《不定積分積分法》PPT課件.ppt

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一元函數(shù)積分學涉及三種積分 不定積分 定積分 反常積分 廣義積分 這三種積分含義不同 但它們之間有密切聯(lián)系 微積分學是微分學和積分學的統(tǒng)稱 它是高等數(shù)學的核心內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)和微分又構(gòu)成了微分學的總體 第四章不定積分 第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)換元積分法 第三節(jié)分部積分法 已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求該函數(shù) 積分學中討論的問題 已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù) 微分學中討論的問題 求導(dǎo)數(shù)的方法稱為微分法 求的方法稱為積分法 1 原函數(shù)的概念 一 原函數(shù)與不定積分 第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 2 不定積分 例 例1求 解 求不定積分與求導(dǎo) 或微分 互為逆運算 解 例2求 如果在每一條曲線上橫坐標相同的點處作切線 則這些切線都具有相同的斜率即互相平行 不定積分的幾何意義 如果函數(shù)F x 為f x 的一個原函數(shù) 則稱F x 的圖像是f x 的一條積分曲線 函數(shù)f x 的不定積分表示f x 的某一條積分曲線沿縱軸方向任意地平行移動所得到的所有積分曲線組成的曲線族 F x 例設(shè)曲線通過點 1 2 且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍 求此曲線方程 解 設(shè)曲線方程為 根據(jù)題意知 由曲線通過點 1 2 所求曲線方程為 即為曲線族方程 二 不定積分的性質(zhì)和基本積分公式 求不定積分與求導(dǎo) 或微分 互為逆運算 因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 1 2 不定積分的性質(zhì) 證 等式成立 此性質(zhì)可推廣到有限個函數(shù)的情況 例求積分 解 基本積分公式 說明 7 8 積分法 求不定積分的方法稱為積分法 介紹三種積分法 直接積分法 換元積分法 分部積分法 直接積分法 利用不定積分運算性質(zhì)和基本積分公式可以求一些簡單函數(shù)的不定積分 這種利用不定積分運算性質(zhì)和積分基本公式計算不定積分的方法稱為直接積分法 例1 例2 例3 例4 第二節(jié)換元積分法 一 第一換元積分法 二 第二換元積分法 一 第一換元積分法 這是一個湊微分的過程 因此第一換元積分法也稱為湊微分法 定理 使用第一換元積分法求不定積分的過程如下 例1求 解 一 二 三 例2求 解 例3求 解 例4求 解 例5求 解 說明 當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時 拆開奇次項去湊微分 例6求 解 例7求 解 一 解 二 類似地可推出 二 第二換元積分法 存在 定理 應(yīng)用第二換元積分法計算不定積分的過程如下 例1 例2 例3 也可用 補充說明 可以證明 介紹定積分時介紹 只要被積函數(shù)連續(xù) 其原函數(shù)總是存在的 此時稱是 可積的 有些初等函數(shù)的原函數(shù)雖然存在 但不能表示為初等函數(shù) 我們稱這種類型的函數(shù)的積分為 積不出的 例如等 都屬于這種類型 均稱為 積不出 的積分 故 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)均連續(xù) 其原函數(shù)一定存在 但不一定都是初等函數(shù) 分部積分公式 利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則 可以得出分部積分公式 利用分部積分公式求積分的方法 分部積分法 第三節(jié)分部積分法 例2求積分 解 例3求積分 解 例4求積分 解 例5求積分 解 綜合題 求積分 解