2019年高考數學總復習 專題4.4 函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質導學案 理.doc

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第四節(jié) 函數yAsin(x)的圖象與性質最新考綱1.了解函數yAsin(x)的物理意義；能畫出yAsin(x)的圖象，了解參數A，對函數圖象變化的影響.2.了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題知識梳理1.yAsin(x)的有關概念yAsin(x)(A0，0，0)，表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相ATfx2.作函數y=Asin(x+)(其中A0,0)的圖象主要有以下兩種方法:(1)用“五點法”作圖:用“五點法”作y=Asin(x+)(其中A0,0)的簡圖,主要是通過變量代換,設z=x+,由z取0,2來求出相應的x,通過列表,計算得出五點的縱坐標,描點、連線后得出圖象, 如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0(2)用“圖象變換法”作圖:由函數y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(其中A0,0)的圖象,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.先平移后伸縮:y=sin x的圖- y=sin(x+)的圖象 (相位變換)- y=sin(x+)的圖象 (周期變換)- y=Asin(x+)的圖象. ( 振幅變換)先伸縮后平移:y=sin x的圖象- y=sinx的圖象- y=sin(x+)的圖象- y=Asin(x+)的圖象.【方法技巧】兩種變換的差異先平移變換后伸縮變換，平移的量是|個單位，而先伸縮變換再平移變換，平移的量是(0)個單位，原因是平移變換與伸縮變換都是對x而言的3必清誤區(qū)(1)把函數yAsin x的圖象向右平移(0)個單位，得到的圖象解析式為yAsin (x)，而不是yAsin(x)(2)把函數yAsin(x)的圖象上點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍，得到的圖象解析式為yAsin，而不是yAsin(kxk)典型例題考點一 三角函數的圖象變換【例1】已知函數f(x)3sin，xR. （1）畫出函數f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；（2）將函數ysin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？【解析】（1）列表取值：xx02f(x)03030描出五個關鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖（2）先把ysin x的圖像向右平移個單位，然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f(x)的圖像【例2】已知a(2cosx，cos2x)，b(sinx，)，f(x)ab.(1) 求f(x)的振幅、周期，并畫出它在一個周期內的圖象；(2) 說明它可以由函數ysinx的圖象經過怎樣的變換得到【解析】(1) f(x)absin2xcos2x2sin，周期T，振幅A2.列表從略，圖象如下：(2) f(x)可以由ysinx的圖象上各點右移個單位后，再將縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標縮短到原來的而得到規(guī)律方法(1)變換法作圖像的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用x確定平移單位(2)用“五點法”作圖，關鍵是通過變量代換，設zx，由z取0，2來求出相應的x，通過列表，描點得出圖像如果在限定的區(qū)間內作圖像，還應注意端點的確定（3）“五點法”作圖的列表技巧：表中“五點”相鄰兩點的橫向距離均為.【變式訓練1】(1)將函數y2sin的圖像向右平移個周期后，所得圖像對應的函數為()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】D.【解析】函數y2sin的周期為，將函數y2sin的圖像向右平移周期即個單位長度，所得圖像對應的函數為y2sin2sin，故選D(2)將函數ycos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位，所得函數圖象的一條對稱軸是()Ax Bx Cx Dx【答案】D【解析】ycosycosycos，即ycos.(3)要得到函數f(x)cos的圖像，只需將函數g(x)sin的圖像()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度【答案】C.【解析】f(x)cossin，故把g(x)sin的圖像向左平移個單位，即得函數f(x)sin的圖像，即得到函數f(x)cos的圖像，故選C考點二 求函數yAsin(x)的解析式【例3 】 (1)(2016全國卷)函數yAsin(x)的部分圖像如圖所示，則()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】A.(2)已知函數yAsin(x)b(A0，0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖像的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為()Ay4sin By2sin2Cy2sin2Dy2sin2【答案】D.【解析】由函數yAsin(x)b的最大值為4，最小值為0，可知b2，A2.由函數的最小正周期為，可知，得4.由直線x是其圖像的一條對稱軸，可知4k，kZ，從而k，kZ，故滿足題意的是y2sin2.規(guī)律方法確定yAsin(x)b(A0，0)的步驟和方法(1)求A，b：確定函數的最大值M和最小值m，則A，b；(2)求：確定函數的周期T，則可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把圖像上的一個已知點代入(此時A，b已知)或代入圖像與直線yb的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)時x0；“第二點”(即圖像的“峰點”)時x；“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)時x；“第四點”(即圖像的“谷點”)時x；“第五點”時x2.【變式訓練2】（1）函數f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為()A.，kZ B.，kZC.，kZ D.，kZ【答案】D【解析】由圖象可知2m，2m，mZ，所以，2m，mZ，所以函數f(x)coscos的單調遞減區(qū)間為2kx2k，kZ，即2kx0，0)的圖象過點P，圖象上與點P最近的一個最高點是Q.(1)求函數的解析式； (2)求函數f(x)的遞增區(qū)間【答案】（1）y5sin.（2）(kZ)【解析】 (1)依題意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又圖象過點P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函數f(x)的遞增區(qū)間為(kZ)13.已知f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1) 求和的值；(2) 在給定坐標系中作出函數f(x)在0，上的圖象；(3) 若f(x)，求x的取值范圍【答案】（1）2，.（2）略.（3）.【解析】(1) 周期T，2，fcoscossin，2k2x2k，2k2x2k，kxk，kZ，x的取值范圍是.14.已知函數f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的周期為，且圖象上一個最低點為M.(1) 求f(x)的解析式；(2) 當x時，求f(x)的最值【答案】（1）f(x)2sin.（2）x0時，f(x)取得最小值1；x時，f(x)取得最大值.(2) x， 2x. 當2x，即x0時，f(x)取得最小值1；當2x，即x時，f(x)取得最大值.15.已知函數f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性【答案】（1）.（2）f(x)在區(qū)間上是遞增的，在上是遞減的.【解析】(1)f(x)的定義域為.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數y2sin z的單調遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ. 設A，BxkZ，易知AB.所以當x時，f(x)在區(qū)間上是遞增的，在上是遞減的.