2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.1 二項(xiàng)式定理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.1 二項(xiàng)式定理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.1 二項(xiàng)式定理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.3.1二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念思考1我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(ab)2a22abb2,試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)(ab)3,(ab)4的展開(kāi)式答案(ab)3a33a2b3ab2b3,(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2能用類比方法寫(xiě)出(ab)n(nN*)的展開(kāi)式嗎?答案能,(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理二項(xiàng)式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn,稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)C(k0,1,n)通項(xiàng)Tk1Cankbk二項(xiàng)式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn1(ab)n展開(kāi)式中共有n項(xiàng)()2在公式中,交換a,b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響()3Cankbk是(ab)n展開(kāi)式中的第k項(xiàng)()4(ab)n與(ab)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同()類型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用例1(1)求4的展開(kāi)式考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)運(yùn)用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式解方法一4(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.方法二44(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)化簡(jiǎn):C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究若(1)4ab(a,b為有理數(shù)),則ab_.答案44解析(1)41C()1C()2C()3C()414181292816,a28,b16,ab281644.反思與感悟(1)(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:各項(xiàng)的次數(shù)和等于n;字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn):(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.類型二二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用例2已知二項(xiàng)式10.(1)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);(2)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù);(3)求第4項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)解10的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tk1C(3)10kkC310kk (k0,1,2,10)(1)展開(kāi)式的第4項(xiàng)(k3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C120.(2)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C37377 760.(3)展開(kāi)式的第4項(xiàng)為T(mén)4T3177 760.反思與感悟(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)C(k0,1,2,n),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念(2)第k1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如,在(12x)7的展開(kāi)式中,第四項(xiàng)是T4C173(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C35,而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23280.跟蹤訓(xùn)練2已知n展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162.(1)求n的值;(2)求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng),并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)解(1)因?yàn)門(mén)3C()n224C,T2C()n12C,依題意得4C2C162,所以2CC81,所以n281,nN*,故n9.(2)設(shè)第k1項(xiàng)含x3項(xiàng),則Tk1C()9kk(2)kC,所以3,k1,所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)為T(mén)22Cx318x3.二項(xiàng)式系數(shù)為C9.例3已知在n的展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)解通項(xiàng)公式為T(mén)k1C(3)kC(3)k.(1)第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),當(dāng)k5時(shí),有0,即n10.(2)令2,得k(106)2,所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意得,令t(tZ),則102k3t,即k5t.kN,t應(yīng)為偶數(shù)令t2,0,2,即k2,5,8.第3項(xiàng),第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng),它們分別為405x2,61 236,295 245x2.反思與感悟(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型求第k項(xiàng),TkCank1bk1;求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng));求常數(shù)項(xiàng);求有理項(xiàng)(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法對(duì)于常數(shù)項(xiàng),隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng));對(duì)于有理項(xiàng),一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式,其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解;對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng),其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一致跟蹤訓(xùn)練3(1)若9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是84,則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案1解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k1Cx9k(a)kkC(a)kx92k(0k9,kN)當(dāng)92k3時(shí),解得k3,代入得x3的系數(shù),根據(jù)題意得C(a)384,解得a1.(2)已知n為等差數(shù)列4,2,0,的第六項(xiàng),則n的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是_考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)答案160解析由題意得n6,Tk12kCx62k,令62k0得k3,常數(shù)項(xiàng)為C23160.1(x2)n的展開(kāi)式共有11項(xiàng),則n等于()A9 B10 C11 D8考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案B解析因?yàn)?ab)n的展開(kāi)式共有n1項(xiàng),而(x2)n的展開(kāi)式共有11項(xiàng),所以n10,故選B.212C4C8C(2)nC等于()A1 B1 C(1)n D3n考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)答案C解析逆用二項(xiàng)式定理,將1看成公式中的a,2看成公式中的b,可得原式(12)n(1)n.3.n的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為15,則n的值為()A3 B4 C5 D6考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案D解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k1C(x2)nk(1)kk(1)kCx2n3k.令2n3k0,得nk(n,kN*),若k2,則n3不符合題意,若k4,則n6,此時(shí)(1)4C15,所以n6.4在24的展開(kāi)式中,x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有()A3項(xiàng) B4項(xiàng) C5項(xiàng) D6項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)答案C解析24的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k1C()24kkC,故當(dāng)k0,6,12,18,24時(shí),冪指數(shù)為整數(shù),共5項(xiàng)5求二項(xiàng)式()9展開(kāi)式中的有理項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)解Tk1C(1)kC,令Z(0k9),得k3或k9,所以當(dāng)k3時(shí),4,T4(1)3Cx484x4,當(dāng)k9時(shí),3,T10(1)9Cx3x3.綜上,展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為84x4與x3.1注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念2要牢記Cankbk是展開(kāi)式的第k1項(xiàng),不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng)3求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其為特定值一、選擇題1S(x1)44(x1)36(x1)24x3,則S等于()Ax4 Bx41C(x2)4 Dx44考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)答案A解析S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)14x4,故選A.2設(shè)i為虛數(shù)單位,則(1i)6展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為()A20i B15iC20 D15考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)答案D解析(1i)6展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為Ci215.3(xy)10的展開(kāi)式中x6y4的系數(shù)是()A840 B840C210 D210考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)答案B解析在通項(xiàng)公式Tk1C(y)kx10k中,令k4,即得(xy)10的展開(kāi)式中x6y4的系數(shù)為C()4840.4在n的展開(kāi)式中,若常數(shù)項(xiàng)為60,則n等于()A3 B6C9 D12考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案B解析Tk1C()nkk2kC.令0,得n3k.根據(jù)題意有2kC60,驗(yàn)證知k2,故n6.5若(13x)n(nN*)的展開(kāi)式中,第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,則第四項(xiàng)的系數(shù)為()A4 B27C36 D108考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)答案D解析Tk1C(3x)k,由C6,得n4,從而T4C(3x)3,故第四項(xiàng)的系數(shù)為C33108.6在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()A5 B4C3 D2考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)答案C解析二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,C,C2,由其成等差數(shù)列,可得2C1C2n1,所以n8(n1舍去)所以展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk1Ck.若為有理項(xiàng),則有4Z,所以k可取0,4,8,所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3.7設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x0時(shí),f(f(x)表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A4 B6C8 D10考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)答案B解析依據(jù)分段函數(shù)的解析式,得f(f(x)f()4,Tk1C(1)kxk2.令k20,則k2,故常數(shù)項(xiàng)為C(1)26.二、填空題8.7的展開(kāi)式中倒數(shù)第三項(xiàng)為_(kāi)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)答案解析由于n7,可知展開(kāi)式中共有8項(xiàng),倒數(shù)第三項(xiàng)即為第六項(xiàng),T6C(2x)25C22.9若(x1)nxnax3bx2nx1(nN*),且ab31,那么n_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案11解析aC,bC.ab31,即3,解得n11.10已知正實(shí)數(shù)m,若x10a0a1(mx)a2(mx)2a10(mx)10,其中a8180,則m的值為_(kāi)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案2解析由x10m(mx)10,m(mx)10的二項(xiàng)展開(kāi)式的第9項(xiàng)為Cm2(1)8(mx)8,a8Cm2(1)8180,則m2.又m0,m2.11使n(nN*)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為_(kāi)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案5解析展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tk1C(3x)nkk,Tk13nkC,k0,1,2,n.令nk0,nk,故最小正整數(shù)n5.三、解答題12若二項(xiàng)式6(a0)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項(xiàng)為B,且B4A,求a的值考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)解Tk1Cx6kk(a)kC,令63,則k2,得ACa215a2;令60,則k4,得BCa415a4.由B4A可得a24,又a0,a2.13已知在n的展開(kāi)式中,第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),求:(1)n的值;(2)展開(kāi)式中x5的系數(shù);(3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)解已知二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k1Cnkk(1)knkC.(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),即當(dāng)k8時(shí),2nk0,解得n10.(2)令210k5,得k(205)6.所以x5的系數(shù)為(1)64C.(3)要使2nk,即為整數(shù),只需k為偶數(shù),由于k0,1,2,3,9,10,故符合要求的有6項(xiàng),分別為展開(kāi)式的第1,3,5,7,9,11項(xiàng)四、探究與拓展14設(shè)a0,n是大于1的自然數(shù),n的展開(kāi)式為a0a1xa2x2anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai) (i0,1,2)的位置如圖所示,則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案3解析由題意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4)即a01,a13,a24.由n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式知Tk1Ck(k0,1,2,n)故3,4,解得a3.15設(shè)f(x)(1x)m(1x)n的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是19(m,nN*)(1)求f(x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值;(2)當(dāng)f(x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值時(shí),求f(x)的展開(kāi)式中含x7項(xiàng)的系數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)解(1)由題設(shè)知mn19,所以m19n,含x2項(xiàng)的系數(shù)為CCCCn219n1712.因?yàn)閚N*,所以當(dāng)n9或n10時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值為281.(2)當(dāng)n9,m10或n10,m9時(shí),x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值,此時(shí)x7項(xiàng)的系數(shù)為CCCC156.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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