（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 課時22 4.7 正弦定理和余弦定理夯基提能作業(yè).docx

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4.7正弦定理和余弦定理A組基礎題組1.在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,若a,b,c成等差數列,B=30,ABC 的面積為32,則b=() A.1+32B.1+3C.2+32D.2+3答案B由條件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,則由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-3ac,即b2=4b2-12-63,解得b1=b2=1+3.2.如圖,正三棱錐P-ABC的所有棱長都為4.點D,E,F分別在棱PA,PB,PC上,則滿足DE=EF=3,DF=2的DEF的個數是()A.1B.2C.3D.4答案C令PD=x,PE=y,PF=z,則x2+y2-xy=9,y2+z2-zy=9,z2+x2-xz=4,當x=z時,x=z=2,y=1+6,當xz時,有兩解.3.(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬)在ABC中,BC=2,AC=22,則A的最大值是()A.30B.45C.60D.90 答案B由余弦定理,知cos A=c2+8-42c22=142c+4c22(當且僅當c=2時,取等號),故A的最大值為45,故選B.4.(2017浙江臺州調研)在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,則ABC的面積為()A.32B.34C.32或34D.3或32答案C由正弦定理知,2sin B-3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=32,故A=30.因為sin C=32,所以C=60或C=120.當C=60時,B=90,由asinA=csinC,得c=3,故S=12311=32;當C=120時,B=30,此時b=a=1,故S=1211sin 120=34.故選C.5.(2018杭州高三期末)設點P在ABC的BC邊所在的直線上從左到右運動,設ABP與ACP的外接圓面積之比為,當點P不與B,C重合時()A.先變小再變大B.當M為線段BC中點時,最大C.先變大再變小D.是一個定值答案D設ABP與ACP的外接圓半徑分別為r1,r2,則2r1=ABsinAPB,2r2=ACsinAPC,因為APB+APC=180,所以sinAPB=sinAPC,所以r1r2=ABAC,所以=r12r22=AB2AC2.故選D.6.已知a,b,c分別為ABC的內角A,B,C所對的邊,其面積滿足SABC=14a2,則cb的最大值為()A.2-1B.2C.2+1D.2+2答案C根據題意,有SABC=14a2=12bcsin A,應用余弦定理,可得b2+c2-2bccos A=2bcsin A,令t=cb,于是t2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t2+1,所以22sinA+4=t+1t,從而t+1t22,解得t的最大值為2+1.7.(2017浙江測試)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若a=23,C=3,tan A=34,則sin A=,b=.答案35;4+3解析由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sinCsinAa=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,b=acos C+ccos A=4+3.8.(2017浙江名校協作體)已知在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為ABC的面積.若a=4,b=5,C=2A,則c=,S=.答案6;1574解析由題意可知,asinA=bsinB=bsin(-3A)=bsin3A,所以asin 3A=bsin A,即4(3sin A-4sin3A)=5sin A,整理得7=16sin2A,從而cos2A=916,即cos A=34.由正弦定理得,c=sinCsinAa=2cos Aa=6.S=12bcsin A=125674=1574.9.(2018杭州七校高三聯考)設ABC的三個內角A、B、C所對的邊依次為a、b、c,若ABC的面積為S,且S=a2-(b-c)2,則sinA1-cosA=.答案4解析因為ABC的面積為S,且S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=12bcsin A,所以由余弦定理可得-2bccos A+2bc=12bcsin A,所以4-4cos A=sin A,所以sinA1-cosA=4-4cosA1-cosA=4.10.(2017浙江稽陽聯誼學校聯考)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知csin A=3acos C,則C=;若c=31,ABC的面積為332,則a+b=.答案3;7解析由正弦定理可得sin Csin A=3sin Acos C,因為sin A0,所以tan C=3,所以C=3.由12absin C=332,得ab=6.又由余弦定理得(31)2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以a+b=7.11.(2017浙江臺州質量評估)已知在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2a,3cos B=2cos A,c=3+1,則ABC的面積為.答案3+12解析由3cos B=2cos A,得3a2+c2-b22ac=2b2+c2-a22bc,又b=2a,c=3+1,所以上式可化簡為a2=3-13+1c2=2,所以a=2,b=2.所以cos B=a2+c2-b22ac=22,所以sin B=1-cos2B=22.故ABC的面積S=12acsin B=122(3+1)22=3+12.12.(2017浙江寧波期末)已知ABC的三邊分別為a,b,c,且a2+c2=b2+ac,則邊b所對的角B為;此時,若b=23,則ABAC的最大值為.答案3;6+43解析由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=12,B=3,由正弦定理得c=bsinCsinB=4sin C.ABAC=bccos A=83sin Ccos A,又C=23-A,ABAC=8332cosA+12sinAcos A=12cos2A+43sin Acos A=6(1+cos 2A)+23sin 2A=6+43sin2A+3.0A23,32A+30,所以sin B=32,因為三角形ABC為銳角三角形,所以B=3.(2)已知b=3,則3=a2+c2-2accos3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,所以a+c=23,所以三角形ABC的周長為33.15.已知f(x)=sin x(cos x+sin x)-1,xR.(1)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間;(2)在銳角ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a2+b2+c2的取值范圍.解析(1)f(x)=sin xcos x+sin2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=22sin2x-4-12.令2+2k2x-42k+32(kZ),得38+kxk+78(kZ).故函數f(x)的單調遞減區(qū)間為38+k,78+k(kZ).(2)由f(A)=0得sin2A-4=22.A0,2,2A-4-4,34,2A-4=4,A=4.易得bc=asinA2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(-A)=22+cos(B-C),又在銳角ABC中,A=4,故B-C-4,4,bc2,1+22,又cos A=b2+c2-a22bc,b2+c2-a2=2bc,a2+b2+c2=2bc+2(4,3+2.B組提升題組1.(2018金華東陽二中高三調研)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,則tan A的值是() A.-22B.-2C.22D.2答案C在ABC中,由余弦定理得ccos A+acos C=cb2+c2-a22bc+aa2+b2-c22ab=b.所以3bcos A=ccos A+acos C=b,兩邊約去b,得3cos A=1,所以cos A=130,所以A為銳角,且sin A=1-cos2A=223,因此,tan A=sinAcosA=22.2.若滿足條件AB=3,C=3的三角形ABC有兩個,則邊BC的長的取值范圍是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,2)答案C設BC=a,C=3,AB=3,由正弦定理得ABsinC=BCsinA,即332=asinA,sin A=a2.由題意得,當A3,23且A2時,滿足條件的ABC有兩個,32a21,解得3a2,即BC的取值范圍是(3,2).3.(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬)在銳角ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且acos B+bcos A=c2,C=3,則a+b的取值范圍是()A.1,2B.(1,2 C.3,2 D.(3,2 答案D由正弦定理,知sin Acos B+sin Bcos A=sin Cc,即sin(A+B)=csin C,所以c=1.又asinA=bsinB=csinC,所以a+b=sinAsinC+sinBsinCc=23sinA+sin23-A=2332sinA+32cosA=2sinA+6.因為0A2,023-A2,所以6A2,所以3A+623,所以a+b(3,2,故選D.4.(2017浙江紹興質量檢測)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=4,b=6,ABC的面積為3+32,則c=,B=.答案1+3;3解析由三角形的面積公式,知3+32=12622c,所以c=1+3.由正弦定理得,sinCsinB=cb,即sin34-BsinB=cb,所以622cosB+22sinB=(1+3)sin B,所以3cos B=sin B,即tan B=3,所以B=3.5.(2017浙江杭州二模)設a,b,c分別為ABC的內角A,B,C的對邊,且SABC=12c2.若ab=2,則a2+b2+c2的最大值是.答案4解析由SABC=12c2,知12absin C=12c2,所以c2=2sin C;由c2=a2+b2-2abcos C,可知a2+b2=c2+2abcos C=2sin C+22cos C.所以a2+b2+c2=22(sin C+cos C)=4sinC+44,當且僅當C=4時,取等號.故a2+b2+c2的最大值為4.6.已知在ABC中,M,N分別為AC,AB的中點,|AB|AC|=23,當ABC在上述條件下變化時,若|BM|CN|恒成立,則的最小值為.答案78解析設角A,B,C的對邊分別為a,b,c,不妨設c=2,b=3,a=x(1x5).易求得|BM|2=a22+c22-b24,從而|BM|=2x2-12.同理,|CN|=2x2+142,2x2-12x2+14(1x5),從而78.7.已知ABC的面積為1,A的平分線交對邊BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,kR,則當k=時,邊BC的長度最短.答案2105解析由題可設在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則c=2b,AD=kb.由角平分線定理知,SACD=13=12sin A2kb2,又1=12b2bsin A,兩式聯立,消去b2,得cos A2=34k.又a2=b2+(2b)2-2b2bcos A=b2(5-4cos A)=5-4cosAsinA,所以a2sin A+4cos A=5,利用輔助角公式,知a4+16sin(A+)=5tan=4a2,所以a4+1625,即a23當sinA=35,cosA=45時,取等號,此時cos A2=1+cosA2=31010,故k=43cos A2=2510.8.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60,則sin B=,c=.答案217;3解析本題考查正弦定理、余弦定理.由asinA=bsinB得sin B=basin A=217,由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍負).9.(2017杭州四校期中)在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求ABC的周長l的取值范圍.解析(1)由題意得2cos2A+12=2cos A,即4cos2A-4cos A+1=0,(2cos A-1)2=0,cos A=12.又0A,A=3.(2)根據正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b=23sin B,c=23sin C,l=1+b+c=1+23(sin B+sin C),A=3,B+C=23,l=1+23sinB+sin23-B=1+2sinB+6,0B23,6B+656,l(2,3.10.在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=3.(1)若ABC的面積等于3,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求ABC的面積.解析(1)在ABC中,由余弦定理及三角形面積公式得4=a2+b2-ab,3=12ab32,即4=a2+b2-ab,ab=4,解得a=b=2.(2)3sin 2A=sin C+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A),化簡得6sin Acos A=2sin Bcos A,又A為ABC的內角,所以cos A0,所以sin B=3sin A,即b=3a,由余弦定理可得a2=47,故ABC的面積S=12absin C=3a234=337.11.(2017溫州中學月考)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且 a=2,2cos2B+C2+sin A=45.(1)若滿足條件的ABC有且只有一個,求b的取值范圍;(2)當ABC的周長取最大值時,求b的值. 解析由2cos2B+C2+sin A=45,得1+cos(B+C)+sin A=45,所以sin A-cos A=-15,又0A,且sin2A+cos2A=1,所以sinA=35,cosA=45.(1)若滿足條件的ABC有且只有一個,則有a=bsin A或ab,則b的取值范圍為(0,2103.(2)設ABC的周長為l,則l=a+b+c.由正弦定理得l=a+asinA(sin B+sin C)=2+103sin B+sin(A+B)=2+103(sin B+sin Acos B+cos Asin B)=2+2(3sin B+cos B)=2+210sin(B+),其中為銳角,且sin =1010,cos =31010,所以lmax=2+210,且當cos B=1010,sin B=31010時取到.此時b=asinAsin B=10 .