2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題45 直線與方程.doc

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專題45 直線與方程【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】高考對直線與方程的考查要求較低，以小題的形式考查直線與方程，一般難度不大，但呈現(xiàn)綜合性較強(qiáng)的趨勢，與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合.較多年份在大題中與其它知識綜合考查.要求考生熟練掌握直線方程的基礎(chǔ)知識，熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、平行直線間的距離等.其中兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用，是高考的熱點(diǎn)，另外，兩直線的位置關(guān)系與向量的結(jié)合，也應(yīng)予以足夠的重視本專題通過例題說明關(guān)于直線問題的解法與技巧.（一）直線與方程：1、傾斜角：若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍 2、斜率：設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為 （1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）斜率的求法：已知直線上任意兩點(diǎn)，則，即直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無關(guān).3、截距：若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡記形式，其取值可正，可負(fù)，可0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點(diǎn)的非水平非豎直直線4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點(diǎn)與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點(diǎn)（兩點(diǎn)確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法有關(guān)（1）一點(diǎn)一方向： 點(diǎn)斜式：已知直線的斜率，直線上一點(diǎn)，則直線的方程為：證明：設(shè)直線上任意一點(diǎn)，根據(jù)斜率計(jì)算公式可得：，所以直線上的每一點(diǎn)都應(yīng)滿足：，即為直線方程 斜截式：已知直線的斜率，縱截距，則直線的方程為： 證明：由縱截距為可得直線與軸交點(diǎn)為，從而利用點(diǎn)斜式得： 化簡可得： （2）兩點(diǎn)確定一條直線： 兩點(diǎn)式：已知直線上的兩點(diǎn)，則直線的方程為： 截距式：若直線的橫縱截距分別為，則直線的方程為：證明：從已知截距可得：直線上兩點(diǎn)，所以 一般式：由前幾類直線方程可知：直線方程通常由的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，所以可將直線的通式寫為：（不同時(shí)為0），此形式稱為直線的一般式一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果 可用于判定直線的平行垂直關(guān)系 點(diǎn)到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式5、五種直線形式所不能表示的直線：（1）點(diǎn)斜式，斜截式：與斜率相關(guān)，所以無法表示斜率不存在的直線（即豎直線）（2）截距式： 截距不全的直線：水平線，豎直線 截距為0的直線：過原點(diǎn)的直線6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）（二）直線位置關(guān)系：1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直），重合如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情況，如果只是，則要考慮重合的情況.2、直線平行的條件（1）斜截式方程：設(shè)直線 若直線的斜率存在，則（2）一般式方程：設(shè)，則 當(dāng)時(shí)， ，且和中至少一個(gè)成立，則（此條件適用于所有直線）3、直線垂直的條件：（1）斜截式方程：設(shè)直線，則（2）一般式方程：設(shè)，則：4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律： 可選擇與一般式方程對應(yīng)的向量：，即有：，從而的關(guān)系即可代表的關(guān)系，例如：（注意驗(yàn)證是否會出現(xiàn)重合的情況）（三）距離問題：1、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)，則2、點(diǎn)到直線距離公式：設(shè)則點(diǎn)到直線的距離3、平行線間的距離：則的距離為（四）對稱問題1、中心對稱：（1）幾何特點(diǎn)：若關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則為線段的中點(diǎn)（2）解析特征：設(shè)，則與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)滿足：2、軸對稱（1）幾何特點(diǎn)：若若關(guān)于直線軸對稱，則為線段的中垂線，即，且的中點(diǎn)在上（2）解析特征：設(shè)，則與點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)滿足： ，解出即可（3）求軸對稱的直線：設(shè)對稱軸為直線，直線關(guān)于的對稱直線為 若，則，且到對稱軸的距離與到對稱軸的距離相等 若與相交于 ，則取上一點(diǎn)，求出關(guān)于的對稱點(diǎn)，則即為對稱直線（五）直線系方程：滿足某種特征的一類直線組成的集合稱為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線）1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系參數(shù)不會影響斜率的取值（1）與直線平行的直線系方程為：（為參數(shù)，且）（2）與直線垂直的直線系方程為：（為參數(shù)）2、過定點(diǎn)的直線：（1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項(xiàng)劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可（2）已知（與不重合），則過交點(diǎn)的直線系方程為：（該直線無法表示）3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時(shí)可充分利用平行，垂直或過定點(diǎn)的條件，將直線設(shè)為只含一個(gè)參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程【經(jīng)典例題】例1.過點(diǎn)和 的直線的斜率為1，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A1 B2 C1或4 D1或2【答案】A【解析】依題意有例2.已知直線方程為則直線的傾斜角為（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線方程為所以直線的斜率為因?yàn)橹本€傾斜角的范圍所以傾斜角為故答案為.例3. 坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的的傾斜角的取值范圍是（ ）A B C D【答案】【解析】，且.設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，則，所以傾斜角的范圍為.當(dāng)時(shí)，則，所以傾斜角的范圍為.例4. 直線過點(diǎn)，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】或.例5. 已知直線，其中，則“”是“”的 （ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是 或 .故選A.例6.【2018屆四川省南充高級中學(xué)高三9月檢測】已知直線.若，則實(shí)數(shù)的值是（ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A【解析】，則 即 經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意故選A.例7已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，直線的斜率的取值范圍是 .【答案】 例8. 設(shè)直線l的方程為(1)若在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求的方程；(2)若不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1).(2)【解析】 (1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，方程即為.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0，即方程即為.綜上，的方程為.(2)將的方程化為或,綜上可知的取值范圍是點(diǎn)睛：涉及直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等問題，要特別注意截距均為的情況；另外，某些涉及直線問題中，往往要討論直線的斜率是否存在的情況，也應(yīng)特別注意.例9.【2018屆黑龍江省伊春市第二中學(xué)高三上第一次月考】已知直線與直線，為它們的交點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn).求（1）過點(diǎn)且與平行的直線方程；（2）過點(diǎn)的直線，且到它的距離為2的直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】試題分析：(1)先求，寫出直線點(diǎn)斜式方程，整理得解(2)先求兩條直線的交點(diǎn)，設(shè)出直線方（2），當(dāng)斜率不存在，則方程為，不合題意當(dāng)斜率存在，設(shè)方程,而,，或，方程為或.例10. 已知直線，直線，若直線關(guān)于直線的對稱直線為，求直線的方程【答案】.【解析】直線關(guān)于直線對稱，所以與與間的距離相等由兩平行直線間的距離公式得，解得或（舍去），所以直線的方程為.法二：由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，于是有，解得，即把點(diǎn)代入的方程，得，所以直線的方程為【精選精練】1.【2018屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考卷（二）】已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且直線與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A. -2 B. -3 C. -4 D. -52.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為 ( )A. B C. D. 【答案】A【解析】由題意，即,選A.3.平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】4.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為4，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最大值是 （ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為4，所以，即 ，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最大值是 .5若直線與以，為端點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C. D【答案】D【解析】直線過定點(diǎn),所以，選D.6.直線經(jīng)過點(diǎn)，則傾斜角與直線的傾斜角互為補(bǔ)角的一條直線方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】將點(diǎn)代入得，直線方程為，斜率為，傾斜角為.故和其垂直的直線斜率為，故選C.7.點(diǎn)，若線段和有相同的垂直平分線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A8. 如圖所示，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是()A2 B6 C3 D2【答案】A【解析】由題意知點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(2,0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|2故選A9.若直線： 經(jīng)過點(diǎn)，則直線在軸和軸的截距之和的最小值是 【答案】【解析】由題意得，截距之和為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即的最小值為10.已知兩直線和試確定的值，使（1）與相交于點(diǎn)；（2）；（3），且在軸上的截距為1【答案】（1），；（2），或，；（3），.【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入兩直線方程，解出和的值；（2）由得斜率相等，求出值，再把直線可能重合的情況排除；（3）先檢驗(yàn)斜率不存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，看斜率之積是否等于，或即，時(shí)或，時(shí)，（3）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，又，即，時(shí)，且在軸上的截距為11.【2018屆黑龍江省伊春市第二中學(xué)高三上第一次月考】已知直線的方程為，求的方程，使得：（1）與平行，且過點(diǎn)；（2）與垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由與平行可設(shè)，再代點(diǎn)得.（2）由與垂直可設(shè)，再得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)面積公式得，最后解方程得試題解析：解：（1）設(shè)，過點(diǎn)，.方程為.方程為或.12已知，直線， 相交于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（1）證明：；（2）用m表示四邊形OAPB的面積S，并求出S的最大值；（3）設(shè)S= f (m), 求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）見解析；（2）1；（3）在（1，0）上為減函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù).【解析】（1）證明：可把兩條直線化為（3）, 又是單調(diào)遞減的函數(shù),而在（1，0）上遞增，在（0，1）上遞減，在（1，0）上為減函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù)