2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.3 二項式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項式乘方次數(shù)不大時的各項的二項式系數(shù).2.理解二項式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運用知識點“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)(ab)n的展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式：思考1從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？答案在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和思考2計算每一行的系數(shù)和，你又能看出什么規(guī)律？答案2,4,8,16,32,64，其系數(shù)和為2n.思考3二項式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？答案當(dāng)n2,4,6時，中間一項最大，當(dāng)n3,5時中間兩項最大梳理(1)楊輝三角的特點在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即CCC.(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性CC，即二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等增減性與最大值如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么展開式中間一項的二項式系數(shù)最大如果n為奇數(shù)，那么其展開式中間兩項與的二項式系數(shù)相等且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和二項展開式中各二項式系數(shù)的和等于2n，即CCCC2n奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，都等于2n1，即CCCCCC2n11楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列()2二項式展開式的二項式系數(shù)和為CCC.()3二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項相同()類型一與楊輝三角有關(guān)的問題例1(1)楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是()A第6行 B第7行 C第8行 D第9行(2)如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，記這個數(shù)列的前n項和為S(n)，則S(16)等于()A144 B146 C164 D461考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案(1)B(2)C解析(1)由題意，第6行為1,6,15,20,15,6,1，第7行為1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去兩端數(shù)字1以外，均能被7整除(2)由題干圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，第15項是C，第16項是C，所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.反思與感悟解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第_行中從左至右的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為23.考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案34解析由題意設(shè)第n行的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為23，它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數(shù)的比，所以CC23，即，解得n34，所以在第34行中，從左至右第14個數(shù)與第15個數(shù)的比是23.類型二二項式系數(shù)和問題例2已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；(2)|a0|a1|a2|a5|；(3)a1a3a5.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解(1)令x1，得a0a1a2a51.(2)令x1，得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5的通項Tk1C(1)k25kx5k知a1，a3，a5為負(fù)值，所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2(a1a3a5)135.所以a1a3a5121.引申探究在本例條件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；(2)a1a2a3a4a5；(3)5a04a13a22a3a4.解(1)因為a0a1a2a51，a0a1a2a535.所以a0a2a4122.(2)因為a0是(2x1)5展開式中x5的系數(shù)，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.(3)因為(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以兩邊求導(dǎo)數(shù)得10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.反思與感悟二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤訓(xùn)練2在二項式(2x3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解設(shè)(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為CCCC29.(2)各項系數(shù)之和為a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，將兩式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇數(shù)項系數(shù)之和為.類型三二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中系數(shù)最大(小)的項解令x1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5為奇數(shù)，展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間的兩項，它們分別為T3C(3x2)290x6，T4C(3x2)3270.(2)展開式的通項公式為Tk1C3k，假設(shè)Tk1項系數(shù)最大，則有即k，kN，k4，展開式中系數(shù)最大的項為T5C(3x2)4405.反思與感悟(1)二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(ab)n中的n進(jìn)行討論當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大(2)展開式中系數(shù)的最大項的求法求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析如求(abx)n(a，bR)的展開式中系數(shù)的最大項，一般采用待定系數(shù)法設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為A0，A1，A2，An，且第k1項最大，應(yīng)用解出k，即得出系數(shù)的最大項跟蹤訓(xùn)練3寫出(xy)11的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)項的系數(shù)絕對值最大的項；(3)項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項；(4)二項式系數(shù)的和；(5)各項系數(shù)的和考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解(1)二項式系數(shù)最大的項為中間兩項：T6Cx6y5，T7Cx5y6.(2)(xy)11展開式的通項為Tk1Cx11k(y)kC(1)kx11kyk，項的系數(shù)的絕對值為|C(1)k|C，項的系數(shù)的絕對值等于該項的二項式系數(shù)，其最大的項也是中間兩項，T6Cx6y5，T7Cx5y6.(3)由(2)知中間兩項系數(shù)絕對值相等，又第6項系數(shù)為負(fù)，第7項系數(shù)為正，故項的系數(shù)最大的項為T7Cx5y6，項的系數(shù)最小的項為T6Cx6y5.(4)展開式中，二項式系數(shù)的和為CCCC211.(5)令xy1，得展開式中各項的系數(shù)和為CCCC(11)110.1觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是()A8 B6 C4 D2考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案B解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4a10，得a6.2(1x)2n1的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是()An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中二項式系數(shù)最大(小)的項答案C解析2n1為奇數(shù)，展開式中中間兩項的二項式系數(shù)最大，分別為第項，第項，即第n1項與第n2項，故選C.3已知n展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則n等于()A4 B5C6 D7考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題答案C解析令x1，各項系數(shù)和為4n，二項式系數(shù)和為2n，故有64，所以n6.4設(shè)(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a1a2a3的值為_考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tk1C(3)4k(2x)k，當(dāng)k4時，x4的系數(shù)a416.由得a0a1a2a315.5已知n的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_考點展開式中系數(shù)的和問題題點多項展開式中系數(shù)的和問題答案解析由CCC37，得1nn(n1)37，解得n8(負(fù)值舍去)，則第5項的二項式系數(shù)最大，T5C(2x)4x4，該項的系數(shù)為.1二項式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出2求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定一般地對字母賦的值為0,1或1，但在解決具體問題時要靈活掌握3注意以下兩點：(1)區(qū)分開二項式系數(shù)與項的系數(shù)(2)求解有關(guān)系數(shù)最大時的不等式組時，注意其中k0,1,2，n一、選擇題1如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個數(shù)，當(dāng)a7時，b等于()A20 B21 C22 D23考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點與楊輝三角有關(guān)的問題答案C解析根據(jù)觀察可知，每一行除開始和末尾的數(shù)外，中間的數(shù)分別是上一行相鄰兩個數(shù)的和，當(dāng)a7時，上面一行的第一個數(shù)為6，第二個數(shù)為16，所以b61622.2若n(nN*)的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為()A210 B252C462 D10考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項答案A解析由于展開式中只有第6項的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項式系數(shù)，所以展開式項數(shù)為11，從而n10，于是得其常數(shù)項為C210.3已知關(guān)于x的二項式n展開式的二項系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為()A1 B1 C2 D2考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案C解析由條件知2n32，即n5，在通項公式Tk1C()5kkCak中，令155k0，得k3.所以Ca380，解得a2.4(x1)11的展開式中，x的奇次冪的系數(shù)之和是()A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案D解析(x1)11a0x11a1x10a2x9a11，令x1，則a0a1a2a11211，令x1，則a0a1a2a110，a0a2a4a102101 024.5若x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，則a8的值為()A10 B45C9 D45考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡答案B解析x101(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，a8CC45.6設(shè)n的展開式的各項系數(shù)和為M，二項式系數(shù)和為N，若MN240，則展開式中x的系數(shù)為()A150 B150 C300 D300考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)答案B解析由已知條件4n2n240，解得n4，Tk1C(5x)4kk(1)k54kC，令41，得k2，所以展開式中x的系數(shù)為(1)252C150.7已知(2x1)n二項展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小38，則CCCC的值為()A28 B281C27 D271考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案B解析設(shè)(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次項的系數(shù)和為A，偶次項的系數(shù)和為B.則Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知可知，BA38.令x1，得，a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n.(3)n38(3)8，n8.由二項式系數(shù)性質(zhì)可得，CCCC2nC281.8關(guān)于下列(ab)10的說法，錯誤的是()A展開式中的二項式系數(shù)之和是1 024B展開式的第6項的二項式系數(shù)最大C展開式的第5項或第7項的二項式系數(shù)最大D展開式中第6項的系數(shù)最小考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題答案C解析由二項式系數(shù)的性質(zhì)知CCCC2101 024，故A正確二項式系數(shù)最大的項為C，是展開式的第6項，故B正確由展開式的通項為Tk1Ca10k(b)k(1)kCa10kbk知，第6項的系數(shù)C最小，故D正確二、填空題9已知(1x)10a1a2xa3x2a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是_考點二項式系數(shù)的性質(zhì)題點利用二項式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計算答案6解析(1x)n展開式的各項系數(shù)為其二項式系數(shù)，當(dāng)n10時，展開式的中間項第六項的二項式系數(shù)最大，故k的最大值為6.10在n的展開式中，所有奇數(shù)項系數(shù)之和為1 024，則中間項系數(shù)是_考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)答案462解析二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和與所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，故由題意得2n11 024，n11，展開式共12項，中間項為第六項、第七項，其系數(shù)為CC462.11若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，則log2(a1a3a11)_.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案7解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12，282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.三、解答題12設(shè)(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)求a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題解(1)令x0，則展開式為a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.與式聯(lián)立相減得a1a3a99.(4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.(5)|a0|a1|a100|，即(2x)100的展開式中各項系數(shù)的和，在(2x)100的展開式中，令x1，可得各項系數(shù)的和為(2)100.13已知n展開式的二項式系數(shù)之和為256.(1)求n；(2)若展開式中常數(shù)項為，求m的值；(3)若(xm)n展開式中系數(shù)最大項只有第6項和第7項，求m的取值情況考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)解(1)二項式系數(shù)之和為2n256，可得n8.(2)設(shè)常數(shù)項為第k1項，則Tk1Cx8kkCmkx82k，故82k0，即k4，則Cm4，解得m.(3)易知m0，設(shè)第k1項系數(shù)最大則化簡可得k.由于只有第6項和第7項系數(shù)最大，所以即所以m只能等于2.四、探究與拓展14設(shè)(3x2)6a0a1(2x1)a2(2x1)2a6(2x1)6，則_.考點展開式中系數(shù)的和問題題點二項展開式中系數(shù)的和問題答案解析令x1，得a0a1a2a61，令x0，得a0a1a2a664，兩式相減得2(a1a3a5)63，兩式相加得2(a0a2a4a6)65，故.15已知(x2)2n的展開式的系數(shù)和比(3x1)n的展開式的系數(shù)和大992，求2n的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項考點展開式中系數(shù)最大(小)的項問題題點求展開式中系數(shù)最大(小)的項解由題意得22n2n992，解得n5.(1)10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，即T6C(2x)558 064.(2)設(shè)第k1項的系數(shù)的絕對值最大，則Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k.得即k，kN，k3，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項T4(1)3C27x415 360x4.