《通信原理》第6版習(xí)題課后答桉.doc

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1-1、 設(shè)英文字母 E 出現(xiàn)的概率為 0.105 ，x 出現(xiàn)的概率為 0.002 。試求 E 和 x 的信息量。 解： P(E) = 0.105 P( x) = 0.002 I (E ) = ? log 2 P(E ) = ? log 2 0.105 = 3.25 bit I ( x) = ? log 2 P( x) = ? log 2 0.002 = 8.97bit 1-2、 信息源的符號集由 A，B，C，D 和 E 組成，設(shè)每一符號獨立出 現(xiàn)，其出現(xiàn)的概率為1 4,1 8,1 8, 3 16 和 5 16 。試求該信息源符號的 平均信息量。 解： H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = ? 1 log  1 ? 1 log  1 ? 1 log  1 ? 5 log  5 = 2.23bit 4 2 4 8 2 8 8 2 8 16 2 16 符號 1-3、 設(shè)有四個消息 A、B、C、D 分別以概率1 4,1 8,1 8,1 2 傳送，每一 消息的出現(xiàn)是相互獨立的。試計算其平均信息量。 解： H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = ? 1 4  log 2  1 ? 1 4 8  log 2  1 ? 1 8 8  log 2  1 ? 1 8 2  1 log 2 2  = 1.75 bit 符號 1-4、 一個由字母 A，B，C，D 組成的字。對于傳輸?shù)拿恳粋€字母用 二進(jìn)制脈沖編碼，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替 D。每個脈沖寬度為 5 ms 。 （1） 不同的字母是等概率出現(xiàn)時，試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺? 率。 （2） 若每個字母出現(xiàn)的概率為 P  = 1 , P  = 1 , P  = 1 , P  = 3 ，試 A 5 B 4 C 計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾省?解：首先計算平均信息量。 4 D 10 （1） H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = 4 (? 1 ) log 4  1 = 2 bit 2 4 字母 平均信息速率=2 （ bit 字母 ）  （ ms  =200 ）  bit s （2） H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) 2 5 字母 = ? 1 log 1 ? 1 log 1 ? 1 log 1 ? 3 log 3 = 1.985 bit 5 2 5 4 2 4 4 2 4 10 2 10 字母 平均信息速率=1.985 （ bit 字母 ）  （ ms  =198.5 ） 2 5 字母 bit s 1-5、 國際莫爾斯電碼用點和劃的序列發(fā)送英文字母，劃用持續(xù) 3 單 位的電流脈沖表示，點用持續(xù) 1 單位的電流脈沖表示，且劃出 現(xiàn)的概率是點出現(xiàn)的概率的1 3 ： （1） 計算點和劃的信息量； （2） 計算點和劃的平均信息量。 解：令點出現(xiàn)的概率為 P( A) ，劃出現(xiàn)的概率為 P(B) P( A) + P(B) = 1, 1 P( A) = P(B) 3  ? P( A) = 3 4  P(B) = 1 4 （1） I ( A) = ? log 2 P( A) = 0.415bit （2） I (B) = ? log 2 P(B) = 2bit H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) = ? 3 log  3 ? 1 log  1 = 0.811bit 4 2 4 4 2 4 1-6、 設(shè)一信息源的輸出由 128 個不同符號組成。其中 16 個出現(xiàn)的概 率為1 32 , 其余 112 個出現(xiàn)的概率為1 224 。信息源每秒發(fā)出 1000 個符號，且每個符號彼此獨立。試計算該信息源的平均信息速 率。 解： H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) =16 (?  1 ) log 32  1 2 32  + 112 (?  1 224  ) log 2  ( 1 224  ) = 6.4 bit 符號 平均信息速率為 6.4 1000 = 6400 bit s 。 1-7、 對于二電平數(shù)字信號，每秒鐘傳輸 300 個碼元，問此傳碼率 RB 等于多少？若數(shù)字信號 0 和 1 出現(xiàn)是獨立等概的，那么傳信率 Rb 等于多少？ 解： RB = 300B  Rb = 300 bit s 1-8、 若題 1-2 中信息源以 1000B 速率傳送信息，則傳送 1 小時的信 息量為多少？傳送 1 小時可能達(dá)到的最大信息量為多少？ 解：傳送 1 小時的信息量 2.23 1000 3600 = 8.028Mbit 傳送 1 小時可能達(dá)到的最大信息量 先求出最大的熵： H  max  = ? log  1 = 2.32 bit 2 5 符號 則 傳 送 1 小 時 可 能 達(dá) 到 的 最 大 信 息 量 2.32 1000 3600 = 8.352Mbit 1-9、 如果二進(jìn)獨立等概信號，碼元寬度為 0.5ms ，求 RB 和 Rb ；有四進(jìn) 信號，碼元寬度為 0.5ms ，求傳碼率 RB 和獨立等概時的傳信率 Rb 。 解：二進(jìn)獨立等概信號： R = 1 = 2000B ， R = 2000 bit B 0.5 10 ?3 b s 四 進(jìn) 獨 立 等 概 信 號 ： Rb = 2 2000 = 4000 bit s 。 小結(jié)： 記住各個量的單位： R = 1 = 2000B ， B 0.5 10 ?3 信息量： bit I = ? log 2 P( x) 信 源 符 號 的 平 均 信 息 量 （ 熵 ）： H = ?∑ P( xi ) log 2 P( xi ) bit 符號 平均信息速率： bit s =（ bit 符號 ）  （s 符號） 傳碼率： RB 傳信率： Rb （B） bit s 2-1 、設(shè)隨機(jī)過程 (t ) 可表示 成 (t ) = 2 cos(2t + ) ，式中 是一個離散隨 變量，且 P( = 0) = 1 2 、 P( = 2) = 1 2 ，試求 E[ (1)] 及 R (0,1) 。 解： E[ (1)] = 1 2 cos(2 + 0) + 1 2 cos(2 +  2) = 1 ； 2 2 R (0,1) = E[ (0) (1)] = 1 2 cos(0)2 cos(2 + 0) + 1 cos(  2)2 cos(2 +  2) = 2 。 2 2 2-2、設(shè) Z (t ) = X 1 cos w0 t ? X 2 sin w0 t 是一隨機(jī)過程，若 X 1 和 X 2 是彼此獨立且具有均值 為 0、方差為 2 的正態(tài)隨機(jī)變量，試求： （1） E[Z (t)] 、 E[Z 2 (t)] ； （2） Z (t ) 的一維分布密度函數(shù) f ( z) ； （3） B(t1 , t2 ) 和 R(t1 , t2 ) 。 解：（1） E[Z (t )] = E[ X 1 cos w0 t ? X 2 sin w0 t] = cos w0 tE[ X 1 ] ? sin w0 tE[ X 2 ] = 0 因為 X 1 和 X 2 是彼此獨立的正態(tài)隨機(jī)變量， X 1 和 X 2 是彼此互不相關(guān)，所以 E[ X 1 X 2 ] = 0 E[Z 2 (t )] = E[ X 2 cos 2 w t + X 2 sin 2 w t ] = cos 2 w tE[ X 2 ] + sin 2 w tE[ X 2 ] 1 0 2 0 0 1 0 2 1 1 1 1 2 2 又 E[ X ] = 0 ； D[ X ] = E[ X 2 ] ? E [ X 1 ] = ? E[ X 2 ] = 2 2 同理 E[ X 2 ] = 2 代入可得 E[Z 2 (t )] = 2 （2）由 E[Z (t)] = 0 ； E[Z 2 (t )] = 2 又因為 Z (t ) 是高斯分布 可得 D[Z (t )] = 2 2 f [ z(t)] = 1 exp(? z ) 2 2 2 （3） B(t1 , t2 ) = R(t1 , t 2 ) ? E[Z (t1 )]E[Z (t 2 )] = R(t1 , t 2 ) = E[( X 1 cos w0 t1 ? X 2 sin w0 t1 )( X 1 cos w0 t 2 ? X 2 sin w0 t2 )] 2 2 = E[ X 1 cos(w0 t1 ) cos(w0 t2 ) + X 2 sin(w0 t1 ) sin(w0 t 2 )] 2 = 2 cos w0 (t1 ? t 2 ) = cos w0 令 t1 = t 2 + 2-3、求乘積 Z (t ) = X (t )Y (t) 的自相關(guān)函數(shù)。已知 X (t) 與 Y (t) 是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機(jī) 過程，且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為 Rx ( ) 、 R y ( ) 。 解：因 X (t) 與 Y (t) 是統(tǒng)計獨立，故 E[ XY ] = E[ X ]E[Y ] RZ ( ) = E[Z (t )Z (t + )] = E[ X (t )Y (t ) X (t + )Y (t + )] = E[ X (t) X (t + )]E[Y (t )Y (t + )] = RX ( )RY ( ) 2-4、若隨機(jī)過程 Z (t ) = m(t ) cos(w0 t + ) ，其中 m(t ) 是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，且自相關(guān)函 ?1 + , ? 1 < < 0 ? 數(shù) Rm ( ) 為 R m ( ) = ?1 ? ,0 ≤ < 1 ? ? 0 , 其它 是服從均勻分布的隨機(jī)變量，它與 m(t ) 彼此統(tǒng)計獨立。 （1） 證明 Z (t ) 是寬平穩(wěn)的； （2） 繪出自相關(guān)函數(shù) RZ ( ) 的波形； （3） 求功率譜密度 PZ (w) 及功率 S 。 解：（1） Z (t ) 是寬平穩(wěn)的 ? E[Z (t)] 為常數(shù)； RZ (t1 , t 2 ) = RZ (t1 ? t 2 ) E[(Z (t )] = E[m(t) cos(w0 t + )] = E[m(t)]E[cos(w0 t + )] = [ 1 2 2 ∫ cos(w0 t + )d ]E[Z (t )] = 0 0 RZ (t1 , t 2 ) = E[Z (t1 )Z (t 2 )] = E[m(t1 ) cos(w0 t1 + )m(t 2 ) cos(w0 t 2 + )] = E[m(t1 )m(t 2 )]E[cos(w0 t1 + ) cos(w0 t2 + )] E[m(t1 )m(t 2 )] = Rm (t 2 ? t1 ) 只與 t 2 ? t1 = 有關(guān)； 令 t 2 = t1 + E{cos(w0 t1 + ) cos[w0 (t1 + ) + ]} = E{cos(w0 t1 + )[cos(w0 t1 + ) cos w0 ? sin(w0 t1 + ) sin w0 ]} 2 = cos w0 ? E[cos (w0 t1 + )] ? sin w0 ? E[cos(w0 t1 + ) sin(w0 t1 + )] = cos(w ) ? E{1 [1 + cos 2(w t  + )]} ? 0 0 2 0 1 1 = cos(w ) 2 0 1 所以 （2）波形略； 1 RZ (t1 , t 2 ) = cos(w0 ) ? Rm ( ) 只與 有關(guān)，證畢。 2 ?1 ? 2 (1 + ) cos(w0 ),?1 < < 0 ? ?1 （3） RZ ( ) = cos(w0 ) ? Rm ( ) = ? 2 ? 2 (1 ? ) cos(w0 ),0 ≤ < 1 ?0, 其它 ? ? PZ (w) ? RZ ( ) 而 RZ ( ) 的波形為 Rm ( ) t -1 1 可以對 Rm ( ) 求兩次導(dǎo)數(shù)，再利用付氏變換的性質(zhì)求出 Rm ( ) 的付氏變換。 R ( ) = ( + 1) ? 2 ( ) + ( ? 1) ? P (w) = sin(w 2) = Sa 2 ( w ) m m w 2 2 ? P (w) = 1 [Sa 2 ( w + w0 ) + Sa 2 ( w ? w0 )] Z 4 2 2 功率 S ： S = RZ (0) =1 2 2-5、已知噪生 n(t ) 的自相關(guān)函數(shù) Rn （1） 求 Pn (w) 和 S ； ( ) = a exp(?a ) ， a 為常數(shù)： 2 （2） 繪出 Rn ( ) 與 Pn (w) 的波形。 2a 解：（1）因為 exp(?a t ) ?  w2 + a 2 所以 R  2 ( ) = a exp(?a ) ? P (w) = a n 2 S = R(0) = a 2 n w 2 + a 2 （3） 略 2-6、 (t ) 是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的自相關(guān)函數(shù)是周期為 2 S 的周期函數(shù)。在區(qū)間 （-1，1）上，該自相關(guān)函數(shù) R( ) = 1 ? 。試求 (t ) 的功率譜密度 P (w) 。 解：見第 4 題  R( ) = 1 ? ? Sa 2 ( w ) 2 因為 T (t ) =  ∞ ∑ (t ? 2n) n=?∞  所以 (t ) = R( ) ? T (t ) 據(jù)付氏變換的性質(zhì)可得 P (w) = PR (w)F (w) ∞ ∞ 而 T (t ) = ∑ (t ? 2n) ? ∑ (w ? n ) n=?∞ 故 n=?∞ ∞ 2 2 w  ∑ 2 ∞ w ? n P (w) = PR (w)F (w) = Sa ( ) ? ∑ (w ? n ) = n =?∞  n =?∞  (w ? n )Sa ( ) 2 2-7、將一個均值為 0，功率譜密度為 n0 為 B 的理想帶通濾波器上，如圖 2 的高斯白噪聲加到一個中心角頻率為 wc 、帶寬 2 B -wc wc w （1） 求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2） 寫出輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。 解：（1） P  (w) = 2 n H (w) P (w) = 0 H (w) O i 2 因為 G2  (w) ? Sa(w0 ) ，故 G  (w) ? BSa(B ) w0 2 B w 0 又 H (w) = G2 B (w) ? [ (w + wc ) + (w ? wc )] (w + w ) + (w ? w ) ? 1 cos(w ) c 由 付氏變換的性質(zhì) c f (t ) ? f  (t) ? c 1 F (w) ? F (w) 1 2 2 1 2 可得 P (w) = n0 H (w) = n0 G  (w) ? [ (w + w ) + (w ? w )] O 2 2 2 B c c ? R( ) = n0 BSa(B ) cos(wc ) O O 0 2 （2） E[ (t )] = 0 ； R(0) = E[ 2 (t )] = Bn ； R(∞) = E [ O (t )] = 0 所以 2 = R(0) ? R(∞) = Bn0 又因為輸出噪聲分布為高斯分布 可得輸出噪聲分布函數(shù)為  f [ o  (t )] =  2 1 exp(? t ) 。 2Bn0 2Bn0 2-8、設(shè) RC 低通濾波器如圖所示，求當(dāng)輸入均值為 0，功率譜密度為 n0 2 的白噪聲時，輸 出過程的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。 1 解： H (w) = R + jwC = 1 jwC 1 jwRC + 1 （1） P  2 n 1 (w) = P (w) H (w) = 0 ? O （2）因為 i exp(?a ) ? 2 1 + (wRC ) 2 2a 所以 PO  (w) = n0 ? 2 w2 + a 2 1 1 + (wRC ) 2  ? RO  ( ) =  n0 4RC  exp(? ) RC 2-9、將均值為 0，功率譜密度為 n0 2 的高斯白噪聲加到低通濾波器的輸入端， （1） 求輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2） 求輸出噪聲的方差。 解： H (w) = R R + jwL （1） P 2 n R 2 (w) = P (w) H (w) = 0 ? ? R ( ) = n0 R exp(? R ) O i 2 R 2 + (wL) 2 O 4L L （2） E[no (t )] = 0 ； 2 = R(0) ? R(∞) = R(0) = n0 R 4L 2-10、設(shè)有一個隨機(jī)二進(jìn)制矩形脈沖波形，它的每個脈沖的持續(xù)時為 Tb ，脈沖幅度取 1 的 概率相等?，F(xiàn)假設(shè)任一間隔 Tb 內(nèi)波形取值與任何別的間隔內(nèi)取值統(tǒng)計無關(guān)，且過程 具有寬平穩(wěn)性，試證：  ? 0, ?  > Tb ? （1） 自相關(guān)函數(shù) R ( ) = ?1 ? Tb , ≤ Tb （2） 功率譜密度 P (w) = T [Sa(fT )]2 。 b b 解： (1) R ( ) = E[ (t) (t + )] ①當(dāng) > Tb 時， (t ) 與 (t + ) 無關(guān)，故 R ( ) = 0 ②當(dāng) ≤ Tb 時，因脈沖幅度取 1 的概率相等，所以在 2 Tb 內(nèi)，該波形取 -1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均為1 4 。 （A） 波形取-1-1、11 時， 1 1 Tb 在圖示的一個間隔 Tb 內(nèi)， R ( ) = E[ (t) (t + )] = 1 1 = 1 4 4 （B） 波形取-1 1、1 -1 時， 1 Tb -1 在圖示的一個間隔 Tb 內(nèi)， R ( ) = E[ (t) (t + )] 1 Tb ? = ( ? ) 4 當(dāng) ≤ Tb 時， R ( ) = E[ (t) (t + )] Tb Tb = 2 1 + 2 1 (Tb ? ? ) 4 4 Tb Tb ? 0, ?  = 1 ? Tb > Tb ? 故 R ( ) = ?1 ? Tb , ≤ Tb （2） A  ? A Sa 2 ( w ) 2 - 其中 2 2 4 A 為時域波形的面積。 2 所以 R ( ) ? P (w) = T Sa 2 ( wTb ) 。 b 2 2-11、圖示為單個輸入、兩個輸出的線形過濾器，若輸入過程 (t ) 是平穩(wěn)的，求 1 (t ) 與 2 (t ) 的互功率譜密度的表示式。（提示：互功率譜密度與互相關(guān)函數(shù)為付利葉變換對） ∞ 解： 1 (t ) = ∫ (t ? )h1 ( )d 0  ∞ 2 (t ) = ∫ (t ? )h2 ( )d 0 R12 (t1 , t1 + ) = E[1 (t1 ) 2 (t1 + )] ∞ = E[ ∫ (t1 ? )h1 ( )d 0 ∞ ∫ (t1 + ? )h2 ( )d ] 0 ∞ ∞ = ∫∫ h1 ( )h2 ( )R ( + ? )dd 0 0 所以 P ∞ (w) = R  ( )e ? jw d = ∞ ∞ ∞ d d  [h ( )h  ( )R  1 2 ( + ? )e ? jw d 12 ∫ 12 ∫ ∫ ∫ 1 2 ?∞ ?∞ 0 0 令 = + ? ∞ ∞ ∞ P12 (w) = ∫ h( )e jw d ∫ h( )e ? jw d ∫[R (  )e ? jw d  = H ? (w)H (w)P (w) 0 0 ?∞ 2-12、若 (t ) 是平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為 R ( ) ，試求它通過圖示系統(tǒng)后的自相關(guān) 函數(shù)及功率譜密度。 解： h(t ) = (t) + (t ? T ) ? H (w) = 1 + e ? jwT 1 H (w) = (2 + 2 cos wT ) 2 2 PO (w) = H (w) P (w) = 2(1 + cos wT )P (w) P (w) = 2P (w) + 2 cos wT ? P (w) = 2P (w) + (e ? jwT + e jwT )P (w) O ? 2R ( ) + R ( ? T ) + R ( + T ) 2-13、若通過題 2-8 的低通濾波器的隨機(jī)過程是均值為 0，功率譜密度為 n0 2 的高斯白噪聲， 試求輸出過程的一維概率密度函數(shù)。 解： E[no (t )] = 0 ； P (w) = n0 ? O 2 1 1 + (wRC ) 2  ? RO  ( ) = n0 4RC  exp(? ) RC 2 ? 2 = n0 4Rc 又因為輸出過程為高斯過程，所以其一維概率密度函數(shù)為 f ( x) = 1 exp(? x ) 2 2 2 2-14、一噪聲的功率密度函數(shù)如圖，試求其自相關(guān)函數(shù)為 KSa(? 解：見題 2-7 的解法； K 2) cos(w0 ) 。 Pn (w) = G? (w) ? [ (w + w0 ) + (w ? w0 )] ? (w + w  ) + (w ? w ) ? 1 cos(w ) 0 由 付氏變換的性質(zhì) 0 f (t ) ? f  (t) ? 0 1 F (w) ? F (w) 1 2 2 1 2 K 可得 Pn (w) = G? (w) ? [ (w + w0 ) + (w ? w0 )] ? 2-15、略  ? R( ) = KSa(?  2) cos(w0 ) 3-1、設(shè)一恒參信道的幅頻特性和相頻特性分別為 H (w) = K 0 ，? (w) = ?wt d ，其中，K 0 , t d 都是常數(shù)。試確定信號 s(t ) 通過該信道后輸出信號的時域表示式，并討論之。 解： H (w) = K ? jwtd e 0 SO (w) = H (w)S (w) = K 0 e ? jwt d S (w) ? so (t) = K 0 s(t ? td ) 確定信號 s(t ) 通過該信道后，沒有失真，只是信號發(fā)生了延時。 3-2、設(shè)某恒參信道的幅頻特性為 H (w) = [1 + cos T ]e ? jwtd ，其中， t 都是常數(shù)。試確定 0 d 信號 s(t ) 通過該信道后輸出信號的時域表示式，并討論之。 解： H ( w ) = [1 + cos T ]e ? jwt d S (w) = H (w)S (w) = [1 + cos T  t ]e ? jw d S (w) = [e ? jwtd  + 1 e ? jw(T0 +td ) + 1 e ? jw(td ?T0 ) ]S (w) O ? s(t ? t 0 ) + 1 s(t ? t 2 ? T ) + 1 s(t ? t 2 + T ) d 2 d 0 2 d 0 信號經(jīng)過三條延時不同的路徑傳播，同時會產(chǎn)生頻率選擇性衰落。見教材第 50 頁。 3-3、設(shè)某恒參信道可用下圖所示的線形二端對網(wǎng)絡(luò)來等效。試求它的傳遞函數(shù)，并說明信 號通過該信道時會產(chǎn)生哪些失真？ 解： H (w) = H (w) =  R R + 1 jwc jwRc 1 + jwRc  = jwRc 1 + jwRc = H (w) e j? ( w) 其中 H (w) = 1 1 + 1 (wRc) 2 ? (w) = π 2 ? arctg (wRc) 則群遲延τ (w) = d? (w) dw = Rc 1 + (wRc) 2 可見，信號通過該信道時會頻率失真和群遲延畸變。 3-4、今有兩個恒參信道,其等效模型分別如圖 P3-2(a)、(b)所示，試求這兩個信道的群遲延特 性，并畫出它們的群遲延曲線，同時說明信號通過它們時有無群遲延失真？ 解：圖 A  H (w) =  R2 R1 + R2  = H (w) e ? j? ( w) 其中 H (w) = R2 R1 + R2 ， ? (w) = 0 故τ (w) = d? (w) = 0 ，沒有群遲延； dw 圖 B 1 H (w) = jwc = H (w) e ? j? ( w) R + 1 jwc 1 其中 H (w) = ， ? (w) = ?arctg (wRc) 1 + (wRc) 2 故τ (w) = d? (w) dw = Rc 1 + (wRc) 2  ，有群遲延失真。 3-5、一信號波形 s(t ) = A cos ?t cos w0 t ，通過衰減為固定常數(shù)值、存在相移的網(wǎng)絡(luò)。試證 明：若 w0 >> ? 、且 w0 ? 附近的相頻特性可近似為線形，則該網(wǎng)絡(luò)對 s(t ) 的遲延等 于它的包絡(luò)的遲延。 證明：令該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為 H (w) ，則 H (w) = Ke ? j? ( w)  w0 ? 附近，? (w) = wt0 即 H (w) = Ke ? jwt0 ? h(t) = Kδ (t ? t0 ) 輸出信號為 y(t ) = s(t) ? h(t ) = AK cos ?(t ? t0 ) cos w0 (t ? t0 ) 對包絡(luò)的遲延為 A cos ?t ? Kδ (t ? t0 ) = AK cos ?(t ? t0 ) 證畢。 3-6、瑞利衰落的包絡(luò)值V 為何值時，V 的一維概率密度函數(shù)有最大值？ 解：瑞利衰落的包絡(luò)值V 的一維概率密度函數(shù)為 f (V ) = V σ 2 exp(? V 2 ) 2σ 2 ) 2 2 2 exp(? V 2σ 2 df (V ) V 一維概率密度函數(shù)有最大值，則 = 0 ? ? exp(? V ) = 0 dV 可得 V = σ σ 2 σ 4 2σ 2 3-7、試根據(jù)瑞利衰落的包絡(luò)值V 的一維概率密度函數(shù)求包絡(luò)V 的數(shù)學(xué)期望和方差。 解： E (V ) = ∞ ∞ V 2 σ Vf (V )dV = 2  2 exp(? V )dV = π σ ∫ ∫ 2 ?∞ 0 2σ 2 2 D(V ) = (2 ? π )σ 2 2  見概率論教材。 3-8、假設(shè)某隨參信道的兩徑時延差τ 為 1 ms ，試求該信道在哪些頻率上傳輸衰耗最大？選 用哪些頻率傳輸信號最有利？ 解：見第 50 頁，該網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性為 2 cos wτ = 2 cos(πf ) 2 當(dāng) f = n + 1 (KHz) 2  時，出現(xiàn)傳輸零點，傳輸衰耗最大 當(dāng) f = (n + 1 )KHz 時，出現(xiàn)傳輸極點，傳輸信號最有利。 2 3-9、題圖 3.3 所示的傳號和空號相間的數(shù)字信號通過某隨參信道。已知接收信號是通過該 信道兩條路徑的信號之和。設(shè)兩徑的傳輸衰減相等（均為 d），且時延差τ=T/4。試畫出接 收信號的波形示意圖。 解： T 2T 3T td 接收信號的波形 3-10、設(shè)某隨參信道的最大多徑時延差等于 3 ms ，為了避免發(fā)生頻率選擇性衰落，試估算 在該信道上傳輸?shù)臄?shù)字信號的占用頻帶范圍。 解： ?f  = 1 = τ m  1 3 10 ?3  = 333Hz 1 1 工程上的一般公式為 ?f s = ( ~ 3 3-11、略 )?f 5 = 66.7 ~ 111Hz 3-12、若兩個電阻的阻值都為 1000Ω，它們的溫度分別為 300K 和 400K，試求這兩個電阻 串聯(lián)后兩端的噪聲功率譜密度。 1 解： S (w) =2KTR=21.3810-23 3001000=8.2810-18 V2∕Hz S 2 (w) =21.3810 -23 4001000=11.0410-18 V2∕Hz S (w) = S1 (w) + S 2 (w) =19.3210 -18 V2∕Hz 3-13、具有 6.5MHz 帶寬的某高斯信道，若信道功率與噪聲功率譜密度之比為 45.5MHz ， 試求其信道容量。 解： C = B log 2 (1 + S ) = 6.5 log N 2 (1 + 45.5 ) = 19.5MHz 6.5 3-14、設(shè)高斯信道的帶寬為 4KHz ，信號與噪聲功率之比為 63，試確定利用這種信道的理 想通信系統(tǒng)的傳信率與差錯率。 解：信道容量為 C = B log 2 (1 + S ) = 4 log N 2 (64) = 24KHz 理想通信系統(tǒng)的傳信率為 24 Kbit / s ，差錯率為 0。 3-15、某一待傳輸?shù)膱D片約含 2.25106 個像元。為了很好地重現(xiàn)圖片需要 12 個亮度電平。 假若所有這些亮度電平等概率出現(xiàn)，試計算用 3min 傳送一張圖片時所需的信道帶寬 (設(shè)信道中信噪功率比為 30dB)。 解：每像元信息量=-㏒ 2（1/12）≈3.58 bit 圖片包含信息量=3.582.25106≈8.06106 bit 要在 3min 內(nèi)傳送一張圖片時，C=8.06106/180≈4.48104 bit/s S/N=30dB=1030/10=1000 B=C/㏒ 2(1+S/N)≈4.49103 Hz 4.2 習(xí)題解答 4-1 一知線性調(diào)制信號表示式如下： (1) cosΩtcoswct (2) (1+0.5sinΩt) coswct 式中，wc=6Ω。試分別劃出它們的勃興圖和頻譜圖。 解 (1) cosΩtcoswct 的波形略。 設(shè) SM(w)=F[cosΩtcoswct],根據(jù) wc=6Ω可得 SM(w)= π/2[ δ(w+ Ω+wc)+ δ(w+ Ω-wc)+ δ(w- Ω+wc)+ δ(w- Ω-wc)]= π/2[ δ(w+7 Ω)+ δ (w+5Ω)+δ(w-5Ω)+δ(w- 7Ω)] 該頻譜圖略。 (2) (1+0.5sinΩt) coswct 的波形圖略。 設(shè) SM(w)= F[(1+0.5sinΩt) coswct]，根據(jù) wc=6Ω可得 SM(w)= π[δ(w +wc)+δ(w -wc)]+0.5jπ/2+[δ(w+Ω+wc)+δ(w+Ω-wc)-δ(w-Ω+wc)-δ (w-Ω-wc)] = π[δ(w+6Ω)+δ(w-6Ω)]+ jπ/4[δ(w+7Ω)- δ(w+5Ω)+δ(w-5Ω)-δ(w-7Ω)] 該頻譜圖略。 4-2 根據(jù)圖 4-14 所示的調(diào)制信號波形，試畫出 DSB 及 AM 信號的波形圖，并比較他們分別 通過包絡(luò)檢波器后的波形差別。 解 設(shè)載波 s(t)=sinwct (1) DSB 信號 sDSB(t)=m(t) sinwct 該信號波形以及通過包絡(luò)檢波器的輸出 e(t)波形略。 (2) AM 信號 sAM(t)=[m0+m(t)] sinwct,且有 m0≥︱m(t)︱max. 該信號波形以及通過包絡(luò)檢波器的輸出 e(t)波形略。 4-3 已知調(diào)制信號 m(t)=cos (2000πt)+cos (4000πt),載波為 cos104πt,進(jìn)行單邊帶調(diào)制，是確 定該單邊帶信號的表達(dá)式，并畫出頻譜圖。 解 根據(jù)單邊帶信號的時域表達(dá)式，可確定上邊代信號 sUSB(t)=1/2m(t) coswct –1/2 m? (t ) sinwc =1/2[cos (2000πt)+cos (4000πt)]cos104πt-1/2[sin (2000πt)+sin(4000πt)] sin104πt =1/4[cos12000πt+ cos8000πt+ cos14000πt+ cos6000πt]- 1/4[cos8000πt-cos12000π t+ cos6000πt- cos14000πt]=1/2 cos12000πt+1/2 cos14000πt sUSB(w)= π/2[δ(w+14000π)+δ(w+12000π)+ δ(w-12000π)+δ(w-14000π)] 同理，下邊帶信號為 sLSB(t)=1/2m(t) coswct +1/2 m? (t ) sinwc =1/2[cos (2000πt)+cos (4000πt)]cos104πt+1/2[sin (2000πt)+sin(4000πt)] sin104πt =1/2cos8000πt+ cos6000πt sLSB(w)= π/2[δ(w+8000π)+δ(w+6000π)+ δ(w-8000π)+δ(w-6000π) ] 兩種單邊帶信號的頻譜圖略。 4-4 將調(diào)幅波通過殘留邊帶濾波器產(chǎn)生殘留邊帶信號。若此濾波器的傳輸函數(shù) H(w) 如圖 4-18 所示(斜線段為直線)。當(dāng)調(diào)制信號為 m(t)=A[sin (100πt)+sin(6000πt)] 時，試確定所得殘留邊帶信號的表示式。 解 設(shè)調(diào)幅波 sAM(t)=[m0+m(t)]C coswct, 其中 m0≥︱m(t)︱max=A,同時根據(jù)殘留邊帶 濾波器在載波 fc 處具有互補(bǔ)對稱特性，可以得出載頻 fc=10KHz。因此 sAM(t)=[ m0+A(sin (100πt)+sin(6000πt)) cos 20000πt = m0cos20000πt+ A/2[sin20 100πt- sin19 900πt + sin26 000πt+ sin14000πt)] sAM(w)= πm0[δ(w +20 000π)+δ(w -20 000π)]+jπA/2+[δ(w+20 000π)-δ(w-20 000π)- δ(w+19 900π)+δ(w-19 900π)+δ(w+26 000π)- δ(w-26 000π)- δ(w+14 000π) +δ(w-14 000π) ] 同時，根據(jù)圖 4-18 可得 w=20 000π(f=10kHz)時，H(w)=0.5 w=20 100π(f=10.05kHz)時，H(w)=0.55 w=19 900π(f=9.95kHz)時，H(w)=0.45 w=26 000π(f=13kHz)時，H(w)=1 w=14 000π(f=7kHz)時，H(w)=0 所以，殘留邊帶信號頻譜 sVSB(w)= sAM(w)H(w)= πm0/2[δ(w +20 000π)+δ(w -20 000π)]+jπA/2+[0.55δ(w+20 100π)-0.55δ(w-20 100π)-0.45δ(w+19 900π)+0.45δ(w-19 900π)+δ(w+26 000 π)- δ(w-26 000π)] sVSB(t)= F-1[sVSB(w)]= m0/2 cos 20000πt+ A/2(0.55 sin20100πt –0.45sin19 900πt+ sin26 000πt)] 4-5 某調(diào)制方框圖如圖 4-19(b)所示。已知 m(t)的頻譜如圖 4-19(a)，載頻 w1<wH,且理 想低通濾波器的截止頻率為 w1，時求輸出信號 s(t),并說 s(t)為何種已調(diào)信號 。 解 設(shè) m(t)與 cos w1t 相乘后的輸出為 s1(t)，則 s1(t)是一個 DSB 信號，其頻譜如圖 4-20(a) 所 示。s1(t)再經(jīng)過截止頻率為 w1 的理想低通濾波器，所得輸出信號 s′1(t)顯然是一 個下邊帶信號，其頻譜略 時域表達(dá)式則為 s′1(t)=1/2m(t) cos w1t+1/2 m? (t ) sin w1t 同理，m(t)與 sin w1t 相乘后的輸出 s2(t) 再經(jīng)過理想低通濾波器之后，得到輸出信號 s′2(t) 也是一個下邊帶信號，其時域表示式為 s′2(t)=1/2m(t) sin w1t+1/2 m? (t ) cosw1t 因此，調(diào)治器最終的輸出信號 s(t)= [1/2m(t) cos w1t+1/2 m? (t )  sin w1t] cosw2t+[1/2m(t) sin w1t+1/2 m? (t ) cosw1t] sin w2t =1/2m(t)[ cosw1t cosw2t- sin w1t sin w2t]+ 1/2 m? (t ) [ sin w1t cosw2t- cosw1t sin w2t]= 1/2m(t) cos(w2- w1)t-1/2 m? (t ) sin(w2- w1)t 顯然，s(t)是一個載波角頻率為(w2- w1)的上邊帶信號。 4-6 某調(diào)制系統(tǒng)如圖 4-21 所示。 為了在輸出端同時分別得到 f1(t) 和 f2(t)，試確定接收端的 c1(t)和 c2(t) 。 解 設(shè)發(fā)送端合成以后的發(fā)送信號 f (t)= f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t。根據(jù)圖 4-21 的處理框圖， 接受端采用的是相干解調(diào)，若假設(shè)相干載波為 cosw0t，則解調(diào)后的輸出 f0(t)= f (t)cosw0t︳LPF =[f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t] cosw0t︳LPF =[1/2f1(t)+1/2 f1(t) cos2w0t+ 1/2f2(t) sin 2w0t]︳LPF =1/2 f1(t) 這時可以得到 f1(t)。 同理。假設(shè)接收端的相干載波為 sin w0t，則解調(diào)后的輸出 f0(t)= f (t)sinw0t︳LPF =[f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t] sinw0t︳LPF =[1/2f1(t)+1/2 f1(t) sin 2w0t- 1/2f2(t) cos 2w0t]︳LPF =1/2 f2(t) 這時可以得到 f2(t)。 綜上所述，可以確定 c1(t)= cosw0t, c2(t)= sinw0t. 4-7 設(shè)某信道具有均勻的雙邊噪聲功率譜密度 Pn(f)=0.510-3W/Hz,在該信道中傳輸抑制載 波的雙邊帶信號，并設(shè)調(diào)制信號 m(t)的頻帶限制在 5KHz,而載波為 100 KHz，已調(diào) 信號的功率為 10Kw。若接收機(jī)的輸入信號在加至解調(diào)器之前，先經(jīng)過一理想帶通 濾波器濾波，試問： (1) 該理想帶通濾波器應(yīng)具有怎樣的傳輸特性 H(w)? (2) 解調(diào)器輸入端的信噪功率比為多少？ (3) 解調(diào)器輸出端的信噪功率比為多少？ (4) 求解調(diào)器輸出端的噪聲功率譜密度，并用圖形表示出來。 解 (1) 該理想帶通濾波器是用于濾除帶外噪聲，并保證已調(diào) 信號順利通過。由于已調(diào)信號的中心頻率為載頻 100 KHz，帶寬則是 m(t)帶寬的兩倍， 即 B=25 KHz=10 KHz,為保證信號順利通過，理想帶通濾波器具有如下傳輸特性： ?K ,95kHz ≤ f H (w) = ? ?0, 其它 其中，K 為常數(shù)。  ≤ 105kHz (2)解調(diào)器輸入端的噪聲是經(jīng)過理想帶通濾波器后的高斯窄帶噪聲，其帶寬為 B，因此輸入 端的噪聲功率 Ni=2Pn(f)B=20.510-310103=10W 已知輸入信號功率 Si=10Kw,故有 10 10 3 Si/ Ni= 10 =1000 (3) 由于雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)的調(diào)制制度增益 G=2,因此，解調(diào)器輸出端的信噪比 Si SO/ NO=2 =2000 Ni (4) 相干解調(diào)時，解調(diào)器的輸出噪聲 n0(t)=1/2 nc(t),其中 nc(t)是解調(diào)器輸入端高斯窄帶噪 聲的同向分量，其功率譜密度 ? nc ? P ( f ) = ?2Pn  ( f ) = 10?3 W / Hz, f ≤ B = 5kHz 2 0, 其它 (5) 因此輸出噪聲 n0(t)的功率譜密度為 Pno ( f ) =  1 ?0.25 10 ?3 W / Hz, f Pnc ( f ) = ? 4 ?0, 其它  ≤ 5kHz 4-8 若對某一信號用 DSB 進(jìn)行傳輸，設(shè)加至接收機(jī)的調(diào)制信號 m(t)之功率譜密度為 ? nm m ? P ( f ) = ? 2 ? ? ?0, f  f , f f m > f m  ≤ f m 試求： (1) 接收機(jī)的輸入信號功率； (2) 接收機(jī)的輸出信號功率； (3) 若疊加于 DSB 信號的白噪聲具有雙邊帶功 率譜密度為 n0/2,設(shè)解調(diào)器的輸出端接有截止頻率為 fm 的理想低通濾波器，那么，輸出信噪 功率比是多少？ 解 (1) 設(shè) DSB 已調(diào)信號 sDSB