（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第四章 導數(shù)及其應用 4.2 導數(shù)的應用（第1課時）講義（含解析）.docx

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4.2導數(shù)的應用最新考綱考情考向分析1.了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系，能用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間2.理解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大(小)值.考查函數(shù)的單調性、極值、最值，利用函數(shù)的性質求參數(shù)范圍；與方程、不等式等知識相結合命題，強化函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想的應用意識；題型以解答題為主，一般難度較大.1函數(shù)的單調性在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調遞增；如果f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側f(x)0，那么f(x0)是極小值(2)求可導函數(shù)極值的步驟求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右兩側導數(shù)值的符號如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值3函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值(3)設函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值概念方法微思考1“f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，則f(x)0在(a，b)上恒成立”，這種說法是否正確？提示不正確，正確的說法是：可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零2對于可導函數(shù)f(x)，“f(x0)0”是“函數(shù)f(x)在xx0處有極值”的_條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調性()(2)函數(shù)的極大值一定大于其極小值()(3)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值()(4)開區(qū)間上的單調連續(xù)函數(shù)無最值()題組二教材改編2P32A組T4如圖是函數(shù)yf(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(2,1)上f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D當x2時，f(x)取到極小值答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函數(shù)3P29練習T2設函數(shù)f(x)lnx，則()Ax為f(x)的極大值點Bx為f(x)的極小值點Cx2為f(x)的極大值點Dx2為f(x)的極小值點答案D解析f(x)(x0)，當0x2時，f(x)2時，f(x)0，x2為f(x)的極小值點4P26練習T1函數(shù)f(x)x36x2的單調遞減區(qū)間為_答案(0,4)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x0；當x時，y0，得x2或x2；令f(x)0，得2x0，即8x0，解得x，函數(shù)y4x2的單調增區(qū)間為.故選B.2已知函數(shù)f(x)xlnx，則f(x)()A在(0，)上單調遞增B在(0，)上單調遞減C在上單調遞增D在上單調遞減答案D解析因為函數(shù)f(x)xlnx的定義域為(0，)，所以f(x)lnx1(x0)，當f(x)0時，解得x，即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；當f(x)0時，解得0x0，則其在區(qū)間(，)上的解集為，即f(x)的單調遞增區(qū)間為和.思維升華確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調遞增區(qū)間(4)解不等式f(x)0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.當a0時，函數(shù)g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函數(shù)yf(x)單調遞減；函數(shù)g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函數(shù)yf(x)單調遞增當a0，即f(x)0，函數(shù)yf(x)單調遞增；函數(shù)g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函數(shù)yf(x)單調遞減綜上所述，當a0時，函數(shù)yf(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)，單調遞減區(qū)間為(，0)；當a0時，函數(shù)yf(x)的單調遞減區(qū)間為(，0)，單調遞增區(qū)間為；當a0)，試討論f(x)的單調性解由題意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.當0a0，則x，令f(x)0，則0x1時，令f(x)0，則x0或x，令f(x)0，則x0.綜上所述，當0a1時，f(x)在和(0，)上單調遞增，在上單調遞減題型三函數(shù)單調性的應用命題點1比較大小或解不等式例2(1)已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，當x0時，xf(x)f(x)0.若a，b，c，則a，b，c的大小關系是()AbacBacbCabcDcab答案D解析設g(x)，則g(x)，又當x0時，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間(，0)內(nèi)單調遞減因為f(x)為R上的偶函數(shù)，所以g(x)為(，0)(0，)上的奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調遞減由0ln2e3，可得g(3)g(e)g(ln2)，即ca1，f(0)4，則不等式exf(x)ex3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(0，)D(3，)答案A解析令g(x)exf(x)ex，g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)1，g(x)0，yg(x)在定義域上單調遞增，exf(x)ex3，g(x)3，g(0)3，g(x)g(0)，x0，故選A.命題點2根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)例3已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)ax22x(a0)(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調遞減，求a的取值范圍解(1)h(x)lnxax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在單調遞減區(qū)間，所以當x(0，)時，ax2有解設G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因為a0，所以a的取值范圍為(1,0)(0，)(2)因為h(x)在1,4上單調遞減，所以當x1,4時，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因為x1,4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a，又因為a0，所以a的取值范圍是(0，)引申探究1本例(2)中，若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調遞增，求a的取值范圍解因為h(x)在1,4上單調遞增，所以當x1,4時，h(x)0恒成立，所以當x1,4時，a恒成立，又當x1,4時，min1(此時x1)，所以a1，即a的取值范圍是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍解h(x)在1,4上存在單調遞減區(qū)間，則h(x)有解，又當x1,4時，min1，所以a1，又因為a0，所以a的取值范圍是(1,0)(0，)思維升華根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題跟蹤訓練2 (1)(2018寧波模擬)已知三次函數(shù)f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在(，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()Am4B4m2C2m0，得0x1，由g(x)1.當a0時，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.綜上可得：當a0時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減；當0a時，函數(shù)g(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在(1，)上單調遞增1函數(shù)f(x)x22lnx的單調遞減區(qū)間是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x0)，當x(0,1)時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由題意得，當x(，c)時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，c)上是增函數(shù)，因為abf(b)f(a)，故選C.3(2018臺州調考)定義在R上的可導函數(shù)f(x)，已知y2f(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的單調遞增區(qū)間是()A0,1 B1,2C(，1 D(，2答案D解析據(jù)函數(shù)y2f(x)的圖象可知，當x2,2f(x)1f(x)0，且使f(x)0的點為有限個，所以函數(shù)yf(x)在(，2上單調遞增，故選D.4(2018浙江臺州中學質檢)已知函數(shù)f(x)ax3ax2x(aR)，下列選項中不可能是函數(shù)f(x)圖象的是()答案D解析由題意得f(x)ax2ax1，若函數(shù)f(x)的圖象如D選項中的圖象所示，則f(x)0在R上恒成立，所以此時不等式組無解，所以D錯誤，故選D.5定義在R上的函數(shù)yf(x)，滿足f(3x)f(x)，f(x)0，若x13，則有()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不確定答案B解析據(jù)已知由f(x)f(3x)，可得函數(shù)圖象關于直線x對稱，又由f(x)時，f(x)0；當x0.又若x13，則有，因此據(jù)函數(shù)的單調性可得f(x1)f(x2)，故選B.6(2018浙江名校協(xié)作體模擬)已知函數(shù)f(x)(2x1)exax23a(x0)為增函數(shù)，則a的取值范圍是()A2，) B.C(，2 D.答案A解析f(x)(2x1)exax23a在(0，)上是增函數(shù)，f(x)(2x1)ex2ax0在區(qū)間(0，)上恒成立，即2aex.設g(x)ex，則g(x)ex，由g(x)ex0和x0得x，當x時，g(x)0，當0x時，g(x)0，g(x)在x處取得最小值，g4，2a4，a2，故選A.7若函數(shù)f(x)x3bx2cxd的單調遞減區(qū)間為(1,3)，則bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由題意知，1x3是不等式3x22bxc0的解，1,3是f(x)0的兩個根，b3，c9，bc12.8已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(1)1，f(x)的導數(shù)f(x)，則不等式f(x2)的解集為_答案x|x1解析設F(x)f(x)x，F(xiàn)(x)f(x)，f(x)，F(xiàn)(x)f(x)0，即函數(shù)F(x)在R上單調遞減f(x2)，f(x2)f(1)，F(xiàn)(x2)1，即不等式的解集為x|x19已知函數(shù)f(x)x24x3lnx在區(qū)間t，t1上不單調，則t的取值范圍是_答案(0,1)(2,3)解析由題意知f(x)x4，由f(x)0，得函數(shù)f(x)的兩個極值點為1和3，則只要這兩個極值點有一個在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上就不單調，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0在上有解，所以b0，則當x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調遞增；若k0，函數(shù)f(x)單調遞增；當x時，f(x)0，則當且僅當1，即k1時，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調遞增；若k0時，f(x)的單調增區(qū)間為(0,1)，單調減區(qū)間為(1，)；當a0時，f(x)的單調增區(qū)間為(1，)，單調減區(qū)間為(0,1)；當a0時，f(x)為常函數(shù)(2)由(1)及題意得f(2)1，即a2，f(x)2lnx2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù)，即g(x)在區(qū)間(t,3)上有變號零點由于g(0)2，當g(t)0時，即3t2(m4)t20對任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.m9.即實數(shù)m的取值范圍是.13(2018杭州高級中學模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，g(x)為f(x)的導函數(shù)若f(x)在(0,1)上單調遞減，則下列結論正確的是()Aa23b有最小值3Ba23b有最大值2Cf(0)f(1)0Dg(0)g(1)0答案D解析由題意可得g(x)f(x)3x22axb.因為f(x)在(0,1)上單調遞減，所以g(x)0在(0,1)上恒成立，即g(0)0，g(1)0，所以g(0)g(1)0，故選D.14(2019杭州第二中學模擬)對于函數(shù)f(x)和g(x)，設xR|f(x)0，xR|g(x)0，若存在，使得|1，則稱f(x)與g(x)互為“情侶函數(shù)”若函數(shù)f(x)ex2x3與g(x)axlnx互為“情侶函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.答案C解析令f(x)ex2x30，解得x2，根據(jù)條件可得|2|1，解得13，對于函數(shù)g(x)axlnx，當a0時，g(1)0，滿足條件；當a0時，要使得3，由ylnx可得y，設切點為(x0，y0)，則對應的切線方程為yy0(xx0)，若該切線過原點，則y0(x0)1，即y01，則x0e，結合圖象(圖略)可知g(e)aelne0，解得a，即00Bf(x0)0且t1)，g(t)lnt2(t0)，則g(t)0，所以g(t)在(0，)上單調遞增，而g(1)0，所以當x2x1時，t1，所以g(t)0，故f(x0)0；當x2x1時，0t1，所以g(t)0.綜上可知，f(x0)0.16已知f(x)x3ax1，若f(x)在區(qū)間(2,2)上不單調，求a的取值范圍解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)在區(qū)間(2,2)上不單調，知f(x)存在零點，a0.由f(x)0，得x(a0)，f(x)在區(qū)間(2,2)上不單調，02，即0a12.