2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 平行關(guān)系學(xué)案 北師大版

第4節(jié)平行關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.知 識 梳 理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面沒有公共點，則稱直線l與平面平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a，b，aba性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a，a，bab2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫作平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a，b，abP，a，b性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面，aa如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行，a，bab常用結(jié)論與微點提醒1.平行關(guān)系中的兩個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a，a，則.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若，則.2.線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)化診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()(2)若直線a平面，P，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.()(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯誤.(2)若a，P，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤.(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.(教材習(xí)題改編)下列命題中正確的是()A.若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B.若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個平面平行D.若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b解析根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.答案D3.設(shè)，是兩個不同的平面，m是直線且m.“m”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)m時，可能，也可能與相交.當(dāng)時，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分條件.答案B4.(2018·西安模擬)已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A.m，n，則mn B.mn，m，則nC.m，m，則 D.，則解析A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n或n，B不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，C正確；D中，或與相交，D錯.答案C5.(教材練習(xí)改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_.解析連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點，E為DD1的中點，所以EO為BDD1的中位線，則BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行考點一與線、面平行相關(guān)命題的判定【例1】 (1)(2018·成都診斷)已知m，n是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且m，n.有下列命題：若，則mn；若，則m；若l，且ml，nl，則；若l，且ml，mn，則.其中真命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2018·安慶模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BPBD1，則下面說法正確的是_(填序號).MN平面APC；C1Q平面APC；A，P，M三點共線；平面MNQ平面APC.解析(1)若，則mn或m，n異面，不正確；若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得m，正確；若l，且ml，nl，則與不一定垂直，不正確；若l，且ml，mn，l與n不一定相交，不能推出，不正確.(2)如圖，對于，連接MN，AC，則MNAC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN面APC，所以MN面APC是錯誤的.對于，由知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q面APC是正確的.對于，由知，A，P，M三點共線是正確的.對于，由知MN面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ面APC是錯誤的.答案(1)B(2)規(guī)律方法1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，且m，n，則“”是“m且n”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2016·全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號).解析(1)若m，n，則m且n；反之若m，n，m且n，則與相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要條件.(2)當(dāng)mn，m，n時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故錯誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.答案(1)A(2)考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多維探究)命題角度1直線與平面平行的判定【例21】 (2016·全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點.(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積.(1)證明由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因為PA平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM×4×2.所以四面體NBCM的體積VNBCM×SBCM×.命題角度2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例22】 (2018·宜春質(zhì)檢)如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，ABC是正三角形，AB1，AE2，F(xiàn)是線段BC上一點，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE平面ADF.(1)試確定F的位置；(2)求三棱錐ACDF的體積.解(1)連接BE交AD于點O，連接OF，CE平面ADF，CE平面BEC，平面ADF平面BECOF，CEOF.O是BE的中點，F(xiàn)是BC的中點.(2)BC與平面ABD所成角為30°，BCAB1，C到平面ABD的距離為hBC·sin 30°.AE2，VACDFVFACDVBACDVCABD×××1×2×.規(guī)律方法1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反.【訓(xùn)練2】 (2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，ABAD，EFAD，則ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因為AC平面ABC，ADAC.考點三面面平行的判定與性質(zhì)(典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點，GH是A1B1C1的中位線，則GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面.(2)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綊AB，A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【遷移探究1】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點M，四邊形A1ACC1是平行四邊形，M是A1C的中點，連接MD，D為BC的中點，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.【遷移探究2】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D平面AB1D1”，試求的值.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，則1.又由題設(shè)，1，即1.規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【訓(xùn)練3】 (2018·東北三省四校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACAA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點.(1)若線段AC上存在點D滿足平面DEF平面ABC1，試確定點D的位置，并說明理由；(2)證明：EFA1C.(1)解點D是AC的中點，理由如下：平面DEF平面ABC1，平面ABC平面DEFDE，平面ABC平面ABC1AB，ABDE，在ABC中，E是BC的中點，D是AC的中點.(2)證明三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA1，四邊形A1ACC1是菱形，A1CAC1.AA1底面ABC，AB平面ABC，AA1AB，又ABAC，AA1ACA，AB平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，ABA1C.又ABAC1A，從而A1C平面ABC1，又BC1平面ABC1，A1CBC1.又E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，EFBC1，從而EFA1C.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2018·安康模擬)有下列命題：若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析命題l可以在平面內(nèi)，不正確；命題直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確；命題a可以在平面內(nèi)，不正確；命題正確.答案A2.(2018·長郡中學(xué)質(zhì)檢)如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，過A1B1的平面與平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案B3.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)已知，為平面，a，b，c為直線，下列命題正確的是()A.a，若ba，則bB.，c，bc，則bC.ab，bc，則acD.abA，a，b，a，b，則解析選項A中，b或b，不正確.B中b與可能斜交，B錯誤.C中ac，a與c異面，或a與c相交，C錯誤.利用面面平行的判定定理，易知D正確.答案D4.(2018·合肥模擬)若平面截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面平行的棱有()A.0條 B.1條C.2條 D.1條或2條解析如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面BCD平面ACDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH.CD平面EFGH，同理，AB平面EFGH，所以與平面(面EFGH)平行的棱有2條.答案C5.(2018·吉安模擬)設(shè)直線l，m，平面，則下列條件能推出的是()A.l，m，且l，mB.l，m，且lmC.l，m，且lmD.l，m，且lm解析借助如圖所示的長方體模型，可以判定選項A，B，D不一定推出.對于選項C，由l，lm，得m，又m，從而.答案C二、填空題6.設(shè)，是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.，n；m，n；n，m.可以填入的條件有_.解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，正確.答案或7.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E為AD中點，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC中點，EFAC.答案8.(2018·鄭州調(diào)研)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若m，n，mn，則.其中是真命題的是_(填上正確命題的序號).解析mn或m，n異面，故錯誤；易知正確；m或m，故錯誤；或與相交，故錯誤.答案三、解答題9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解(1)點F，G，H的位置如圖所示.(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.10.(2018·張家口檢測)如圖，四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDDC2，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點.(1)證明：DF平面PBE；(2)求點F到平面PBE的距離.(1)證明取PB的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則FGBC，且FGBC.DEBC且DEBC，DEFG且DEFG，四邊形DEGF為平行四邊形，DFEG.又DF平面PBE，EG平面PBE，故DF平面PBE.(2)解由(1)知DF平面PBE，點D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點D到平面PBE的距離，設(shè)為d，連接BD.VDPBEVPBDE，SPBE·dSBDE·PD，由題意可求得PEBE，PB2，SPBE×2×.又SBDEDE·AB×1×21，d，即點F到平面PBE的距離為.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.已知m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A.若，垂直于同一平面，則與平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面解析A項，可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若m，n，mn，則m，故錯誤；D項，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有mn與已知m，n不平行矛盾，所以原命題正確，故D項正確.答案D12.如圖所示，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點且A1B平面B1CD，則A1DDC1的值為_.解析設(shè)BC1B1CO，連接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四邊形BCC1B1是菱形，O為BC1的中點，D為A1C1的中點，則A1DDC11.答案113.(2016·山東卷)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求證：ACFB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH平面ABC.證明(1)因為EFDB，所以EF與DB確定平面BDEF，圖如圖，連接DE.因為AEEC，D為AC的中點，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因為FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如圖，設(shè)FC的中點為I，連接GI，HI.圖在CEF中，因為G是CE的中點，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因為H是FB的中點，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因為GH平面GHI，所以GH平面ABC.15