2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解學(xué)案 文

突破點(diǎn)9空間幾何體表面積或體積的求解核心知識(shí)提煉提煉1 求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切(1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑ra，外接球的半徑Ra.圖9­1(2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖9­1所示正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ；正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG；正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1.高考真題回訪回訪1幾何體的表面積或體積1(2017·全國(guó)卷)如圖9­2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()圖9­2A90B63C42 D36B方法1：(割補(bǔ)法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V×32×4×32×6×63.故選B.方法2：(估值法)由題意，知V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱×32×1090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B.2.(2016·全國(guó)卷)如圖9­3是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖9­3A20B24C28 D32C由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(zhǎng)(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2×2×416，底面積為·224；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的側(cè)面積為×2×48.所以該幾何體的表面積為S164828.3(2015·全國(guó)卷)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖9­4，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖9­4A.BC.DD由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為V1××1×1×1，剩余部分的體積V213.所以，故選D.回訪2球與幾何體的外接與內(nèi)切4(2017·全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A B.C. D.B設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h×1.故選B.5(2015·全國(guó)卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64 C.144 D256C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90°，SAOBR2.VO­ABCVC­AOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO­ABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO­ABC最大為×R2×R36，R6，球O的表面積為4R24×62144.故選C.6(2013·全國(guó)卷)如圖9­5，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()圖9­5A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3A如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC862(cm)，BMAB×84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球×53(cm3)熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解【例1】(1)(2017·黃山二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖9­6所示，則該幾何體的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024087】圖9­6A4B4C4 D.(2)(2016·全國(guó)卷)如圖9­7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖9­7A1836 B5418C90 D81(1)C(2)B(1)由三視圖可知該幾何體為四棱錐P­ABCD，其中PA底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，AD2，BC4，ADAB，AP2，AB2，該幾何體的體積V××2×24.故選C.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選B.方法指津1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)(2017·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖9­8所示，則該幾何體的體積為()A. B5C5 D.圖9­8(2)(2017·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖9­9所示，則該幾何體的表面積是()圖9­9A48 B48C482 D482(3)(名師押題)如圖9­10，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD ­A1B1C1D1中分離出來由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為_cm3.圖9­10(1)D(2)A(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V2×1×2××1×1×2××12×2.(2)該幾何體是正四棱柱中挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2×2×22×4×5×122×1248，故選A.(3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1­CD1B1的體積又V三棱錐C1­CD1B1V三棱錐C­B1C1D1××636(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解【例2】(1)(2016·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖9­11所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖9­11A.B.C.D.(2)(2017·全國(guó)卷)已知三棱錐S­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S­ABC的體積為9，則球O的表面積為_(1)D(2)36(1)由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ­ ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S­ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.(2)如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，三棱錐S­ABC的體積V×·OA，即9，r3，S球表4r236.方法指津解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來變式訓(xùn)練2 (1)(2017·江西七校聯(lián)考)如圖9­12，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是()圖9­12A6 B12C18 D9(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60°，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024088】A. B.C. D20(1)C(2)B(1)因?yàn)锳PEEPFAPF90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R3，故該球的表面積S4R24218，故選C.(2)設(shè)A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB×ACcosBAC32122×3×1×cos 60°7，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設(shè)直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2d2r2122，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.13