2019高中數學第二章推理與證明2.1合情推理與演繹證明2.1.1合情推理第1課時歸納推理課后訓練案鞏固提升含解析新人教A版選修.doc

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第1課時歸納推理課后訓練案鞏固提升1.觀察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性結論是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2解析:觀察各等式的構成規(guī)律可以發(fā)現,各等式的左邊是2n-1(nN*)項的和,其首項為n,右邊是項數的平方,故第n個等式首項為n,共有2n-1項,右邊是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:B2.已知不等式1+,1+,1+,均成立,照此規(guī)律,第五個不等式應為1+()A.B.C.D.解析:觀察不等式的左邊發(fā)現,第n個不等式的左邊=1+,右邊=,所以第五個不等式為1+.答案:C3.設n是自然數,則(n2-1)1-(-1)n的值()A.一定是零B.不一定是偶數C.一定是偶數D.是整數但不一定是偶數解析:當n為偶數時,(n2-1)1-(-1)n=0為偶數;當n為奇數時(n=2k+1,kN),(n2-1)1-(-1)n=(4k2+4k)2=k(k+1)為偶數.所以(n2-1)1-(-1)n的值一定為偶數.答案:C4.已知數列an中,a1=1,an+1=(nN*),則可歸納猜想an的通項公式為()A.an=B.an=C.an=D.an=解析:由已知得a1=1,a2=,a3=,a4=,由此可猜想an=.答案:B5.設f(x)=,記f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),則f2 016(2 016)等于()A.2 016B.-C.-D.解析:由已知可得f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=-,f7(x)=,f8(x)=x,可得fn(x)是以4為周期的函數,因此f2 016(x)=f5044(x)=f4(x)=x,故f2 016(2 016)=2 016.答案:A6.一個蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飛出去帶回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飛出去各自又帶回了5只蜜蜂,如果這個過程繼續(xù)下去,那么第6天所有蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有蜜蜂()A.只B.66只C.63只D.62只解析:根據題意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),故第6天所有蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故選B.答案:B7.給出若干個數:,由此可猜測第n個數為.解析:給出的每個數都是根式,被開方數都是兩個數相加,第一個數恰好比序號多1,第二個數是分式,分子也是比序號多1,分母則是分子的平方減去1,由此可得第n個數為.答案:8.下圖是用同樣規(guī)格的灰、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案,則按此規(guī)律,第(n)個圖案中需用灰色瓷磚塊(用含n的代數式表示).解析:第(1),(2),(3),個圖案中灰色瓷磚數依次為15-3=12,24-8=16,35-15=20,由此可猜測第(n)個圖案中灰色瓷磚數為(n+2)(n+4)-n(n+2)=4(n+2)=4n+8.答案:4n+89.某同學在一次研究性學習中發(fā)現,以下五個式子的值都等于同一個常數.sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數;(2)根據(1)的計算結果,將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式,并證明你的結論.解:(1)選擇式計算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=.(2)三角恒等式為sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.證法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.故上式成立.證法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=-sin =1+sin 2-(1-cos 2)=1-cos 2-cos 2=1-.故上式成立.10.導學號40294007已知下列等式成立:,試根據以上等式,歸納出一個一般性結論,用等式表示,并用數列中的方法加以證明.解:從給出的各個等式可以看出:第1個等式左邊有1項,右邊為;第2個等式左邊有2項,右邊為;第3個等式左邊有3項,右邊為;第4個等式左邊有4項,右邊為,由此可以歸納得出一般性的結論為+(nN*).以下用數列的方法證明該等式成立:+=+=+=.