2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)41 圓的方程 文 新人教版.doc

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課堂達(dá)標(biāo)(四十一) 圓的方程 [A基礎(chǔ)鞏固練] 1．(高考廣東卷)平行于直線(xiàn)2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線(xiàn)的方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 [解析]　設(shè)所求切線(xiàn)方程為2x＋y＋c＝0，依題意有＝，解得c＝5，所以所求切線(xiàn)的直線(xiàn)方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選A. [答案]　A 2．已知直線(xiàn)l：x＋my＋4＝0，若曲線(xiàn)x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則m的值為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－2 C．1 D．－1 [解析]　因?yàn)榍€(xiàn)x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l：x＋my＋4＝0過(guò)圓心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1. [答案]　D 3．若直線(xiàn)ax＋2by－3＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長(zhǎng)，則＋的最小值為(　　) A．1 B．5 C．4 D．3＋2 [解析]　由題意知圓心C(2,1)在直線(xiàn)ax＋2by－2＝0上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， ∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2－，a＝－1時(shí)，等號(hào)成立． ∴＋的最小值為3＋2. [答案]　D 4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 [解析]　設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， x＋y＝4，連線(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 則? 代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. [答案]　A 5．(2018吉大附中第七次模擬)已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得＝0，則t的最小值為(　　) A．3 B．2 C. D．1 [解析]　由題意可得點(diǎn)P的軌跡方程是以AB為直徑的圓，當(dāng)兩圓外切時(shí)有：＝tmin＋1?tmin＝1， 即t的最小值為1. [答案]　D 6．(2018綿陽(yáng)診斷)圓C的圓心在y軸正半軸上，且與x軸相切，被雙曲線(xiàn)x2－＝1的漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為(　　) A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－)2＝3 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y＋)2＝3 [解析]　依題意得，題中的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的斜率為，傾斜角為60，結(jié)合圖形(圖略)可知，所求的圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，半徑是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1. [答案]　A 7．過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線(xiàn)，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____． [解析]　當(dāng)圓心與點(diǎn)P的連線(xiàn)和過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)垂直時(shí)，符合條件．圓心O與點(diǎn)P連線(xiàn)的斜率k＝1，所求直線(xiàn)方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. [答案]　x＋y－2＝0 8．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為_(kāi)_____． [解析]　由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)， P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部， 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓． ∵△OPQ為直角三角形， ∴圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)， 半徑r＝＝， 因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. [答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝5 9．設(shè)M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，則M∩N≠?時(shí)，a的最大值與最小值分別為_(kāi)_____、______. [解析]　因?yàn)榧螹＝{(x，y)|y＝，a>0}， 所以集合M表示以O(shè)(0,0)為圓心，半徑為r1＝a的上半圓． 同理，集合N表示以Q′(1，)為圓心， 半徑為r2＝a的圓上的點(diǎn)． 這兩個(gè)圓的半徑隨著a的變化而變化，但|OO′|＝2. 如圖所示，當(dāng)兩圓外切時(shí)，由a＋a＝2，得a＝2－2；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，由a－a＝2，得a＝2＋2. 所以a的最大值為2＋2，最小值為2－2. [答案]　2＋2；2－2 10．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4. (1)求直線(xiàn)CD的方程； (2)求圓P的方程． [解]　(1)由題意知，直線(xiàn)AB的斜率k＝1，中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)． 則直線(xiàn)CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點(diǎn)P在CD上得a＋b－3＝0.　① 又∵直線(xiàn)|CD|＝4. ∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.?、? 由①②解得或 ∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)． ∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. [B能力提升練] 1．已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩段弧長(zhǎng)比為1∶2，則圓C的方程為(　　) A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C．x2＋2＝ D．x2＋2＝ [解析]　由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對(duì)圓心角為π，設(shè)圓心(0，a)，半徑為r， 則rsin ＝1，rcos＝|a|，解得r＝， 即r2＝，|a|＝，即a＝，故圓C的方程為x2＋2＝. [答案]　C 2．(2018九江模擬)已知P是直線(xiàn)l：3x－4y＋11＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－y＋1＝0的兩條切線(xiàn)(A，B是切點(diǎn))，C是圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是(　　) A. B．2 C. D．2 [解析]　圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1， 則C(1,1)，當(dāng)|PC|最小時(shí)，四邊形PACB的面積最小， |PC|min＝＝2，此時(shí)|PA|＝|PB|＝. 所以四邊形PACB的面積S＝21＝，故選C. [答案]　C 3．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為_(kāi)_____． [解析]　函數(shù)y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4的下半圓． 令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，則得y＝－3， 即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示． 由于圓心(1,0)到直線(xiàn)x－2y－6＝0的距離d＝＝>2， 所以直線(xiàn)x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是－2. [答案]?。? 4．(2018岳陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足||＝1，則|＋＋|的最大值是______． [解析]　設(shè)D(x，y)， 由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1， 即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓， 又＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y) ＝(x－1，y＋)， ∴|＋＋|＝. 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，－)間距離的最大值． ∵圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，－)之間的距離為 ＝， 故的最大值為＋1. [答案]?。? 5．已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)． (2)求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程． [解]　(1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圓C1的圓心坐標(biāo)為C1(3,0)． (2)設(shè)M(x，y)，∵A，B為過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)， ∴由圓的性質(zhì)知：MC1⊥MO，∴＝0. 又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)， ∴由向量的數(shù)量積公式得x2－3x＋y2＝0. 易知直線(xiàn)l的斜率存在，∴設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝mx， 當(dāng)直線(xiàn)l與圓C1相切時(shí)，d＝＝2，解得m＝. 把相切時(shí)直線(xiàn)l的方程代入圓C1的方程化簡(jiǎn)得9x2－30x＋25＝0，解得x＝. 當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3,0)． 又∵直線(xiàn)l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)， ∴0)．根據(jù)題意，得 ，解得a＝b＝1，r＝2， 故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積S＝S△PAM＋S△PBM ＝|AM||PA|＋|BM||PB|， 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|， 而|PA|＝＝， 即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直線(xiàn)3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min＝＝3， 所以四邊形PAMB面積的最小值為 S＝2＝2＝2.