華師大八級(jí)上《第章全等三角形》單元測(cè)試含答案解析.doc

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第13章 全等三角形 　 一、選擇題 1．如圖，是我們學(xué)過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（　　） A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 2．如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC．將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE．則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q．”分別作出了下列四個(gè)圖形．其中作法錯(cuò)誤的是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6a，2b﹣1），則a和b的數(shù)量關(guān)系為（　?。? A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1 6．如圖，用尺規(guī)作圖：“過點(diǎn)C作CN∥OA”，其作圖依據(jù)是（　?。? A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P，直線PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．如圖，分別以線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于B，D兩點(diǎn)，連接BD，AB，BC，CD，DA，以下結(jié)論： ①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD； ③AC=BD； ④四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形． 其中正確的有（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 9．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．PQ為∠APB的平分線 B．PA=PB C．點(diǎn)A、B到PQ的距離不相等 D．∠APQ=∠BPQ 10．如圖，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（　?。? 作法： ①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)D，E； ②分別以D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于一點(diǎn)C； ③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 　 二、填空題（共4小題） 11．閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題： 小蕓的作法如下： 老師說：“小蕓的作法正確．” 請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是　?。? 12．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以B，C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)； ②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若CD=AC，∠B=25，則∠ACB的度數(shù)為　　． 13．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=70，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，連結(jié)AE，則∠AED的度數(shù)是　?。? 14．如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=　?。? 　 三、解答題（共16小題） 15．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖． （1）求證：△ADC≌△CEB； （2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）． 16．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結(jié)論：　　，然后證明你的結(jié)論（不要求寫已知、求證） 17．如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H；再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E． （1）求證：AB=AE； （2）若∠A=100，求∠EBC的度數(shù)． 18．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)． （1）作圖： ①過B作AC的平行線BH； ②過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，G． （2）在圖中找出一對(duì)全等的三角形，并證明你的結(jié)論． 19．某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學(xué)興趣小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測(cè)得河的寬度，他們是這樣做的： ①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對(duì)岸正對(duì)的一棵樹A； ②沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達(dá)D處； ③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走； ④測(cè)得DE的長(zhǎng)就是河寬AB． 請(qǐng)你證明他們做法的正確性． 20．如圖，在△ABC中，∠C=60，∠A=40． （1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）； （2）求證：BD平分∠CBA． 21．如圖，BD是矩形ABCD的一條對(duì)角線． （1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為點(diǎn)O．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）求證：DE=BF． 22．如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）． 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點(diǎn)P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）連接AP，當(dāng)∠B為　　度時(shí)，AP平分∠CAB． 24．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF． （1）求證：AF=DC； （2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論． 25．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 26．一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題： 如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE． （1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程． （2）特殊位置，證明結(jié)論 若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD． （3）知識(shí)遷移，探索新知 若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程） 27．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90，∠B=∠E=30． （1）操作發(fā)現(xiàn) 如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空： ①線段DE與AC的位置關(guān)系是　?。? ②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是　?。? （2）猜想論證 當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF=S△BDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)． 28．已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是　　，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式　　； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明． 29．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF． （1）求證：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的長(zhǎng)． 30．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使∠DAF=60，連接CF． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系． 　 第13章 全等三角形 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，是我們學(xué)過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（　　） A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；平行線的判定． 【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，從而得出同位角相等，兩直線平行． 【解答】解：∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，兩直線平行）． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖與平行線的判定，正確理解題目的含義是解決本題的關(guān)鍵． 　 2．如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC．將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE．則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用． 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，進(jìn)而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC， 即∠QAE=∠PAE． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；這種設(shè)計(jì)，用SSS判斷全等，再運(yùn)用性質(zhì)，是全等三角形判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，做題時(shí)要認(rèn)真讀題，充分理解題意． 　 3．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q．”分別作出了下列四個(gè)圖形．其中作法錯(cuò)誤的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖． 【分析】A、根據(jù)作法無法判定PQ⊥l； B、以P為圓心大于P到直線l的距離為半徑畫弧，交直線l，于兩點(diǎn)，再以兩點(diǎn)為圓心，大于它們的長(zhǎng)為半徑畫弧，得出其交點(diǎn)，進(jìn)而作出判斷； C、根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90作出判斷； D、根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可作出判斷． 【解答】解：根據(jù)分析可知， 選項(xiàng)B、C、D都能夠得到PQ⊥l于點(diǎn)Q；選項(xiàng)A不能夠得到PQ⊥l于點(diǎn)Q． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了過直線外以及過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵． 　 4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　） A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線． 【分析】由題意可知：MN為AB的垂直平分線，可以得出AD=BD；CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，得出CD=BD；利用三角形的內(nèi)角和得出∠A=∠BED；因?yàn)椤螦≠60，得不出AC=AD，無法得出EC=ED，則∠ECD=∠EDC不成立；由此選擇答案即可． 【解答】解：∵M(jìn)N為AB的垂直平分線， ∴AD=BD，∠BDE=90； ∵∠ACB=90， ∴CD=BD； ∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90， ∴∠A=∠BED； ∵∠A≠60，AC≠AD， ∴EC≠ED， ∴∠ECD≠∠EDC． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等． 　 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6a，2b﹣1），則a和b的數(shù)量關(guān)系為（　　） A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得6a+2b﹣1=0，然后再整理可得答案． 【解答】解：根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限角平分線上；點(diǎn)P到x軸、y軸的距離相等；點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)， 則P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和為0， 故6a+2b﹣1=0（或﹣6a=2b﹣1）， 整理得：6a+2b=1， 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖﹣角平分線的做法以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)：點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)． 　 6．如圖，用尺規(guī)作圖：“過點(diǎn)C作CN∥OA”，其作圖依據(jù)是（　?。? A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；平行線的判定． 【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法得出其作圖依據(jù)即可． 【解答】解：如圖所示：“過點(diǎn)C作CN∥OA”，其作圖依據(jù)是：作出∠NCO=∠O，則CN∥AO， 故作圖依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖以及平行線判定，正確掌握作圖基本原理是解題關(guān)鍵． 　 7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P，直線PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)作圖過程得到PB=PC，然后利用D為BC的中點(diǎn)，得到PD垂直平分BC，從而利用垂直平分線的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：PB=CP， ∵D為BC的中點(diǎn)， ∴PD垂直平分BC， ∴①ED⊥BC正確； ∵∠ABC=90， ∴PD∥AB， ∴E為AC的中點(diǎn)， ∴EC=EA， ∵EB=EC， ∴②∠A=∠EBA正確；③EB平分∠AED錯(cuò)誤；④ED=AB正確， 故正確的有①②④， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解如何作已知線段的垂直平分線，難度中等． 　 8．如圖，分別以線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于B，D兩點(diǎn)，連接BD，AB，BC，CD，DA，以下結(jié)論： ①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD； ③AC=BD； ④四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形． 其中正確的有（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；中心對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的作法及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可． 【解答】解：①∵分別以線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧， ∴AB=BC， ∴BD垂直平分AC，故此小題正確； ②在△ABC與△ADC中， ∵， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴AC平分∠BAD，故此小題正確； ③只有當(dāng)∠BAD=90時(shí)，AC=BD，故本小題錯(cuò)誤； ④∵AB=BC=CD=AD， ∴四邊形ABCD是菱形， ∴四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形，故此小題正確． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵． 　 9．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．PQ為∠APB的平分線 B．PA=PB C．點(diǎn)A、B到PQ的距離不相等 D．∠APQ=∠BPQ 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖． 【分析】根據(jù)角平分線的作法進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵由圖可知，PQ是∠APB的平分線， ∴A，B，D正確； ∵PQ是∠APB的平分線，PA=PB， ∴點(diǎn)A、B到PQ的距離相等，故C錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線的作法及性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） 作法： ①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)D，E； ②分別以D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于一點(diǎn)C； ③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)作圖的過程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以證得△EOC≌△DOC． 【解答】解：如圖，連接EC、DC． 根據(jù)作圖的過程知， 在△EOC與△DOC中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 　 二、填空題 11．閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題： 小蕓的作法如下： 老師說：“小蕓的作法正確．” 請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是　到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定一條直線．?。? 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖． 【專題】作圖題；壓軸題． 【分析】通過作圖得到CA=CB，DA=DB，則可根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理判斷CD為線段AB的垂直平分線． 【解答】解：∵CA=CB，DA=DB， ∴CD垂直平分AB（到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定一條直線．） 故答案為：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定一條直線．． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖：基本作圖有：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線． 　 12．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以B，C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)； ②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若CD=AC，∠B=25，則∠ACB的度數(shù)為　105　． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)題目中的作圖方法確定MN是線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)解題即可． 【解答】解：由題中作圖方法知道MN為線段BC的垂直平分線， ∴CD=BD， ∵∠B=25， ∴∠DCB=∠B=25， ∴∠ADC=50， ∵CD=AC， ∴∠A=∠ADC=50， ∴∠ACD=80， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80+25=105， 故答案為：105． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖中的垂直平分線的作法及線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解垂直平分線的做法． 　 13．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=70，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，連結(jié)AE，則∠AED的度數(shù)是　50?。? 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，故可得出結(jié)論． 【解答】解：∵由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線， ∴CE=AE， ∴∠C=∠CAE， ∵AC=BC，∠B=70， ∴∠C=40， ∴∠AED=50， 故答案為：50． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=　2?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】連結(jié)FD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，由△ABC為等邊三角形得到AC=AB=6，∠A=60，再根據(jù)點(diǎn)D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點(diǎn)，則AD=BD=AF=3，DP=2，EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等邊三角形，得到∠FDA=60，利用三角形中位線的性質(zhì)得EF∥AB，EF=AB=3，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠1+∠3=60；又由于△PQF為等邊三角形，則∠2+∠3=60，F(xiàn)P=FQ，所以∠1=∠2，然后根據(jù)“SAS”判斷△FDP≌△FEQ，所以DP=QE=2． 【解答】解：連結(jié)FD，如， ∵△ABC為等邊三角形， ∴AC=AB=6，∠A=60， ∵點(diǎn)D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點(diǎn)，AB=6，PB=1， ∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF為△ABC的中位線， ∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF為等邊三角形， ∴∠FDA=60， ∴∠1+∠3=60， ∵△PQF為等邊三角形， ∴∠2+∠3=60，F(xiàn)P=FQ， ∴∠1=∠2， ∵在△FDP和△FEQ中 ， ∴△FDP≌△FEQ（SAS）， ∴DP=QE， ∵DP=2， ∴QE=2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)． 　 三、解答題 15．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖． （1）求證：△ADC≌△CEB； （2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）． 【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC=∠CEB=90，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可． （2）由題意得：AD=4a，BE=3a，根據(jù)全等可得DC=BE=3a，根據(jù)勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可． 【解答】（1）證明：由題意得：AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90 ∴∠ACD+∠BCE=90，∠ACD+∠DAC=90， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由題意得： ∵一塊墻磚的厚度為a， ∴AD=4a，BE=3a， 由（1）得：△ADC≌△CEB， ∴DC=BE=3a， 在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2， ∴（4a）2+（3a）2=252， ∵a＞0， 解得a=5， 答：砌墻磚塊的厚度a為5cm． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件． 　 16．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結(jié)論：　OM平分∠BOA　，然后證明你的結(jié)論（不要求寫已知、求證） 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】作圖題． 【分析】根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知，OC=OD，CM=DM，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到答案． 【解答】解：結(jié)論：OM平分∠BOA， 證明：由作圖的痕跡可知，OC=OD，CM=DM， 在△COM和△DOM中， ， ∴△COM≌△DOM， ∴∠COM=∠DOM， ∴OM平分∠BOA． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的作法和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的步驟和全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H；再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E． （1）求證：AB=AE； （2）若∠A=100，求∠EBC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AEB=∠EBC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EBC=∠ABE，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案； （2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠AEB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得答案． 【解答】（1）證明：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC． 由BE是∠ABC的角平分線， ∴∠EBC=∠ABE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE； （2）由∠A=100，∠ABE=∠AEB，得 ∠ABE=∠AEB=40． 由AD∥BC，得 ∠EBC=∠AEB=40． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定． 　 18．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)． （1）作圖： ①過B作AC的平行線BH； ②過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，G． （2）在圖中找出一對(duì)全等的三角形，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)平行線及垂線的作法畫圖即可； （2）根據(jù)ASA定理得出△DEC≌△DFB即可． 【解答】解：（1）作圖如下：①如圖1； ②如圖2： （2）△DEC≌△DFB 證明：∵BH∥AC， ∴∠DCE=∠DBF， 又∵D是BC中點(diǎn)， ∴DC=DB． 在△DEC與△DFB中， ∵， ∴△DEC≌△DFB（ASA）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 19．某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學(xué)興趣小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測(cè)得河的寬度，他們是這樣做的： ①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對(duì)岸正對(duì)的一棵樹A； ②沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達(dá)D處； ③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走； ④測(cè)得DE的長(zhǎng)就是河寬AB． 請(qǐng)你證明他們做法的正確性． 【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用． 【分析】將題目中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用全等三角形的判定方法證得兩個(gè)三角形全等即可說明其做法的正確性． 【解答】證明：如圖，由做法知： 在Rt△ABC和Rt△EDC中， ∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA） ∴AB=ED 即他們的做法是正確的． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題． 　 20．如圖，在△ABC中，∠C=60，∠A=40． （1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）； （2）求證：BD平分∠CBA． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】作圖題． 【分析】（1）分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)度為半徑畫弧，在AB兩邊分別相交于兩點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)作直線即為AB的垂直平分線； （2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和證明即可． 【解答】解：（1）如圖1所示： （2）連接BD，如圖2所示： ∵∠C=60，∠A=40， ∴∠CBA=80， ∵DE是AB的垂直平分線， ∴∠A=∠DBA=40， ∴∠DBA=∠CBA， ∴BD平分∠CBA． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和及基本作圖，解題的關(guān)鍵是了解垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等． 　 21．如圖，BD是矩形ABCD的一條對(duì)角線． （1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為點(diǎn)O．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）求證：DE=BF． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【專題】作圖題；證明題． 【分析】（1）分別以B、D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑四弧交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線即可得到線段BD的垂直平分線； （2）利用垂直平分線證得△DEO≌△BFO即可證得結(jié)論． 【解答】解：（1）答題如圖： （2）∵四邊形ABCD為矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵EF垂直平分線段BD， ∴BO=DO， 在△DEO和三角形BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴DE=BF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)，了解基本作圖是解答本題的關(guān)鍵，難度中等． 　 22．如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；平行線的判定． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可； （2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BDE=∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠A=∠BDC，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖，以及平行線的判定，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握同位角相等兩直線平行． 　 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點(diǎn)P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）連接AP，當(dāng)∠B為　30　度時(shí)，AP平分∠CAB． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】作圖題． 【分析】（1）運(yùn)用基本作圖方法，中垂線的作法作圖， （2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，運(yùn)用直角三角形解出∠B． 【解答】解：（1）如圖， （2）如圖， ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠B， 如果AP是角平分線，則∠PAB=∠PAC， ∴∠PAB=∠PAC=∠B， ∵∠ACB=90， ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30， ∴∠B=30時(shí)，AP平分∠CAB． 故答案為：30． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖，角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟記作圖的方法及等邊對(duì)等角的知識(shí)． 　 24．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF． （1）求證：AF=DC； （2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定． 【分析】（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案； （2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD=AD，根據(jù)菱形的判定推出即可． 【解答】（1）證明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線， ∴AE=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中 ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF=BD， ∴AF=DC． （2）四邊形ADCF是菱形， 證明：AF∥BC，AF=DC， ∴四邊形ADCF是平行四邊形， ∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線， ∴AD=BC=DC， ∴平行四邊形ADCF是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 　 25．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90，而∠BAC=90，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA， 則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）與（1）的證明方法一樣； （3）由前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60，則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE， 利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形． 【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠BDA=∠CEA=90， ∵∠BAC=90， ∴∠BAD+∠CAE=90， ∵∠BAD+∠ABD=90， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF是等邊三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60， ∴△DEF為等邊三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)． 　 26．一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題： 如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE． （1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程． （2）特殊位置，證明結(jié)論 若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD． （3）知識(shí)遷移，探索新知 若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程） 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可； （2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案； （3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案． 【解答】（1）證明：∵PB=PD， ∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90， ∴∠C=45， ∵BO⊥AC， ∴∠1=45， ∴∠1=∠C=45， ∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C， ∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90， 在△BPO和△PDE中 ∴△BPO≌△PDE（AAS）； （2）證明：由（1）可得：∠3=∠4， ∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP=∠3， ∴∠ABP=∠4， 在△ABP和△CPD中 ∴△ABP≌△CPD（AAS）， ∴AP=CD． （3）解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′． 理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO， 則AP=2x+x=3x， 由△OBP≌△EPD，得BO=PE， PE=2x，CE=2x﹣x=x， ∵∠E=90，∠ECD=∠ACB=45， ∴DE=x，由勾股定理得：CD=x， 即AP=3x，CD=x， ∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′ 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力． 　 27．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90，∠B=∠E=30． （1）操作發(fā)現(xiàn) 如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空： ①線段DE與AC的位置關(guān)系是　DE∥AC?。? ②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是　S1=S2　． （2）猜想論證 當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF=S△BDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答； ②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明； （3）過點(diǎn)D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長(zhǎng)，即可得解． 【解答】解：（1）①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上， ∴AC=CD， ∵∠BAC=90﹣∠B=90﹣30=60， ∴△ACD是等邊三角形， ∴∠ACD=60， 又∵∠CDE=∠BAC=60， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B=30，∠C=90， ∴CD=AC=AB， ∴BD=AD=AC， 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）， 即S1=S2； 故答案為：DE∥AC；S1=S2； （2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到， ∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90，∠DCM+∠BCN=180﹣90=90， ∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中， ， ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM， ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）， 即S1=S2； （3）如圖，過點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此時(shí)S△DCF1=S△BDE； 過點(diǎn)D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60，F(xiàn)1D∥BE， ∴∠F2F1D=∠ABC=60， ∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30，∠F2DB=90， ∴∠F1DF2=∠ABC=60， ∴△DF1F2是等邊三角形， ∴DF1=DF2， ∵BD=CD，∠ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)， ∴∠DBC=∠DCB=60=30， ∴∠CDF1=180﹣∠BCD=180﹣30=150， ∠CDF2=360﹣150﹣60=150， ∴∠CDF1=∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中， ， ∴△CDF1≌△CDF2（SAS）， ∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)， ∵∠ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=60=30， 又∵BD=4， ∴BE=4cos30=2=， ∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=， 故BF的長(zhǎng)為或． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)． 　 28．已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是　AE∥BF　，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式　QE=QF　； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可； （2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可； （3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可． 【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF， 理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90， 在△BFQ和△AEQ中 ∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF， 故答案為：AE∥BF；QE=QF． （2）QE=QF， 證明：如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D， ∵Q為AB中點(diǎn)， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中 ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF． （3）（2）中的結(jié)論仍然成立， 證明：如圖3， 延長(zhǎng)EQ、FB交于D， ∵Q為AB中點(diǎn)， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中， ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP， ∴FQ是斜邊DE上的中線， ∴QE=QF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等． 　 29．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45，AD與B