)A1FB1F；(6)A、O、B1三點(diǎn)共線；(7).以下以第(7)條結(jié)論為例證明：證明當(dāng)直線AB的斜率不存在，即與x軸垂直時(shí)，|FA|FB|p，.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk，并代入y22px，22px，即k2x2p(2k2)x0.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xAxB，xAxB.|FA|xA，|FB|xB，|FA|FB|xAxBp，|FA|FB|xAxB(xAxB)(xAxBp)|FA|FB|FA|FB|，即.點(diǎn)評該結(jié)
9、論是拋物線過焦點(diǎn)的弦所具有的一個(gè)重要性質(zhì)，解題時(shí)，不可忽視ABx軸的情況例2設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.解析設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1，0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案65求曲線方程的常用方法曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的常考點(diǎn)求曲線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)曲線的不同背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能簡捷明快地解決問題下面對其求法進(jìn)行探究1定義法求曲線方程時(shí)，如果動點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識去尋
10、求其數(shù)量關(guān)系，再由曲線定義直接寫出方程，這種方法叫做定義法例1如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1，0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍解(1) 依題意，直線m為線段AM的垂直平分線，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a2|AC|，N的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，
11、長軸長為2a，焦距為2的橢圓當(dāng)a2時(shí)，長軸長為2a4，焦距為2c2，b2a2c23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. (2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (ab0)由(1)知a2b21.又C(1，0)，B(0，b)，直線l的方程為1，即bxyb0.設(shè)Q(x，y)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1，0)關(guān)于直線l對稱，消去x得y.離心率e，e2，即.a24.b214，即b，y2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)取等號又當(dāng)b時(shí)，y；當(dāng)b時(shí)，y.y2.點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，22直接法若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系，或者可運(yùn)用平面幾何的知識推導(dǎo)出等量關(guān)系，則可通過“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動點(diǎn)的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法例2
12、已知直線l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一動圓M(圓心和半徑都在變動)與l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26，24.求圓心M的軌跡方程解如圖，設(shè)M(x，y)，圓半徑為r，M到l1，l2的距離分別是d1，d2，則d132r2，d122r2，dd25，即2225，化簡得圓心M的軌跡方程是(x1)2y265.點(diǎn)評若動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律是一些幾何量的等量關(guān)系，則常用直接法求解，即將這些關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成含有動點(diǎn)坐標(biāo)x，y的方程即可3待定系數(shù)法若已知曲線(軌跡)的形狀，求曲線(軌跡)的方程時(shí)，可由待定系數(shù)法求解例3已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，
13、A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且cosOFA，求橢圓的方程解橢圓的長軸長為6，cosOFA，所以點(diǎn)A不是長軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，所以|OF|c，|AF|a3，所以c2，b232225，故橢圓的方程為1或1.4相關(guān)點(diǎn)法(或代入法)如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立某種關(guān)系，借助于點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡便可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡例4如圖所示，從雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q引直線l：xy2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻是QN的中點(diǎn)，為此需用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程即可解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x
14、0，y0)，點(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2xx0，2yy0)又點(diǎn)N在直線xy2上，2xx02yy02，即x0y02x2y2.又QNl，kQN1，即x0y0xy.由，得x0(3xy2)，y0(x3y2)又點(diǎn)Q在雙曲線上，(3xy2)2(x3y2)21.化簡，得22.線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為22.點(diǎn)評本題中動點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān)，而Q點(diǎn)的軌跡確定，所以解決這類問題的關(guān)鍵是找出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法求解5參數(shù)法有時(shí)求動點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動常常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，
15、y)中的x，y分別隨另一個(gè)變量的變化而變化，我們可以設(shè)這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法例5已知點(diǎn)P在直線x2上移動，直線l通過原點(diǎn)且與OP垂直，通過點(diǎn)A(1，0)及點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程解如圖，設(shè)OP的斜率為k，則P(2，2k)當(dāng)k0時(shí)，直線l的方程：yx；直線m的方程：y2k(x1)聯(lián)立消去k得2x2y22x0 (x1)當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)(0，0)也滿足上式，故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2y22x0(x1)6解析幾何中的定值與最值問題1定點(diǎn)、定值問題對于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，
16、用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口例1已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與a(3，1)共線設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 (，R)，求證：22為定值證明M是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，則，此時(shí)1，0，221，現(xiàn)在需要證明22為定值1.設(shè)橢圓方程為1 (ab0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直線ON的方向向量為，a，.a23b2，橢圓方程為x23y23b2，
17、又直線方程為yxc.聯(lián)立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又設(shè)M(x，y)，則由，得代入橢圓方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22為定值例2已知橢圓1(a0，b0)過點(diǎn)(0，1)，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足1，2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若123，試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)解(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b1，且(2a)2(
18、2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以橢圓的方程為y21.(2)由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由題意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230，由題意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由題意mt0，mt1，滿足，得l方程為xty1，過定點(diǎn)(1，0)，即Q為定點(diǎn)2最值問題解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾
19、何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及均值不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_解析設(shè)右焦點(diǎn)為F，由題意可知F坐標(biāo)為(4，0)，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P、F、A三點(diǎn)共線，最小值即4|FA|4459.答案9點(diǎn)評“化曲為直
20、”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問題常用此法例4已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求的最小值解(1)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡得y22x2|x|.當(dāng)x0時(shí)，y24x；當(dāng)x0時(shí)，y0.所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x (x0)和y0 (x0)，則圓的方程可設(shè)為(xp)2(yp)28，由于O(0，0)在圓上，p2p28，解得p2，圓
21、C的方程為(x2)2(y2)28.(2)橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，由橢圓的定義知2a10，a5，橢圓右焦點(diǎn)為F(4，0)假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|OF|，則有且m2n20，解得故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q.3直線存在型問題例3試問是否能找到一條斜率為k (k0)的直線l與橢圓y21交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使M，N到點(diǎn)A(0，1)的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由分析假設(shè)滿足條件的直線l存在，由平面解析幾何的相關(guān)知識求解解設(shè)直線l：ykxm為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只要APMN即可由得(13k2)x26m
22、kx3m230.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則xP，yPkxPm，kAP.APMN， (k0)，故m.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)(1k2)0，得1k|F1F2|，亦即2a2c.而本題中|MF1|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.正解因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.答案D3忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤例3設(shè)拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線與直線y1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線方程為y.又與直線y1的距離為3的直線為y2或y4.故2或4.m8或m16.所
23、以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y8x2或y16x2.錯(cuò)因分析錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)，應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征，故本題應(yīng)先化為x2y的形式，再求解.正解由于ymx2 (m0)可化為x2y，其準(zhǔn)線方程為y.由題意知2或4，解得m或m.則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y或x216y.4涉及弦長問題時(shí)，忽視判別式0這一隱含條件而致誤例4正方形ABCD的A，B兩點(diǎn)在拋物線yx2上，另兩點(diǎn)C，D在直線yx4上，求正方形的邊長錯(cuò)解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2
24、(14b)，即b28b120，解得b2或b6，|AB|3或|AB|5.錯(cuò)因分析在考慮直線AB與拋物線相交時(shí)，必須有方程x2xb0的判別式0，以此來限制b的取舍.正解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，14b0，b.b2或b6都滿足0，b2或b6.|AB|3或|AB|5.5求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，忽略對焦點(diǎn)位置討論致誤例5拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，且|AF|5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解
25、一因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，所以拋物線方程可設(shè)為y22px(p0)設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.錯(cuò)解二因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，所以當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)A在第四象限，拋物線方程可設(shè)為y22px(p0)設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.當(dāng)m0)，設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或(舍去)所以拋物線方程為y22(5)x.綜上所述，拋物線方程為y22(5)x或y22x或y218x.錯(cuò)因分析當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，需分
26、類討論.正解因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，所以當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)A在第四象限，拋物線方程可設(shè)為y22px(p0)，設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.當(dāng)m0)，設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.綜上所述，拋物線方程為y22x或y218x或y22x或y218x.9圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法1方程思想方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或解方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決本章中，方程思想的應(yīng)用最為廣泛例
27、1已知直線yx2和橢圓1 (ab0)相交于A，B兩點(diǎn)，且a2b，若|AB|2，求橢圓的方程解由消去y并整理得x24x82b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x24，x1x282b2.|AB|2， 2，即2，解得b24，故a24b216.所求橢圓的方程為1.2函數(shù)思想很多與圓錐曲線有關(guān)的問題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動變化時(shí)，都是相互聯(lián)系、相互制約的，它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系這類問題若用函數(shù)思想來分析、尋找解題思路，會有很好的效果一些最值問題常用函數(shù)思想，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長問題，是經(jīng)常使用的方法例2若點(diǎn)(x，y)在1 (b0)上運(yùn)動，求x22y的最大值解1 (
28、b0)，x240，即byb.x22y42y2y424.當(dāng)b，即0b，即b4時(shí)，若yb，則x22y取得最大值，其最大值為2b.綜上所述，x22y的最大值為3轉(zhuǎn)化和化歸思想在解決圓錐曲線的綜合問題時(shí)，經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求，真正化歸為直線和圓錐曲線的基本問題這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵，沒有轉(zhuǎn)化和化歸，就很難找到解決問題的途徑和方法例3如圖所示，已知橢圓1，直線l：x12，P是l上任意一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在線段OP上，且滿足|OQ|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解設(shè)P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，POx.|OR|2|OQ|O
29、P|，2.由題意知xR0，x0，xx12.又O，Q，R三點(diǎn)共線，kOQkOR，即.由得y.點(diǎn)R(xR，yR)在橢圓1上，1.由得2(x1)23y22 (x0)，點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x1)23y22 (x0)4分類討論思想本章中，涉及的字母參數(shù)較多，同時(shí)圓錐曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以必須要注意分類討論例4求與雙曲線y21有共同的漸近線且焦距為10的雙曲線的方程分析由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為y2 (0)，將分為0，0時(shí)，c24525，即5，所求雙曲線的方程為1.當(dāng)0時(shí)，c2(4)()525，即5，所求雙曲線的方程為1.綜上所述，所求雙曲線的方程為1或1.5數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問題例5在ABC中，BC邊固定，頂點(diǎn)A在移動，設(shè)|BC|m，當(dāng)三個(gè)角滿足條件|sin Csin B|sin A|時(shí)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示則B，C.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x，y)，由題設(shè)，得|sin Csin B|sin A|.根據(jù)正弦定理，得|AB|AC|mm|BC|.可知點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線上2am，a.又cm，b2c2a2m2.故所求點(diǎn)A的軌跡方程為1(y0).23
2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版選修2-1
