2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)教案 文.docx

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第二講　橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì) 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學(xué)科素養(yǎng) 2018 Ⅰ卷 橢圓的離心率T4 命題分析 1.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容．以選擇、填空題的形式考查，常出現(xiàn)在第4～11或15～16題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中等． 2.圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第20題的位置，一般難度較大． 學(xué)科素養(yǎng) 通過對橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì)的考查，著重考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算三大核心素養(yǎng). Ⅱ卷 雙曲線的漸近線問題T6 橢圓的離心率T11 Ⅲ卷 雙曲線的離心率與漸近線問題T10 2017 Ⅰ卷 雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用T5 橢圓的綜合應(yīng)用T12 Ⅱ卷 雙曲線離心率的范圍T5 拋物線的方程及應(yīng)用T12 Ⅲ卷 橢圓的離心率求法T11 已知雙曲線的漸近線求參數(shù)T14 2016 Ⅰ卷 橢圓的離心率求法T5 Ⅲ卷 直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率求法T12 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第45頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)雙曲線：＝2a(2a<|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M. 2．求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計算”． 所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值． [全練——快速解答] 1．(2017高考全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y＝x， 可知＝.① 又橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)為(3,0)和(－3,0)， 所以a2＋b2＝9.② 根據(jù)①②可知a2＝4，b2＝5， 所以C的方程為－＝1. 答案：B 2．(2018山西四校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝3px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：∵拋物線C：y2＝3px(p＞0)的焦點為F(，0)，∴|OF|＝，∵以MF為直徑的圓過點(0,2)，設(shè)A(0,2)，連接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝，∴sin ∠OAF＝＝，根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于點A，∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝，∵|MF|＝5，|AF|＝，∴＝，整理得4＋＝，解得p＝或p＝，∴C的方程為y2＝4x或y2＝16x. 答案：C 3．如果點P1，P2，P3，…，P10是拋物線y2＝2x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，…，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________. 解析：由拋物線的定義可知，拋物線y2＝2px(p＞0)上的點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10. 答案：10 4．(2018重慶模擬)從雙曲線－＝1的左焦點F引圓x2＋y2＝4的切線FP交雙曲線右支于點P，T為切點，M為線段FP的中點，O為坐標(biāo)原點，則|MO|－|MT|＝________. 解析：不妨設(shè)點P在第一象限，雙曲線－＝1的右焦點為F′，連接PF′，OT.(圖略)因為M為線段FP的中點，所以|OM|＝|PF′|，|FM|＝|PF|，且|OT|＝2，|OF|＝，所以|FT|＝＝3，由雙曲線的定義得|PF|－|PF′|＝4，易知|MF|＞|FT|，所以|MO|－|MT|＝|PF′|－(|MF|－|FT|)＝|PF′|－|PF|＋|FT|＝(|PF′|－|PF|)＋3＝(－4)＋3＝1. 答案：1 【類題通法】 1.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)． 2.在使用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要注意區(qū)分焦點位置. 橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì) 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第45頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ； (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝ . 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系． 3．拋物線方程中p的幾何意義為焦點到準(zhǔn)線的距離． [全練——快速解答] 1．(2018南寧、柳州聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(b＞0)的一個焦點與拋物線y2＝8x的焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝x　 B．y＝x C．y＝3x D．y＝x 解析：由題意知，拋物線的焦點是(2,0)，即雙曲線－＝1的一個焦點坐標(biāo)是(2,0)，則c＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是雙曲線的漸近線方程為y＝x，故選B. 答案：B 2．(2018貴陽模擬)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線交C于P，Q兩點，若cos∠PAQ＝，則橢圓C的離心率e為(　　) A. B. C. D. 解析：根據(jù)題意可取P(c，)，Q(c，－)，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos 2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2?8(1－e)2＝2?(1－e)2＝.又橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，所以1－e＝，e＝.故選A. 答案：A 3．(2018惠州模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立，得解得即M(－，)．因點M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故(－)2＋()2＜c2，化簡得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又雙曲線的離心率e＝＞1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)．故選A. 答案：A 4．(2018高考全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90，則k＝________. 解析：法一：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝. 設(shè)AB中點M′(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M(jìn)′(x0，y0)為AB中點， ∴M為A′B′的中點，∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 法二：由題意知，拋物線的焦點坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝. 由M(－1,1)，得A＝(－1－x1,1－y1)，B＝(－1－x2,1－y2)． 由∠AMB＝90，得AB＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又y1y2＝k(x1－1)k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]， y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2. 答案：2 【類題通法】 1．橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． 直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第46頁 [悟通——方法結(jié)論] 　弦長問題 設(shè)直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若直線AB的斜率存在(設(shè)為k)，則|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)，其中|x1－x2|＝，|y1－y2|＝；若直線AB的斜率不存在，則直接求出直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求弦長． 　(2017高考全國卷Ⅰ)(12分)設(shè)A，B為曲線C： (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線求直線AB的方程． [學(xué)審題] 條件信息 想到方法 注意什么 信息?：曲線y＝上兩點A，B的橫坐標(biāo)之和為4 設(shè)兩點坐標(biāo)，作兩點坐標(biāo)滿足方程的差，結(jié)合斜率公式和橫坐標(biāo)的和來求解 (1)利用兩點的斜率公式時，兩點的橫坐標(biāo)應(yīng)不相等 (2)直線與曲線交于兩點，聯(lián)立方程消元后得到的一元二次方程的判別式大于0 信息?：切線平行直線AB 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用平行直線斜率相等可得M的坐標(biāo) 信息?：AM⊥BM △ABM為直角三角形及其性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 [規(guī)范解答]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， (2分) 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (4分) (2)由y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1， 解得x3＝2， (6分) 于是M(2,1)． 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， (8分) 故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1,2＝22. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. (10分) 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7(m＝－1舍去)． 所以直線AB的方程為x－y＋7＝0. (12分) 【類題通法】 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題充分體現(xiàn)了方程思想，化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想，著重考查運算及推理能力，其解決的方法一般是： (1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在進(jìn)行討論，或?qū)⒅本€方程設(shè)成x＝my＋b的形式； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系． [練通——即學(xué)即用] 1．(2018高考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A.　 B．3 C．2 D．4 解析：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x. 設(shè)兩漸近線夾角為2α，則有tan α＝＝，所以α＝30. 所以∠MON＝2α＝60. 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝. 則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|tan 2α＝tan 60＝3. 故選B. 答案：B 2．(2018洛陽模擬)已知短軸的長為2的橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，直線n的橫、縱截距分別為a，－1，且原點O到直線n的距離為. (1)求橢圓E的方程； (2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點F且與橢圓E交于A，B兩點，若橢圓E上存在一點C滿足＋－2＝0，求直線l的方程． 解析：(1)∵橢圓E的短軸的長為2，故b＝1. 依題意設(shè)直線n的方程為－y＝1，由＝，解得a＝，故橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 當(dāng)直線l的斜率為0時，顯然不符合題意． 當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty＋， 由得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，　① ∵＋－2＝0，∴x3＝x1＋x2，y3＝y(tǒng)1＋y2， 又點C在橢圓E上， ∴＋y＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝(＋y)＋(＋y)＋(x1x2＋y1y2)＝1， 又＋y＝1，＋y＝1， ∴x1x2＋y1y2＝0，?、? 將x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，即t＝1或t＝－1. 故直線l的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0. 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第130頁 一、選擇題 1．(2018廣西南寧模擬)雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　) A．y＝x　 B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：在雙曲線 －＝1中，a＝5，b＝2，而其漸近線方程為y＝x，∴其漸近線方程為y＝x，故選D. 答案：D 2．已知橢圓C的方程為＋＝1(m＞0)，如果直線y＝x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F，則m的值為(　　) A．2 B．2 C．8　　　 D．2 解析：根據(jù)已知條件得c＝，則點在橢圓＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2. 答案：B 3．(2018張掖模擬)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：雙曲線－＝1的漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，則圓心(0,2)到直線bx－ay＝0的距離為1，所以＝1，即＝1，所以雙曲線的離心率e＝＝2，故選C. 答案：C 4．(2017高考全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點O(0,0)，半徑為a.由題意，圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離為＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝. 答案：A 5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，漸近線方程為2xy＝0，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：易知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，得＝2，因為雙曲線的焦距為4，所以c＝2，結(jié)合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為－＝1，故選A. 答案：A 6．(2018長春模擬)已知O為坐標(biāo)原點，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線上任意一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D. 解析：不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點M，由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M，故△PF1M為等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H為F1M的中點，所以O(shè)H為△MF1F2的中位線，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.故選A. 答案：A 7．(2018高考全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：由題意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因為a＞0，b＞0，所以a＝b，漸近線方程為xy＝0，點(4,0)到漸近線的距離為＝2， 故選D. 答案：D 8．(2018石家莊一模)已知直線l：y＝2x＋3被橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦長為7，有下列直線：①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.其中被橢圓C截得的弦長一定為7的有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：易知直線y＝2x－3與直線l關(guān)于原點對稱，直線y＝－2x－3與直線l關(guān)于x軸對稱，直線y＝－2x＋3與直線l關(guān)于y軸對稱，故由橢圓的對稱性可知，有3條直線被橢圓C截得的弦長一定為7.選C. 答案：C 9．(2018洛陽模擬)設(shè)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，過F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若d是雙曲線上任意一點P到直線MN的距離，則的值為(　　) A. B. C. D．無法確定 解析：雙曲線C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦點F(5,0)，漸近線方程為y＝x.不妨設(shè)M在直線 y＝x上，N在直線y＝－x上，則直線MF的斜率為－，其方程為y＝－(x－5)，設(shè)M(t，t)，代入直線MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M(，)．由對稱性可得N(，－)，所以直線MN的方程為x＝.設(shè)P(m，n)，則d＝|m－|，－＝1，即n2＝(m2－16)，則|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故選B. 答案：B 10．(2018高考全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由題意知直線MN的方程為y＝(x＋2)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程，得 解得或 不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)． 又∵拋物線焦點為F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)， ∴＝03＋24＝8. 故選D. 答案：D 11．(2018廣西五校聯(lián)考)已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M，N兩點，若1＞0，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(，＋1) B．(1，＋1) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 依題意可得－＝1，得到y(tǒng)＝， 不妨設(shè)M，N， 則11＝＝4c2－＞0， 得到4a2c2－(c2－a2)2＞0， 即a4＋c4－6a2c2＜0， 故e4－6e2＋1＜0， 解得3－2＜e2＜3＋2， 又e＞1，所以1＜e2＜3＋2， 解得1＜e＜1＋ 答案：B 12．(2018南昌模擬)拋物線y2＝8x的焦點為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個動點，若x1＋x2＋4＝|AB|，則∠AFB的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：由拋物線的定義可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝|AB|， 得|AF|＋|BF|＝|AB|， 所以|AB|＝(|AF|＋|BF|)． 所以cos∠AFB＝ ＝ ＝ ＝－≥2－＝－，而0＜∠AFB＜π， 所以∠AFB的最大值為. 答案：D 二、填空題 13．(2018成都模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0)和拋物線y2＝8x有相同的焦點，則雙曲線的離心率為________． 解析：易知拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，所以雙曲線－＝1的一個焦點為(2,0)，則a2＋2＝22，即a＝，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 14．(2018武漢調(diào)研)雙曲線Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為10，焦點到漸近線的距離為3，則Γ的實軸長等于________． 解析：雙曲線的焦點(0,5)到漸近線y＝x，即ax－by＝0的距離為＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8. 答案：8 15．(2018唐山模擬)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________. 解析：設(shè)AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過A作AC⊥l，垂足為C，過B作BD⊥l，垂足為D，因為|AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4. 答案：4 16．(2017高考全國卷Ⅰ改編)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120，則m的取值范圍是________． 解析：當(dāng)0＜m＜3時，焦點在x軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120， 則≥tan 60＝，即≥ ， 解得0＜m≤1. 當(dāng)m＞3時，焦點在y軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120， 則≥tan 60＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 答案：(0,1]∪[9，＋∞) 三、解答題 17．(2018遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B，若△BF1F2的周長為6，且點F1到直線BF2的距離為b. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點，直線A1P交直線x＝m于點M，若以MP為直徑的圓過點A2，求實數(shù)m的值． 解析：(1)由題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)， 則2a＋2c＝6，① 直線BF2的方程為bx＋cy－bc＝0， 所以＝b，即2c＝a，② 又a2＝b2＋c2，③ 所以由①②③可得a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)不妨設(shè)A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)， 則直線A1P的方程為y＝(x＋2)， 所以M(m，(m＋2))， 又點P在橢圓C上，所以y＝3(1－)， 若以MP為直徑的圓過點A2，則A2M⊥A2P，＝0， 所以(m－2，(m＋2))(x0－2，y0)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(x0－2)(m－)＝0. 又點P不同于點A1，A2，所以x0≠2， 所以m＝14. 18．(2018廣州模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的上焦點為F1，橢圓C的離心率為，且過點(1，)． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)過橢圓C的上頂點A的直線l與橢圓C交于點B(B不在y軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與x軸交于點H，若＝0，且|MO|＝|MA|，求直線l的方程． 解析：(1)因為橢圓C的離心率為，所以＝，即a＝2c. 又a2＝b2＋c2，所以b2＝3c2，即b2＝a2，所以橢圓C的方程為＋＝1. 把點(1，)代入橢圓C的方程中，解得a2＝4. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)知，A(0,2)，設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝kx＋2， 由得(3k2＋4)x2＋12kx＝0. 設(shè)B(xB，yB)，得xB＝， 所以yB＝， 所以B(，)． 設(shè)M(xM，yM)，因為|MO|＝|MA|，所以點M在線段OA的垂直平分線上， 所以yM＝1，因為yM＝kxM＋2，所以xM＝－，即M(－，1)． 設(shè)H(xH,0)，又直線HM垂直于直線l，所以kMH＝－，即＝－. 所以xH＝k－，即H(k－，0)． 又F1(0,1)，所以＝(，)，＝(k－，－1)． 因為＝0，所以(k－)－＝0， 解得k＝. 所以直線l的方程為y＝x＋2.