2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解學(xué)案 文

《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解學(xué)案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解學(xué)案 文（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、突破點(diǎn)9空間幾何體表面積或體積的求解核心知識提煉提煉1 求解幾何體的表面積或體積(1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切(1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長為a ，由正四面體本身的對稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑ra，外接球的半徑Ra.圖91(2)正方體與球：設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，O為其對稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC

2、，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖91所示正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ；正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG；正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1.高考真題回訪回訪1幾何體的表面積或體積1(2017全國卷)如圖92，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()圖92A90B63C42 D36B方法1：(割補(bǔ)法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得將圓柱補(bǔ)

3、全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V32432663.故選B.方法2：(估值法)由題意，知V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B.2.(2016全國卷)如圖93是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖93A20B24C28 D32C由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為22416，底面積為224；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長為4，所以圓錐的側(cè)面積為248.所以該幾何體的表面積為S16

4、4828.3(2015全國卷)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖94，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖94A.BC.DD由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1111，剩余部分的體積V213.所以，故選D.回訪2球與幾何體的外接與內(nèi)切4(2017全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A B.C. D.B設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)

5、成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h1.故選B.5(2015全國卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64 C.144 D256C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時，VOABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時，體積VOABC最大為R2R36，R6，球O的表面積為4R2462144.故選C.6(2013全國卷)如圖95，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注

6、水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()圖95A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3A如圖，作出球的一個截面，則MC862(cm)，BMAB84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3)熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解【例1】(1)(2017黃山二模)一個幾何體的三視圖如圖96所示，則該幾何體的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號：04024087】圖96A4B4C4 D.(2)(2016全國卷)如圖97，網(wǎng)格紙

7、上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖97A1836 B5418C90 D81(1)C(2)B(1)由三視圖可知該幾何體為四棱錐PABCD，其中PA底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，AD2，BC4，ADAB，AP2，AB2，該幾何體的體積V224.故選C.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(333633)25418.故選B.方法指津1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化

8、是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)(2017平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖98所示，則該幾何體的體積為()A. B5C5 D.圖98(2)(2017江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖99所示，則該幾何體的表面積是()圖99A48 B48C482 D482(3)(名師押題)如圖910

9、，從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為_cm3.圖910(1)D(2)A(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個長方體，一個三棱錐和一個圓柱組成，故該幾何體的體積為V212112122.(2)該幾何體是正四棱柱中挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2222451221248，故選A.(3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1CD1B1的體積又V三棱錐C1CD1B1V三棱錐CB1C1D1636(cm3)，所以用圖示中

10、這樣一個裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時刻謹(jǐn)記先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解【例2】(1)(2016南昌二模)一個幾何體的三視圖如圖911所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖911A.B.C.D.(2)(2017全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，

11、SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_(1)D(2)36(1)由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對稱性可知三棱錐SABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.(2)如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑，知OASC，OBSC.由平面SCA

12、平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，三棱錐SABC的體積VOA，即9，r3，S球表4r236.方法指津解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定對于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來變式訓(xùn)練2 (1)(2017江西七校聯(lián)考)如圖912，ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將A

13、BE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積是()圖912A6 B12C18 D9(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為()【導(dǎo)學(xué)號：04024088】A. B.C. D20(1)C(2)B(1)因?yàn)锳PEEPFAPF90，所以可將四面體補(bǔ)成一個長方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R3，故該球的表面積S4R24218，故選C.(2)設(shè)A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2d2r2122，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.13