2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 平行關(guān)系學(xué)案 北師大版

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1、第4節(jié)平行關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.知 識(shí) 梳 理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a，b，aba性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a，a，bab2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面.(2)判

2、定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a，b，abP，a，b性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，aa如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，a，bab常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.平行關(guān)系中的兩個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.2.線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)化診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()(2)若直線a平面，P，則過點(diǎn)P且平行于

3、直線a的直線有無數(shù)條.()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a，P，則過點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材習(xí)題改編)下列命題中正確的是()A.若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B.若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行C.

4、平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b解析根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.答案D3.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m.“m”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)m時(shí)，可能，也可能與相交.當(dāng)時(shí)，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分條件.答案B4.(2018西安模擬)已知m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A.m，n，則mn B.mn，m，則nC.m，m，則 D.，則解析A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n或n，B不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，C正

5、確；D中，或與相交，D錯(cuò).答案C5.(教材練習(xí)改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_.解析連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以EO為BDD1的中位線，則BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定【例1】 (1)(2018成都診斷)已知m，n是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且m，n.有下列命題：若，則mn；若，則m；若l，且ml，nl，則；若l，且ml，mn，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D

6、.3(2)(2018安慶模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BPBD1，則下面說法正確的是_(填序號(hào)).MN平面APC；C1Q平面APC；A，P，M三點(diǎn)共線；平面MNQ平面APC.解析(1)若，則mn或m，n異面，不正確；若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得m，正確；若l，且ml，nl，則與不一定垂直，不正確；若l，且ml，mn，l與n不一定相交，不能推出，不正確.(2)如圖，對(duì)于，連接MN，AC，則MNAC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN面APC，所以MN面APC是錯(cuò)誤的.對(duì)于，由知M，N在平面APC內(nèi)，由

7、題易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q面APC是正確的.對(duì)于，由知，A，P，M三點(diǎn)共線是正確的.對(duì)于，由知MN面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ面APC是錯(cuò)誤的.答案(1)B(2)規(guī)律方法1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng).2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)m，n是不同的直線，是

8、不同的平面，且m，n，則“”是“m且n”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2016全國卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào)).解析(1)若m，n，則m且n；反之若m，n，m且n，則與相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要條件.(2)當(dāng)mn，m，n時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.答案(1)A(2)考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多維探

9、究)命題角度1直線與平面平行的判定【例21】 (2016全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積.(1)證明由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由

10、ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42.所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.命題角度2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例22】 (2018宜春質(zhì)檢)如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，ABC是正三角形，AB1，AE2，F(xiàn)是線段BC上一點(diǎn)，直線BC與平面ABD所成角為30，CE平面ADF.(1)試確定F的位置；(2)求三棱錐ACDF的體積.解(1)連接BE交AD于點(diǎn)O，連接OF，CE平面ADF，CE平面BEC，平面ADF平面BECOF，CEOF.O是BE的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).(2)BC與平面ABD所成角為30，BCAB1，C到平面ABD的距離為

11、hBCsin 30.AE2，VACDFVFACDVBACDVCABD12.規(guī)律方法1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.【訓(xùn)練2】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)

12、，ABAD，EFAD，則ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，ADAC.考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)(典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，

13、則GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綊AB，A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【遷移探究1】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，四邊形A1AC

14、C1是平行四邊形，M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，D為BC的中點(diǎn)，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.【遷移探究2】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D平面AB1D1”，試求的值.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D平面AB

15、1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，則1.又由題設(shè)，1，即1.規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【訓(xùn)練3】 (2018東北三省四校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACAA1，E，F(xiàn)分別是棱

16、BC，CC1的中點(diǎn).(1)若線段AC上存在點(diǎn)D滿足平面DEF平面ABC1，試確定點(diǎn)D的位置，并說明理由；(2)證明：EFA1C.(1)解點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，理由如下：平面DEF平面ABC1，平面ABC平面DEFDE，平面ABC平面ABC1AB，ABDE，在ABC中，E是BC的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn).(2)證明三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA1，四邊形A1ACC1是菱形，A1CAC1.AA1底面ABC，AB平面ABC，AA1AB，又ABAC，AA1ACA，AB平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，ABA1C.又ABAC1A，從而A1C平面ABC1，又BC1平面ABC1，A1CBC1.又E，F(xiàn)

17、分別是BC，CC1的中點(diǎn)，EFBC1，從而EFA1C.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2018安康模擬)有下列命題：若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析命題l可以在平面內(nèi)，不正確；命題直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確；命題a可以在平面內(nèi)，不正確；命題正確.答案A2.(2018長郡中學(xué)質(zhì)檢)如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D

18、.以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，過A1B1的平面與平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案B3.(2018廣東省際名校聯(lián)考)已知，為平面，a，b，c為直線，下列命題正確的是()A.a，若ba，則bB.，c，bc，則bC.ab，bc，則acD.abA，a，b，a，b，則解析選項(xiàng)A中，b或b，不正確.B中b與可能斜交，B錯(cuò)誤.C中ac，a與c異面，或a與c相交，C錯(cuò)誤.利用面面平行的判定定理，易知D正確.答案D4.(2018合肥模擬)若平面截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面平行的棱有()A.0

19、條 B.1條C.2條 D.1條或2條解析如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面BCD平面ACDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH.CD平面EFGH，同理，AB平面EFGH，所以與平面(面EFGH)平行的棱有2條.答案C5.(2018吉安模擬)設(shè)直線l，m，平面，則下列條件能推出的是()A.l，m，且l，mB.l，m，且lmC.l，m，且lmD.l，m，且lm解析借助如圖所示的長方體模型，可以判定選項(xiàng)A，B，D不一定推出.對(duì)于選項(xiàng)C，由l，lm，得m，又m，從而.答案C二、填空題6.設(shè)，是三個(gè)不同

20、的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.，n；m，n；n，m.可以填入的條件有_.解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確.答案或7.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E為AD中點(diǎn)，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，EFAC.答案8.(2018鄭州調(diào)研)設(shè)m，n是

21、兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若m，n，mn，則.其中是真命題的是_(填上正確命題的序號(hào)).解析mn或m，n異面，故錯(cuò)誤；易知正確；m或m，故錯(cuò)誤；或與相交，故錯(cuò)誤.答案三、解答題9.一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解(1)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示.(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以B

22、CEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.10.(2018張家口檢測(cè))如圖，四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDDC2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).(1)證明：DF平面PBE；(2)求點(diǎn)F到平面PBE的距離.(1)證明取PB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則FGBC，且FGBC.DEBC且DEBC，DEFG且DEFG，四邊形DEGF為平行四邊形，DFEG.又DF平面PBE，EG平面PBE，故DF平面PBE.(2)解由(1)知DF平面

23、PBE，點(diǎn)D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D到平面PBE的距離，設(shè)為d，連接BD.VDPBEVPBDE，SPBEdSBDEPD，由題意可求得PEBE，PB2，SPBE2.又SBDEDEAB121，d，即點(diǎn)F到平面PBE的距離為.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.已知m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A.若，垂直于同一平面，則與平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析A項(xiàng)，可能相交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行

24、或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m，n，mn，則m，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有mn與已知m，n不平行矛盾，所以原命題正確，故D項(xiàng)正確.答案D12.如圖所示，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B平面B1CD，則A1DDC1的值為_.解析設(shè)BC1B1CO，連接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四邊形BCC1B1是菱形，O為BC1的中點(diǎn)，D為A1C1的中點(diǎn)，則A1DDC11.答案113.(2016山東卷)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求證：ACFB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH平面ABC.證明(1)因?yàn)镋FDB，所以EF與DB確定平面BDEF，圖如圖，連接DE.因?yàn)锳EEC，D為AC的中點(diǎn)，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因?yàn)镕B平面BDEF，所以ACFB.(2)如圖，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.圖在CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因?yàn)镚H平面GHI，所以GH平面ABC.15