2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題4.4 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案 理.doc

第四節(jié) 函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)最新考綱1.了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義；能畫出yAsin(x)的圖象，了解參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題知識(shí)梳理1.yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0，0)，表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相ATfx2.作函數(shù)y=Asin(x+)(其中A>0,>0)的圖象主要有以下兩種方法:(1)用“五點(diǎn)法”作圖:用“五點(diǎn)法”作y=Asin(x+)(其中A>0,>0)的簡(jiǎn)圖,主要是通過變量代換,設(shè)z=x+,由z取0,2來求出相應(yīng)的x,通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)的縱坐標(biāo),描點(diǎn)、連線后得出圖象, 如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0(2)用“圖象變換法”作圖:由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(其中A>0,>0)的圖象,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.先平移后伸縮:y=sin x的圖- y=sin(x+)的圖象 (相位變換)- y=sin(x+)的圖象 (周期變換)- y=Asin(x+)的圖象. ( 振幅變換)先伸縮后平移:y=sin x的圖象- y=sinx的圖象- y=sin(x+)的圖象- y=Asin(x+)的圖象.【方法技巧】?jī)煞N變換的差異先平移變換后伸縮變換，平移的量是|個(gè)單位，而先伸縮變換再平移變換，平移的量是(0)個(gè)單位，原因是平移變換與伸縮變換都是對(duì)x而言的3必清誤區(qū)(1)把函數(shù)yAsin x的圖象向右平移(>0)個(gè)單位，得到的圖象解析式為yAsin (x)，而不是yAsin(x)(2)把函數(shù)yAsin(x)的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍，得到的圖象解析式為yAsin，而不是yAsin(kxk)典型例題考點(diǎn)一 三角函數(shù)的圖象變換【例1】已知函數(shù)f(x)3sin，xR. （1）畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；（2）將函數(shù)ysin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？【解析】（1）列表取值：xx02f(x)03030描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖（2）先把ysin x的圖像向右平移個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f(x)的圖像【例2】已知a(2cosx，cos2x)，b(sinx，)，f(x)ab.(1) 求f(x)的振幅、周期，并畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(2) 說明它可以由函數(shù)ysinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到【解析】(1) f(x)absin2xcos2x2sin，周期T，振幅A2.列表從略，圖象如下：(2) f(x)可以由ysinx的圖象上各點(diǎn)右移個(gè)單位后，再將縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)縮短到原來的而得到規(guī)律方法(1)變換法作圖像的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x確定平移單位(2)用“五點(diǎn)法”作圖，關(guān)鍵是通過變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來求出相應(yīng)的x，通過列表，描點(diǎn)得出圖像如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖像，還應(yīng)注意端點(diǎn)的確定（3）“五點(diǎn)法”作圖的列表技巧：表中“五點(diǎn)”相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為.【變式訓(xùn)練1】(1)將函數(shù)y2sin的圖像向右平移個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】D.【解析】函數(shù)y2sin的周期為，將函數(shù)y2sin的圖像向右平移周期即個(gè)單位長度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2sin2sin，故選D(2)將函數(shù)ycos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是()Ax Bx Cx Dx【答案】D【解析】ycosycosycos，即ycos.(3)要得到函數(shù)f(x)cos的圖像，只需將函數(shù)g(x)sin的圖像()A向左平移個(gè)單位長度B向右平移個(gè)單位長度C向左平移個(gè)單位長度D向右平移個(gè)單位長度【答案】C.【解析】f(x)cossin，故把g(x)sin的圖像向左平移個(gè)單位，即得函數(shù)f(x)sin的圖像，即得到函數(shù)f(x)cos的圖像，故選C考點(diǎn)二 求函數(shù)yAsin(x)的解析式【例3 】 (1)(2016全國卷)函數(shù)yAsin(x)的部分圖像如圖所示，則()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】A.(2)已知函數(shù)yAsin(x)b(A0，0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖像的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為()Ay4sin By2sin2Cy2sin2Dy2sin2【答案】D.【解析】由函數(shù)yAsin(x)b的最大值為4，最小值為0，可知b2，A2.由函數(shù)的最小正周期為，可知，得4.由直線x是其圖像的一條對(duì)稱軸，可知4k，kZ，從而k，kZ，故滿足題意的是y2sin2.規(guī)律方法確定yAsin(x)b(A0，0)的步驟和方法(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b；(2)求：確定函數(shù)的周期T，則可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，b已知)或代入圖像與直線yb的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)時(shí)x；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)時(shí)x；“第五點(diǎn)”時(shí)x2.【變式訓(xùn)練2】（1）函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.，kZ B.，kZC.，kZ D.，kZ【答案】D【解析】由圖象可知2m，2m，mZ，所以，2m，mZ，所以函數(shù)f(x)coscos的單調(diào)遞減區(qū)間為2k<x<2k，kZ，即2k<x<2k，kZ.故選D.（2）已知函數(shù)f(x)Atan(x)，yf(x)的部分圖象如圖，則f_.【答案】考點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】已知函數(shù)f(x)Asin(x)(其中A0，0，0)的周期為，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1) 求f(x)的解析式；(2) 求函數(shù)yf(x)f的最大值及對(duì)應(yīng)x的值【答案】（1）f(x)3sin.（2）ymax3.此時(shí)xk，kZ.【解析】 (1) 由，得2.由最低點(diǎn)為M，得A3.且22k(kZ)，0， . f(x)3sin.(2) yf(x)f3sin3sin3sin3cos3sin， ymax3.此時(shí)，2x2k，即xk，kZ.【例5】已知函數(shù)f(x)sin xcos x(0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)yf(x)的圖像的對(duì)稱軸方程；(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性【答案】（1）x(kZ)（2）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】 (1)f(x)sin xcos xsin，且T，2.于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程為x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)因?yàn)閤，令k0，得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；同理其單調(diào)遞減區(qū)間為.規(guī)律方法 討論函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】（1）1（2），1.(2)由(1)知f(x)sin.當(dāng)x時(shí)，2x，所以sin1，則1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，1.考點(diǎn)四 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例4】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 ，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？【答案】（1）4（2）10時(shí)至18時(shí).【解析】 (1)因?yàn)閒(t)102102sin，又0t24，所以t，1sin1.當(dāng)t2時(shí)，sin1；當(dāng)t14時(shí)，sin1.于是f(t)在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12 ，最低溫度為8 ，最大溫差為4 .(2)依題意，當(dāng)f(t)11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.規(guī)律方法1.三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是用已知的模型去分析解決實(shí)際問題，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型解決問題，其關(guān)鍵是合理建模2建模的方法是認(rèn)真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模的過程【變式訓(xùn)練4】如圖所示，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.(1)求這段時(shí)間的最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式【答案】（1）20（2）y10sin20，x6,14【解析】(1)由圖可得，這段時(shí)間的最大溫差是301020 .(2)圖中從6時(shí)至14時(shí)的圖象是函數(shù)yAsin(x)b的半個(gè)周期的圖象146，解得.由圖可得，A(3010) 10，b(3010)20.這時(shí)y10sin20.將x6，y10代入上式，可取.綜上，所求解析式為y10sin20，x6,14 當(dāng)x時(shí)，2x，A，C錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，2x，B正確，D錯(cuò)誤11.函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0)的部分圖像如圖342所示，則f的值為()圖342ABCD1【答案】D.【解析】由圖像可得A，最小正周期T4，則2.又fsin，解得2k(kZ)，即k1，則f(x)sin，fsinsin1，故選D12.已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象過點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.(1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間【答案】（1）y5sin.（2）(kZ)【解析】 (1)依題意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又圖象過點(diǎn)P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(kZ)13.已知f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1) 求和的值；(2) 在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象；(3) 若f(x)>，求x的取值范圍【答案】（1）2，.（2）略.（3）.【解析】(1) 周期T，2，fcoscossin，<<0，.(2) f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010圖象如圖：(3)cos>，2k<2x<2k，2k<2x<2k，k<x<k，kZ，x的取值范圍是.14.已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的周期為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1) 求f(x)的解析式；(2) 當(dāng)x時(shí)，求f(x)的最值【答案】（1）f(x)2sin.（2）x0時(shí)，f(x)取得最小值1；x時(shí)，f(x)取得最大值.(2) x， 2x. 當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(x)取得最小值1；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值.15.已知函數(shù)f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性【答案】（1）.（2）f(x)在區(qū)間上是遞增的，在上是遞減的.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ. 設(shè)A，BxkZ，易知AB.所以當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上是遞增的，在上是遞減的.