2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)教案 文.docx

第二講橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)2018卷橢圓的離心率T4命題分析1.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容以選擇、填空題的形式考查，常出現(xiàn)在第411或1516題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中等2.圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第20題的位置，一般難度較大學(xué)科素養(yǎng)通過對橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì)的考查，著重考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算三大核心素養(yǎng).卷雙曲線的漸近線問題T6橢圓的離心率T11卷雙曲線的離心率與漸近線問題T102017卷雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用T5橢圓的綜合應(yīng)用T12卷雙曲線離心率的范圍T5拋物線的方程及應(yīng)用T12卷橢圓的離心率求法T11已知雙曲線的漸近線求參數(shù)T142016卷橢圓的離心率求法T5卷直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率求法T12圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第45頁悟通方法結(jié)論1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值全練快速解答1(2017高考全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1B.1C.1D.1解析：根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為yx，可知.又橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根據(jù)可知a24，b25，所以C的方程為1.答案：B2(2018山西四校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y23px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則拋物線C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x解析：拋物線C：y23px(p0)的焦點(diǎn)為F(，0)，|OF|，以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，設(shè)A(0,2)，連接AF，AM，可得AFAM，在RtAOF中，|AF|，sin OAF，根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于點(diǎn)A，OAFAMF，可得在RtAMF中，sinAMF，|MF|5，|AF|，整理得4，解得p或p，C的方程為y24x或y216x.答案：C3如果點(diǎn)P1，P2，P3，P10是拋物線y22x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若x1x2x3x105，則|P1F|P2F|P3F|P10F|_.解析：由拋物線的定義可知，拋物線y22px(p0)上的點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10.答案：104(2018重慶模擬)從雙曲線1的左焦點(diǎn)F引圓x2y24的切線FP交雙曲線右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|MT|_.解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，雙曲線1的右焦點(diǎn)為F，連接PF，OT.(圖略)因?yàn)镸為線段FP的中點(diǎn)，所以|OM|PF|，|FM|PF|，且|OT|2，|OF|，所以|FT|3，由雙曲線的定義得|PF|PF|4，易知|MF|FT|，所以|MO|MT|PF|(|MF|FT|)|PF|PF|FT|(|PF|PF|)3(4)31.答案：1【類題通法】1.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)2.在使用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要注意區(qū)分焦點(diǎn)位置.橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第45頁悟通方法結(jié)論1橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e .2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系3拋物線方程中p的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離全練快速解答1(2018南寧、柳州聯(lián)考)已知雙曲線1(b0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為()AyxByxCy3xDyx解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)是(2,0)，即雙曲線1的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，則c2，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以3b22，即b1，于是雙曲線的漸近線方程為yx，故選B.答案：B2(2018貴陽模擬)橢圓C：1(ab0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，若cosPAQ，則橢圓C的離心率e為()A.B.C.D.解析：根據(jù)題意可取P(c，)，Q(c，)，所以tanPAF1e，cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAF，故55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)2.又橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，所以1e，e.故選A.答案：A3(2018惠州模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點(diǎn)，過其中一個焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是()A(1,2)B(2，)C(1，)D(，)解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)，則過點(diǎn)F1與漸近線yx平行的直線為yxc，聯(lián)立，得解得即M(，)因點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內(nèi)，故()2()2c2，化簡得b23a2，即c2a23a2，解得2，又雙曲線的離心率e1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)故選A.答案：A4(2018高考全國卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90，則k_.解析：法一：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k.設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，MM平行于x軸，y1y22，k2.法二：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1,1)，得A(1x1,1y1)，B(1x2,1y2)由AMB90，得AB0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案：2【類題通法】1橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第46頁悟通方法結(jié)論弦長問題設(shè)直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若直線AB的斜率存在(設(shè)為k)，則|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)，其中|x1x2|，|y1y2|；若直線AB的斜率不存在，則直接求出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(2017高考全國卷)(12分)設(shè)A，B為曲線C：(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線求直線AB的方程學(xué)審題條件信息想到方法注意什么信息：曲線y上兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之和為4設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，作兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程的差，結(jié)合斜率公式和橫坐標(biāo)的和來求解(1)利用兩點(diǎn)的斜率公式時，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)不相等(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程消元后得到的一元二次方程的判別式大于0信息：切線平行直線AB導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用平行直線斜率相等可得M的坐標(biāo)信息：AMBMABM為直角三角形及其性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半規(guī)范解答(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24， (2分)于是直線AB的斜率k1. (4分)(2)由y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32， (6分)于是M(2,1)設(shè)直線AB的方程為yxm， (8分)故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2m)，|MN|m1|.將yxm代入y，得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時，x1,222.從而|AB|x1x2|4. (10分)由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7(m1舍去)所以直線AB的方程為xy70. (12分)【類題通法】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題充分體現(xiàn)了方程思想，化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想，著重考查運(yùn)算及推理能力，其解決的方法一般是：(1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在進(jìn)行討論，或?qū)⒅本€方程設(shè)成xmyb的形式；(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系練通即學(xué)即用1(2018高考全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A.B3C2D4解析：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為yx.設(shè)兩漸近線夾角為2，則有tan ，所以30.所以MON260.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|.則在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故選B.答案：B2(2018洛陽模擬)已知短軸的長為2的橢圓E：1(ab0)，直線n的橫、縱截距分別為a，1，且原點(diǎn)O到直線n的距離為.(1)求橢圓E的方程；(2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足20，求直線l的方程解析：(1)橢圓E的短軸的長為2，故b1.依題意設(shè)直線n的方程為y1，由，解得a，故橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，當(dāng)直線l的斜率為0時，顯然不符合題意當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線l的方程為xty，由得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2，20，x3x1x2，y3y1y2，又點(diǎn)C在橢圓E上，y(x1x2)2(y1y2)2(y)(y)(x1x2y1y2)1，又y1，y1，x1x2y1y20，將x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直線l的方程為xy0或xy0.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第130頁一、選擇題1(2018廣西南寧模擬)雙曲線1的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx解析：在雙曲線 1中，a5，b2，而其漸近線方程為yx，其漸近線方程為yx，故選D.答案：D2已知橢圓C的方程為1(m0)，如果直線yx與橢圓的一個交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，則m的值為()A2 B2 C8 D2解析：根據(jù)已知條件得c，則點(diǎn)在橢圓1(m0)上，1，可得m2.答案：B3(2018張掖模擬)雙曲線1(a0，b0)的漸近線與圓x2(y2)21相切，則雙曲線的離心率為()A.B.C2D3解析：雙曲線1的漸近線與圓x2(y2)21相切，則圓心(0,2)到直線bxay0的距離為1，所以1，即1，所以雙曲線的離心率e2，故選C.答案：C4(2017高考全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A.B.C.D.解析：以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，半徑為a.由題意，圓心到直線bxay2ab0的距離為a，即a23b2.又e21，所以e.答案：A5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為4，漸近線方程為2xy0，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1D.1解析：易知雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)在x軸上，所以由漸近線方程為2xy0，得2，因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c2，結(jié)合c2a2b2，可得a2，b4，所以雙曲線的方程為1，故選A.答案：A6(2018長春模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|()A1B2C4D.解析：不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M，故PF1M為等腰三角形，|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)H為MF1F2的中位線，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.故選A.答案：A7(2018高考全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.B2C.D2解析：由題意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因?yàn)閍0，b0，所以ab，漸近線方程為xy0，點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為2，故選D.答案：D8(2018石家莊一模)已知直線l：y2x3被橢圓C：1(ab0)截得的弦長為7，有下列直線：y2x3；y2x1；y2x3；y2x3.其中被橢圓C截得的弦長一定為7的有()A1條B2條C3條D4條解析：易知直線y2x3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線y2x3與直線l關(guān)于x軸對稱，直線y2x3與直線l關(guān)于y軸對稱，故由橢圓的對稱性可知，有3條直線被橢圓C截得的弦長一定為7.選C.答案：C9(2018洛陽模擬)設(shè)雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若d是雙曲線上任意一點(diǎn)P到直線MN的距離，則的值為()A.B.C.D無法確定解析：雙曲線C：1中，a4，b3，c5，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為yx.不妨設(shè)M在直線 yx上，N在直線yx上，則直線MF的斜率為，其方程為y(x5)，設(shè)M(t，t)，代入直線MF的方程，得t(t5)，解得t，即M(，)由對稱性可得N(，)，所以直線MN的方程為x.設(shè)P(m，n)，則d|m|，1，即n2(m216)，則|PF|5m16|.故，故選B.答案：B10(2018高考全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則()A5B6 C7D8解析：由題意知直線MN的方程為y(x2)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得解得或不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)又拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，(0,2)，(3,4)，03248.故選D.答案：D11(2018廣西五校聯(lián)考)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，若10，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(，1)B(1，1)C(1，)D(，)解析：設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，依題意可得1，得到y(tǒng)，不妨設(shè)M，N，則114c20，得到4a2c2(c2a2)20，即a4c46a2c20，故e46e210，解得32e232，又e1，所以1e232，解得1e1答案：B12(2018南昌模擬)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個動點(diǎn)，若x1x24|AB|，則AFB的最大值為()A.B.C.D.解析：由拋物線的定義可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)所以cosAFB2，而0AFB，所以AFB的最大值為.答案：D二、填空題13(2018成都模擬)已知雙曲線1(a0)和拋物線y28x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_解析：易知拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以雙曲線1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則a2222，即a，所以雙曲線的離心率e.答案：14(2018武漢調(diào)研)雙曲線：1(a0，b0)的焦距為10，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則的實(shí)軸長等于_解析：雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線yx，即axby0的距離為b3，所以a4,2a8.答案：815(2018唐山模擬)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|2|BF|6，則p_.解析：設(shè)AB的方程為xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過A作ACl，垂足為C，過B作BDl，垂足為D，因?yàn)閨AF|2|BF|6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：416(2017高考全國卷改編)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則m的取值范圍是_解析：當(dāng)0m3時，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan 60，即 ，解得0m1.當(dāng)m3時，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan 60，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)答案：(0,19，)三、解答題17(2018遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若BF1F2的周長為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為b.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線xm于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，求實(shí)數(shù)m的值解析：(1)由題意得F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，則2a2c6，直線BF2的方程為bxcybc0，所以b，即2ca，又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，則直線A1P的方程為y(x2)，所以M(m，(m2)，又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y3(1)，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，則A2MA2P，0，所以(m2，(m2)(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)(m)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x02，所以m14.18(2018廣州模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的上焦點(diǎn)為F1，橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)(1，)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在y軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)H，若0，且|MO|MA|，求直線l的方程解析：(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，即a2c.又a2b2c2，所以b23c2，即b2a2，所以橢圓C的方程為1.把點(diǎn)(1，)代入橢圓C的方程中，解得a24.所以橢圓C的方程為1.(2)由(1)知，A(0,2)，設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為ykx2，由得(3k24)x212kx0.設(shè)B(xB，yB)，得xB，所以yB，所以B(，)設(shè)M(xM，yM)，因?yàn)閨MO|MA|，所以點(diǎn)M在線段OA的垂直平分線上，所以yM1，因?yàn)閥MkxM2，所以xM，即M(，1)設(shè)H(xH,0)，又直線HM垂直于直線l，所以kMH，即.所以xHk，即H(k，0)又F1(0,1)，所以(，)，(k，1)因?yàn)?，所以(k)0，解得k.所以直線l的方程為yx2.