人教版八級(jí)上《第章軸對(duì)稱》單元測(cè)試(三)含答案解析.doc

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《第13章 軸對(duì)稱》 　 一、選擇題 1．下列圖案中的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的一項(xiàng)是（　?。? A． B． C． D． 2．下列說法：①線段AB、CD互相垂直平分，則AB是CD的對(duì)稱軸，CD是AB的對(duì)稱軸；②如果兩條線段相等，那么這兩條線段關(guān)于直線對(duì)稱；③角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是這個(gè)角的平分線．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（　?。? A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 3．下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（　?。? A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．長(zhǎng)方形 4．一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)是7cm，另一邊長(zhǎng)為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（　?。? A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm 5．如果等腰三角形的一個(gè)底角為α，那么（　?。? A．α不大于45 B．0＜α＜90 C．α不大于90 D．45＜α＜9024 6．如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OE+OF的值為（　?。﹚ A．0.5 B．1 C．2 D．不確定t 7．等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（　?。﹉ A．105 B．120 C．135 D．150Y 8．等腰三角形的一個(gè)角是50，則它一腰上的高與底邊的夾角是（　?。? A．25 B．40 C．25或40 D．不能確定O 9．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)I 10．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中：a ①△ABC≌△A′B′C′；h ②∠BAC′=∠B′AC；P ③l垂直平分CC′；6 ④直線BC和B′C′的交點(diǎn)不一定在l上，y 正確的有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)8 　 二、填空題．Z 11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，AB=4，則BC=　?。甼 12．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13，其中一邊長(zhǎng)為3，其它兩邊的長(zhǎng)為　?。? 13．等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的比是1：2，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是　　．0 14．如圖，若△ACD的周長(zhǎng)為7cm，DE為AB邊的垂直平分線，則AC+BC=　　cm．A 15．如圖，∠A=15，AB=BC=CD=DE=EF，則∠MEF=　?。甪 16．如圖，AB=AC，F(xiàn)D⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145，則∠EDF=　　度．A 　 三、解答題= 17．要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖）． 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說明你的理由．= 18．如圖AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC．（寫出每步證明的重要依據(jù)） 19．如圖，已知D、E兩點(diǎn)在線段BC上，AB=AC，AD=AE． 證明：BD=CE． 20．在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD，請(qǐng)說明DB=DE的理由． 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)． 22．如圖在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E．求證：BF=FC． 23．如圖、已知∠AOB=30，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點(diǎn)，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的長(zhǎng)． 24．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，BD=CE，求∠AFE的度數(shù)． 12283577 25．已知：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且A，E，D三點(diǎn)在一直線上．請(qǐng)你說明 DA﹣DB=DC． 26．已知，如圖，△ABC是正三角形，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．請(qǐng)你說明△DEF是正三角形． 　 12283577 《第13章 軸對(duì)稱》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列圖案中的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的一項(xiàng)是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】直線兩旁的部分能夠互相重合的兩個(gè)圖形叫做這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱． 【解答】解：A、是平移變換，不符合題意； B、是軸對(duì)稱變換，符合題意； C、是平移變換，不符合題意； D、是中心對(duì)稱變換，不符合題意． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】考查了圖形的三種變換：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)． 　 2．下列說法：①線段AB、CD互相垂直平分，則AB是CD的對(duì)稱軸，CD是AB的對(duì)稱軸；②如果兩條線段相等，那么這兩條線段關(guān)于直線對(duì)稱；③角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是這個(gè)角的平分線．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（　　） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸． 【解答】解：①線段AB、CD互相垂直平分，則線段AB所在的直線是線段CD的對(duì)稱軸，線段CD所在的直線是線段AB的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤； ②如平行四邊形的一組對(duì)邊符合兩條線段相等，但不關(guān)于任何一條直線對(duì)稱，錯(cuò)誤； ③角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是這個(gè)角的平分線所在的直線，錯(cuò)誤． 錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選D． 【點(diǎn)評(píng)】掌握好軸對(duì)稱的概念． 軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．并且注意對(duì)稱軸一定是直線． 　 3．下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的是（　　） A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．長(zhǎng)方形 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，確定各個(gè)圖形有幾條對(duì)稱軸． 【解答】解：A、等腰直角三角形有一條對(duì)稱軸； B、等邊三角形有三條； C、正方形有四條； D、長(zhǎng)方形有兩條對(duì)稱軸． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】掌握好軸對(duì)稱的概念． 軸對(duì)稱的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖象折疊后可重合． 　 4．一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)是7cm，另一邊長(zhǎng)為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（　　） A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】分別從腰長(zhǎng)是7cm，底邊長(zhǎng)為5cm，與腰長(zhǎng)是5cm，底邊長(zhǎng)為7cm，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：若腰長(zhǎng)是7cm，底邊長(zhǎng)為5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是：7+7+5=19（cm）； 若腰長(zhǎng)是5cm，底邊長(zhǎng)為7cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是：7+5+5=17（cm）； 綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是17cm或19cm． 故選D．12283577 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵． 　 5．如果等腰三角形的一個(gè)底角為α，那么（　?。? A．α不大于45 B．0＜α＜90 C．α不大于90 D．45＜α＜90 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可． 【解答】解：等腰三角形的底角相等，一個(gè)底角是α，則另一底角也一定是α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得三個(gè)內(nèi)角的和是180，因而兩底角的和2α一定滿足：0＜2α＜180，則0＜α＜90．故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用． 　 6．如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為1，則OE+OF的值為（　?。? A．0.5 B．1 C．2 D．不確定 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】利用等邊三角形的特殊角求出OE與OF的和，可得出其與三角形的高相等，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60， ∴OE=OB?sin60=OB，同理OF=OC． ∴OE+OF=（OB+OC）=BC． 在等邊△ABC中，高h(yuǎn)=AB． ∴OE+OF=h． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)． 　 7．等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（　?。? A．105 B．120 C．135 D．150 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，高線即是角平分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理知鈍角的度數(shù)是120． 【解答】解：∵等邊△ABC的兩條高線相交于O ∴∠OAB=∠OBA=30 ∴∠AOB=180﹣∠OAB﹣∠OBA=120 故選B 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單． 　 8．等腰三角形的一個(gè)角是50，則它一腰上的高與底邊的夾角是（　?。? A．25 B．40 C．25或40 D．不能確定 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】題中沒有指明該角是頂角還是底角，則應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而得到答案． 【解答】解：當(dāng)?shù)捉鞘?0時(shí)，則它一腰上的高與底邊的夾角是90﹣50=40； 當(dāng)頂角是50時(shí)，則它的底角就是（180﹣50）=65則它一腰上的高與底邊的夾角是90﹣65=25； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生的三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180 　 9．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；符合條件的點(diǎn)一共4個(gè)． 【解答】解：分二種情況進(jìn)行討論： 當(dāng)OA為等腰三角形的腰時(shí)，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)OA為等腰三角形的底時(shí)，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)． ∴符合條件的點(diǎn)一共4個(gè)． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對(duì)線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點(diǎn)，比較形象易懂． 　 10．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中： ①△ABC≌△A′B′C′； ②∠BAC′=∠B′AC； ③l垂直平分CC′； ④直線BC和B′C′的交點(diǎn)不一定在l上， 正確的有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合對(duì)各小題分析判斷即可得解． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱， ∴①△ABC≌△A′B′C′，正確； ②∠BAC=∠B′AC′， ∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′， 即∠BAC′=∠B′AC，正確； ③l垂直平分CC′，正確； ④應(yīng)為：直線BC和B′C′的交點(diǎn)一定在l上，故本小題錯(cuò)誤． 綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè)． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等． 　 二、填空題． 11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，AB=4，則BC=　2　． 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)直接求解即可． 【解答】解：根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可知：BC=AB=2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較容易解答，要求熟記30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半． 　 12．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13，其中一邊長(zhǎng)為3，其它兩邊的長(zhǎng)為　5，5?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】由于長(zhǎng)為3的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論． 【解答】解：當(dāng)腰為3時(shí)，另一腰也為3，則底為13﹣23=7， ∵3+3=6＜7， ∴這樣的三邊不能構(gòu)成三角形． 當(dāng)?shù)诪?時(shí)，腰為（13﹣3）2=5， ∴以3，5，5為邊能構(gòu)成三角形． 故答案為：5，5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵． 　 13．等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的比是1：2，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是　90或36?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件，根據(jù)比先設(shè)出三角形的兩個(gè)角，然后進(jìn)行討論，即可得出頂角的度數(shù)． 【解答】解：在△ABC中，設(shè)∠A=x，∠B=2x，分情況討論： 當(dāng)∠A=∠C為底角時(shí)，x+x+2x=180解得，x=45，頂角∠B=2x=90； 當(dāng)∠B=∠C為底角時(shí)，2x+x+2x=180解得，x=36，頂角∠A=x=36． 故這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為90或36． 故答案為：36或90． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，若△ACD的周長(zhǎng)為7cm，DE為AB邊的垂直平分線，則AC+BC=　7　cm． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，進(jìn)行等量代換后可得答案． 【解答】解：∵DE為AB邊的垂直平分線 ∴DA=DB ∵△ACD的周長(zhǎng)為7cm ∴AD+AC+CD=AC+BC=7． 故填7． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)；利用垂直平分線的性質(zhì)后進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 15．如圖，∠A=15，AB=BC=CD=DE=EF，則∠MEF=　75?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15， ∴∠BCA=∠A=15， ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15+15=30， ∴∠BCD=180﹣（∠CBD+∠BDC）=180﹣60=120， ∴∠ECD=∠CED=180﹣∠BCD﹣∠BCA=180﹣120﹣15=45， ∴∠CDE=180﹣（∠ECD+∠CED）=180﹣90=90， ∴∠EDF=∠EFD=180﹣∠CDE﹣∠BDC=180﹣90﹣30=60， ∴∠MEF=∠EFD+∠A=60+15=75． 故答案為：75． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和外角之間的關(guān)系． （1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和； （2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180這一隱含的條件． 　 16．如圖，AB=AC，F(xiàn)D⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145，則∠EDF=　55　度． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】首先求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A，從而利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠EDF． 【解答】解：∵∠AFD=145，∴∠CFD=35 又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E ∴∠C=180﹣（∠CFD+∠FDC）=55 ∵AB=AC ∴∠B=∠C=55，∴∠A=70 根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360可得： ∠EDF=360﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55 ∴∠EDF為55． 故填55． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是四邊形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)；解題關(guān)鍵是先求出∠A的度數(shù)，再利用四邊形的內(nèi)角和定理求出所求角． 　 三、解答題 17．要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖）． 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說明你的理由． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題． 【分析】可作B點(diǎn)關(guān)于小河的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A與小河的交點(diǎn)P，就是所求． 【解答】解：先作點(diǎn)B關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接此對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A，交河岸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查路程最短的問題，實(shí)質(zhì)利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的問題． 　 18．如圖AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC．（寫出每步證明的重要依據(jù)） 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】由于AB=AD，利用等邊對(duì)等角可得∠ABD=∠ADB，而AD∥BC，利用平行線性質(zhì)，可得∠ABD=∠CBD，等量代換可得∠ABD=∠CBD，從而可知BD是∠ABC的角平分線． 【解答】證明：∵AB=AD（已知）， ∴∠ABD=∠ADB（等邊對(duì)等角）， ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， ∴∠ABD=∠CBD（等量代換）， ∴BD平分∠ABC．（角平分線定義） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義． 　 19．如圖，已知D、E兩點(diǎn)在線段BC上，AB=AC，AD=AE． 證明：BD=CE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過A作AF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BF=CF，DF=EF，相減即可求出答案． 【解答】證明： 過A作AF⊥BC于F， ∵AB=AC，AD=AE，AF⊥BC， ∴BF=CF，DF=EF， ∴BF﹣DF=CF﹣EF， ∴BD=CE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合． 　 20．在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD，請(qǐng)說明DB=DE的理由． 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBD=30，∠ACB=60，根據(jù)CD=CE可得∠CDE=∠CED，根據(jù)∠CDE+∠CED=∠ACB即可解題． 【解答】解：∵等邊三角形三線合一， ∴BD為∠ABC的角平分線， ∴∠CBD=30，∠ACB=60， ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠CED， ∵∠CDE+∠CED=∠ACB， ∴∠CDE=∠CED=30， ∴∠CBD=∠CED=30， ∴BD=DE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形各邊相等的性質(zhì)，等腰三角形底角相等的性質(zhì)，本題中求證∠CBD=∠CED是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)． 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)同一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角的性質(zhì)，設(shè)∠ABD=x，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，則可用x的代數(shù)式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180，可求∠A的度數(shù)． 【解答】解：∵DE=EB ∴設(shè)∠BDE=∠ABD=x， ∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x， ∵AD=DE， ∴∠AED=∠A=2x， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=3x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=3x， 在△ABC中，3x+3x+2x=180， 解得x=22.5， ∴∠A=2x=22.52=45． 【點(diǎn)評(píng)】①幾何計(jì)算題中，如果依據(jù)題設(shè)和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想； ②求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180”這一隱含的條件； ③三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來解決． 　 22．如圖在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E．求證：BF=FC． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】連接AF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=30，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出BF=AF，推出∠BAF=∠B=30，求出∠FAC=90，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可． 【解答】證明：連接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120， ∴∠B=∠C=30， ∵EF為AB的垂直平分線， ∴BF=AF， ∴∠BAF=∠B=30， ∴∠FAC=120﹣30=90， ∵∠C=30， ∴AF=CF， ∵BF=AF， ∴BF=FC． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力． 　 23．如圖、已知∠AOB=30，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點(diǎn)，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；角平分線的性質(zhì)． 【分析】過P作PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOC=∠BOC=15，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPO=∠AOP=15，從而可得PD=OD，再根據(jù)30度所對(duì)的邊是斜邊的一半可求得PF的長(zhǎng)，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得PE的長(zhǎng)． 【解答】解：過P作PF⊥OB于F， ∵∠AOB=30，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=15， ∵PD∥OA， ∴∠DPO=∠AOP=15， ∴∠BOC=∠DPO， ∴PD=OD=4cm， ∵∠AOB=30，PD∥OA， ∴∠BDP=30， ∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm， ∵OC為角平分線，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF， ∴PE=PF=2cm． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查：（1）含30度的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半． （2）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 　 24．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，BD=CE，求∠AFE的度數(shù)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB與BC的關(guān)系，∠ABC與∠C的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定，可得△ABD與△BCE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠BAD與∠EBC的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案． 【解答】解；△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=60． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE． 由三角形彎角的性質(zhì)得∠AFE=∠BAF+∠ABF， ∠AFE=∠CBE+∠ABF=60． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明三角形全等，在證明全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，最后由三角形的外角的性質(zhì)得出答案． 　 25．已知：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且A，E，D三點(diǎn)在一直線上．請(qǐng)你說明 DA﹣DB=DC． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB與BC的關(guān)系，BD、BE、DE的關(guān)系，根據(jù)三角形全等的判定，可得△ABE與△CBD的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)線段的和差，等量代換，可得證明結(jié)果． 【解答】證明：△ABC和△BDE都是等邊三角形， ∴AB=BC，BE=BD=DE（等邊三角形的邊相等）， ∠ABC=∠EBD=60（等邊三角形的角是60）． ∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC ∠ABE=CBD （等式的性質(zhì)）， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS） ∴AE=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）． ∵AD﹣DE=AE（線段的和差） ∴AD﹣BD=DC（等量代換）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明三角形全等，再證明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，最后等量代換． 　 26．已知，如圖，△ABC是正三角形，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．請(qǐng)你說明△DEF是正三角形． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等邊三角形． 【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF， ∴AE=BF=CD， 又∵∠A=∠B=∠C=60， ∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是等邊三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定，根據(jù)已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此題的關(guān)鍵．