2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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第一課導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用核心速填1導(dǎo)數(shù)的概念(1)定義:函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 ,稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(2)幾何意義:函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線斜率2幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)若yf(x)c,則f(x)0.(2)若yf(x)x,則f(x)1.(3)若yf(x)x2,則f(x)2x.(4)若yf(x),則f(x).(5)若yf(x),則f(x).3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)若f(x)c(c為常數(shù)),則f(x)0.(2)若f(x)x(Q*),則f(x)x1.(3)若f(x)sin x,則f(x)cos_x.(4)若f(x)cos x ,則f(x)sin_x.(5)若f(x)ax,則f(x)axln_a.(6)若f(x)ex,則f(x)ex.(7)若f(x)logax,則f(x).(8)若f(x)ln x,則f(x).4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3).5復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)復(fù)合函數(shù)記法:yf(g(x)(2)中間變量代換:yf(u),ug(x)(3)逐層求導(dǎo)法則:yxyuux.6函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極大值:在點(diǎn)xa附近,滿足f(a)f(x),當(dāng)xa時(shí),f(x)0,當(dāng)xa時(shí),f(x)0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)的極大值;極小值:在點(diǎn)xa附近,滿足f(a)f(x),當(dāng)xa時(shí),f(x)0,當(dāng)xa時(shí),f(x)0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)的極小值7求函數(shù)yf(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)為最小值8微積分基本定理一般地,如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù),并且F(x)f(x),那么f(x)dxF(b)F(a)9定積分的性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx;f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx;f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)體系構(gòu)建題型探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,6)處的切線方程;(2)直線l為曲線yf(x)的切線,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);(3)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062107】解(1)f(x)(x3x16)3x21,f(x)在點(diǎn)(2,6)處的切線的斜率為kf(2)13.切線的方程為y13(x2)(6),即y13x32.(2)法一:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則直線l的斜率為f(x0)3x1,直線l的方程為y(3x1)(xx0)xx016.又直線l過(guò)點(diǎn)(0,0),0(3x1)(x0)xx016.整理得,x8,x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直線l的方程為y13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,26)法二:設(shè)直線l的方程為ykx,切點(diǎn)為(x0,y0),則k,又kf(x0)3x1,3x1.解得,x02,y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直線l的方程為y13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,26)(3)切線與直線y3垂直,切線的斜率k4.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)3x14,x01.或即切點(diǎn)為(1,14)或(1,18)切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.規(guī)律方法1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程yy0f(x0)(xx0),明確“過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0,y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點(diǎn).2.圍繞著切點(diǎn)有三個(gè)等量關(guān)系:切點(diǎn)(x0,y0),則kf(x0),y0f(x0),(x0,y0)滿足切線方程,在求解參數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常用到.跟蹤訓(xùn)練1直線ykxb與曲線yx3ax1相切于點(diǎn)(2,3),則b_.解析yx3ax1過(guò)點(diǎn)(2,3),a3,y3x23,ky|x23439,bykx39215.答案15函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)f(x)是定義在(0,)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf(x)f(x)0,對(duì)任意正數(shù)a,b,若ab,則必有() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062108】Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b)Dbf(b)af(a)(2)設(shè)f(x)aln x,其中a為常數(shù),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性(1)A令F(x),則F(x).又當(dāng)x0時(shí),xf(x)f(x)0,F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)在(0,)上單調(diào)遞減又ab,F(xiàn)(a)F(b),bf(a)af(b),故選A.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)f(x).當(dāng)a0時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí),令g(x)ax2(2a2)xa,由于(2a2)24a24(2a1),當(dāng)a時(shí),0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減當(dāng)a時(shí),0,g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí),0.設(shè)x1,x2(x1x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn),則x1,x2,由x10,所以x(0,x1)時(shí),g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x(x1,x2)時(shí),g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x(x2,)時(shí),g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,綜上可得:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時(shí),要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f(x)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)求解.求解參數(shù)范圍的步驟為:(1)對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo),得到f(x);(2)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則f(x)0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則f(x)0恒成立,得到關(guān)于參數(shù)的不等式,解出參數(shù)范圍;(3)驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí),是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)上為常函數(shù),舍去此參數(shù)值.跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù),在區(qū)間(6,)上為增函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)x2axa1.令f(x)0,解得x1或xa1.當(dāng)a11,即a2時(shí),函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù),不合題意當(dāng)a11,即a2時(shí),函數(shù)f(x)在(,1)上為增函數(shù),在(1,a1)上為減函數(shù),在(a1,)上為增函數(shù)依題意當(dāng)x(1,4)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(6,)時(shí),f(x)0.故4a16,即5a7.因此a的取值范圍是5,7函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)且在點(diǎn)P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,t(0t3)上的最大值和最小值解(1)因?yàn)閒(x)3x22ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a,即32a3,a3.又函數(shù)過(guò)(1,0)點(diǎn),即2b0,b2.所以a3,b2,f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22,得f(x)3x26x.由f(x)0,得x0或x2.當(dāng)0t2時(shí),在區(qū)間(0,t)上,f(x)0,f(x)在0,t上是減函數(shù),所以f(x)maxf(0)2,f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2t3時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x0(0,2)2(2,t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè)f(t)f(0)t33t2t2(t3)0,所以f(x)maxf(0)2.母題探究:(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下,若關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)c的取值范圍解令g(x)f(x)cx33x22c,則g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上,g(x)0;在x(2,3上,g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,則解得2c0.規(guī)律方法(1)求極值時(shí)一般需確定f(x)0的點(diǎn)和單調(diào)性,對(duì)于常見(jiàn)連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn),當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn).(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí),對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷,只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得.跟蹤訓(xùn)練3已知a,b為常數(shù)且a0,f(x)x3(1a)x23axb.(1)函數(shù)f(x)的極大值為2,求a,b間的關(guān)系式;(2)函數(shù)f(x)的極大值為2,且在區(qū)間0,3上的最小值為,求a,b的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062109】解(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1),令f(x)0,解得x11,x2a,因?yàn)閍0,所以x1x2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,1)1(1,a)a(a,)f(x)00f(x)極大值極小值所以當(dāng)x1時(shí),f(x)有極大值2,即3a2b3.(2)當(dāng)0a3時(shí),由(1)知,f(x)在0,a)上為減函數(shù),在(a,3上為增函數(shù),所以f(a)為最小值,f(a)a3a2b.即a3a2b.又由b,于是有a33a23a260,即(a1)327,所以a2,b.當(dāng)a3時(shí),由(1)知f(x)在0,3上為減函數(shù),即f(3)為最小值,f(3),從而求得a,不合題意,舍去綜上,a2,b.生活中的優(yōu)化問(wèn)題某企業(yè)擬建造如圖11所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱體,左右兩端均為半球體,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元圖11(1)將y表示成r的函數(shù),并求該函數(shù)的定義域;(2)確定r和l為何值時(shí),該容器的建造費(fèi)用最小,并求出最小建造費(fèi)用解由題意可知r2l,l.又圓柱的側(cè)面積為2rl,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4r2.所以y34r248r2.又l0r2,所以定義域?yàn)?0,2)(2)因?yàn)閥16r,所以令y0,得2r2;令y0,得0r2.所以當(dāng)r2米時(shí),該容器的建造費(fèi)用最小,為96千元,此時(shí)l米規(guī)律方法解決優(yōu)化問(wèn)題的步驟(1)要分析問(wèn)題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,并確定函數(shù)的定義域.(2)要通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最值,提出優(yōu)化方案,使問(wèn)題得以解決,在這個(gè)過(guò)程中,導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問(wèn)題的解是否滿足實(shí)際意義.跟蹤訓(xùn)練4現(xiàn)有一批貨物由海上A地運(yùn)往B地,已知輪船的最大航行速度為35海里/小時(shí),A地至B地之間的航行距離約為500海里,每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成,輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費(fèi)用為每小時(shí)960元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時(shí))的函數(shù);(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,輪船應(yīng)以多大速度行駛?解(1)依題意得y(9600.6x2)300x,函數(shù)的定義域?yàn)?0,35,即y300x(0x35)(2)由(1)知y300x(0x35),所以y300.令y0,解得x40或x40(舍去)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0,35,所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有極值又當(dāng)0x35時(shí),y0,所以y300x在(0,35上單調(diào)遞減,故當(dāng)x35時(shí),函數(shù)y300x取得最小值故為了使全程運(yùn)輸成本最小,輪船應(yīng)以35海里/小時(shí)的速度行駛.函數(shù)方程思想設(shè)函數(shù)f(x)x36x5,xR.(1)求f(x)的極值點(diǎn);(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)已知當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)k(x1)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062110】解(1)f(x)3(x22),令f(x)0,得x1,x2.當(dāng)x(,)(,)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(,) 時(shí),f(x)0,因此x1,x2分別為f(x)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)(2)由(1)的分析可知yf(x)圖象的大致形狀及走向如圖所示要使直線ya與yf(x)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)需54f()af()54.則方程f(x)a有3個(gè)不同實(shí)根時(shí),所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(54,54)(3)法一:f(x)k(x1),即(x1)(x2x5)k(x1),因?yàn)閤1,所以kx2x5在(1,)上恒成立,令g(x)x2x5,由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1,)上是增函數(shù),所以g(x)g(1)3,所以所求k的取值范圍是為(,3法二:直線yk(x1)過(guò)定點(diǎn)(1,0)且f(1)0,曲線f(x)在點(diǎn)(1,0)處切線斜率f(1)3,由(2)中草圖知要使x(1,)時(shí),f(x)k(x1)恒成立需k3.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(,3規(guī)律方法討論方程根的個(gè)數(shù),研究函數(shù)圖象與x軸或某直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)極(最)值的應(yīng)用.問(wèn)題破解的方法是根據(jù)題目的要求,借助導(dǎo)數(shù)將函數(shù)的單調(diào)性與極(最)值列出,然后再借助單調(diào)性和極(最)值情況,畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖,數(shù)形結(jié)合求解.跟蹤訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)ex,aR,試討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xa(1)當(dāng)xa時(shí),ex0,xa0,f(x)0,即f(x)在(a,)上無(wú)零點(diǎn)(2)當(dāng)xa時(shí),f(x),令g(x)ex(xa)1,則g(x)ex(xa1)由g(x)0得xa1.當(dāng)xa1時(shí),g(x)0;當(dāng)xa1時(shí),g(x)0,g(x)在(,a1)上單調(diào)遞減,在(a1,)上單調(diào)遞增,g(x)ming(a1)1ea1.當(dāng)a1時(shí),g(a1)0,xa1是f(x)的唯一零點(diǎn);當(dāng)a1時(shí),g(a1)1ea10,f(x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)a1時(shí),g(a1)1ea10,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)- 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- 2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2 2018 高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 及其 應(yīng)用 階段 復(fù)習(xí) 新人 選修
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