2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.1 解直角三角形精講深剖學(xué)案.doc

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第1講 解直角三角形三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊(yùn)含了深刻的思想，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)?！局R梳理】知識點(diǎn)1. 三角形及其性質(zhì) （1）由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形，稱為三角形；（2）三角形的內(nèi)角和是180，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（3）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊知識點(diǎn)2. 解直角三角形 在RtABC中，C90，A，B，C的對邊分別為a，b，c.(1)三邊之間的關(guān)系：a2b2c2；(2)兩個銳角之間的關(guān)系：AB90；(3)邊角之間的關(guān)系：sin A，cos A，tan A； sin B，cos B，tan B.（4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：sin2cos21；tan .互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：若AB90，則sin Acos B或sin Bcos A.（5）特殊銳角的三角函數(shù)值sin cos tan 3045160直角三角形是一種特殊的三角形，因?yàn)橛泄垂啥ɡ砑颁J角三角函數(shù)的運(yùn)用，使它的邊角關(guān)系更加豐富，同時(shí)也為高中學(xué)習(xí)解三角形和三角函數(shù)，提供了很好的階梯?！镜淅馕觥?.在RtABC中，C90，若AB4，sin A，求斜邊上的高CD.【分析】在RtABC中，由AB與sin A的值，求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)面積法求出斜邊上的高CD的長【解析】sin A，AB4，BCABsin A.由勾股定理可得AC，由面積法，ABCDACBC，CD.【解題反思】解直角三角形時(shí)，結(jié)合圖形，盡可能使用題目中給出的原始數(shù)據(jù)，一般常把銳角三角函數(shù)與勾股定理結(jié)合使用.【典例解析】2.天塔是天津市的標(biāo)志性建筑之一某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量天塔的高度如圖，他們在點(diǎn)A處測得天塔的最高點(diǎn)C的仰角為45，再往天塔方向前進(jìn)至點(diǎn)B處測得天塔的最高點(diǎn)C的仰角為54，AB112 m根據(jù)這個興趣小組測得的數(shù)據(jù)，計(jì)算天塔的高度CD.(tan 360.73，結(jié)果保留整數(shù))【分析】在等腰三角形ADC中，ADCD，而ADABBD112BD，所以BDCD112，故又可以在直角三角形BDC中，利用BCD的正切把BD和CD聯(lián)系在一起【解題反思】仰角、俯角問題是常見的實(shí)際問題，一般題目中會出現(xiàn)兩個不同的仰角、俯角或一個仰角、一個俯角.解決此類問題時(shí)，一般是先設(shè)出未知數(shù)，用同一個未知數(shù)表示問題中不同的未知量，然后根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程求解.【變式訓(xùn)練】1.如圖，在ABC中，ADBC于點(diǎn)D，AB8，ABD30，CAD45，求BC的長【分析】問題為求BC，結(jié)合ADBC，可轉(zhuǎn)化到圖中的RtABD和RtADC中分別解直角三角形求得；【解析】ADBC于點(diǎn)D，ADBADC90.在RtABD中，AB8，ABD30，ADAB4，BDAD4.在RtADC中，CAD45，DCAD4.BCBDDC44.【點(diǎn)評】解三角形問題需增強(qiáng)圖形的觀察能力，將所求的線段分解是一種常見的思路。【變式訓(xùn)練】2.將一副三角板如圖所示疊放在一起，求的值.【分析】由問題所求的線段比分別在兩個三角形中，需聯(lián)系相似將線段比轉(zhuǎn)化為可求出得線段比；【點(diǎn)評】問題較為復(fù)雜時(shí)，圖形觀察提供了很好的解題直覺，本題運(yùn)用相似完成了線段比的轉(zhuǎn)換，然后再運(yùn)用解直角三角形解決?！咀兪接?xùn)練】3.某學(xué)校校門是伸縮門(如圖)，伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米校門關(guān)閉時(shí)，每個菱形的銳角度數(shù)為60(如圖)；校門打開時(shí)，每個菱形的銳角度數(shù)從60縮小為10(如圖)問：校門打開了多少米？ (結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin 50.087 2，cos 50.996 2， sin 100.173 6，cos 100.984 8)校門打開的寬度為61.046 44.953 65(米)故校門打開了5米【點(diǎn)評】對于應(yīng)用性問題，需通過閱讀題意，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用解三角形的知識解決。