2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.3 全稱量詞與存在量詞 1.3.1 量詞講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

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13.1量詞全稱量詞與全稱命題觀察下列命題：(1)對任意實(shí)數(shù)x，都有x5.(2)對任意一個x(xZ)，3x1是整數(shù)問題：上述兩個命題各表示什么意思？提示：(1)表示對每一個實(shí)數(shù)x，必定有x5； (2)對所有的整數(shù)x,3x1必定是整數(shù)全稱量詞和全稱命題全稱量詞所有、任意、每一個、任給符號表示x表示“對任意x”全稱命題含有全稱量詞的命題一般形式xM，p(x)存在量詞和存在性命題觀察下列語句：(1)存在一個實(shí)數(shù)x，使3x17.(2)至少有一個xZ，使x能被3和4整除問題：上述兩個命題各表述什么意思？提示：(1)表示有一個實(shí)數(shù)x，滿足3x17；(2)存在一個整數(shù)Z，滿足能被3和4整除存在量詞和存在性命題存在量詞有一個、有些、存在一個符號表示“x”表示“存在x”存在性命題含有存在量詞的命題一般形式xM，p(x)1判斷命題是全稱命題還是存在性命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱命題雖然不含全稱量詞，但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷2要確定一個全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例說明命題不成立，則該全稱命題是假命題3要確定一個存在性命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在性命題是假命題全稱命題、存在性命題的判斷例1判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題(1)若a0且a1，則對任意x，ax0；(2)對任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1x2，則tan x1tan x2；(3)存在實(shí)數(shù)T，使得|sin(xT)|sin x|；(4)存在實(shí)數(shù)x，使得x21sin x；xR,3x0；xR，sin xcos x2；xR，lg x0.其中為真命題的是_(填入所有真命題的序號)解析：中，由于x，所以sin x0,0cos x0，所以是真命題；中，函數(shù)y3x，xR的值域是(0，)，所以是真命題；中，函數(shù)ysin xcos x sin，xR的值域是，又2， ，所以是假命題；中，由于lg 10，所以是真命題答案：5判斷下列全稱命題的真假(1)所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)；(2)xR，x211；(3)對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)解：(1)2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)所以，全稱命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題(2)xRx20x211.所以，全稱命題“xR，x211”是真命題(3)是無理數(shù)，但()22是有理數(shù)所以，“對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題6分別判斷下列存在性命題的真假：(1)有些向量的坐標(biāo)等于其起點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)存在xR，使sin xcos x2.解：(1)真命題設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x2x1，y2y1)，由得如A(1,3)，B(2,6)，(x2x1，y2y1)(1,3)，滿足題意(2)假命題由于sin xcos xsin的最大值為，所以不存在實(shí)數(shù)x，使sin xcos x2.1判定命題是全稱命題還是存在性命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞；另外，有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷2要判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題3要判定存在性命題“xM，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個存在性命題是假命題 對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(五) 1下列命題：有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù)；與同一平面所成的角相等的兩條直線平行；有的三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列；與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線，其中是全稱命題的是_，是存在性命題的是_(只填序號)解析：根據(jù)所含量詞可知是全稱命題，是存在性命題答案：2下列命題中的假命題是_xR,2x10；xN*，(x1)20；xR，lg x0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a0時(shí)，不等式為10，對xR,10成立當(dāng)a0時(shí)，若xR，ax22ax10，則解得0a0)；(2)對任意非零實(shí)數(shù)x1，x2，若x1x2，則；(3)R，使得sin()sin ；(4)xR，使得x210.解：(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是存在性命題(1)zx0(z0)恒成立，命題(1)是真命題(2)存在x11，x21，x1x2，但；(2)，使cos()cos cos ；(3)x，yN，都有(xy)N；(4)x，yZ，使xy3.解：(1)法一：當(dāng)xR時(shí)，x2x12，所以該命題是真命題法二：x2x1x2x0，由于141的解集是R，所以該命題是真命題(2)當(dāng)，時(shí)，cos()coscoscos ，cos cos cos cos 0，此時(shí)cos ()cos cos ，所以該命題是真命題(3)當(dāng)x2，y4時(shí)，xy2N，所以該命題是假命題(4)當(dāng)x0，y3時(shí)，xy3，即x，yZ，使xy3，所以該命題是真命題8(1)對于任意實(shí)數(shù)x，不等式sin xcos xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)存在實(shí)數(shù)x，不等式sin xcos xm有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)令ysin xcos x，xR.ysin xcos xsin(x).又xR，sin xcos xm恒成立只要mm有解只要m即可所求m的取值范圍是(，)