小字體：大學物理學答案(北京郵電大學第3版)趙近芳等編著

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1大學物理學(北郵第三版)習題及解答（全）習題一1-1 r與 有無不同? tdr和 有無不同? tdv和 有無不同?其不同在哪里?試舉例說明解：（1） 是位移的模， r是位矢的模的增量，即 r12， 12r；（2） tdr是速度的模，即 tdvts.只是速度在徑向上的分量.有 r（式中 叫做單位矢） ，則 trtddr式中 td就是速度徑向上的分量， tr與不同如題 1-1 圖所示. 題 1-1 圖(3) tdv表示加速度的模，即 tvad， 是加速度 a在切向上的分量.有 (表軌道節(jié)線方向單位矢） ，所以 tvtd式中 dtv就是加速度的切向分量.(r與的運算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)1-2 設質點的運動方程為 x= (t)， y= (t)，在計算質點的速度和加速度時，有人先求出 r2yx，然后根據(jù) v= trd，及 a 2tr而求得結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即v=22tytx及 =22dtytx你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有 jyixr，2jtyitxrav22dd故它們的模即為 2222dtytxattvyxyx而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作 2dtrtrv其二，可能是將 2dtr與誤作速度與加速度的模。在 1-1 題中已說明 trd不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分 22dtrta徑?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢 r在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢 r及速度 v的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。1-3 一質點在 xOy平面上運動，運動方程為 x=3t+5, y= 21t2+3 -4.式中 t以 s 計， , 以 m 計(1)以時間 為變量，寫出質點位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和 t2s 時刻的位置矢量，計算這 1 秒內質點的位移；(3)計算 t0 s 時刻到 4s 時刻內的平均速度；(4)求出質點速度矢量表示式，計算 t4 s 時質點的速度；(5)計算 t0s 到 4s 內質點的平均加速度；(6)求出質點加速度矢量的表示式，計算 t4s 時質點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)解：（1） jtitr)4321()53(m(2)將 t, 2代入上式即有 ji.081r25.43(3) jij167,50 14 sm0rtv (4) 1sm)3(djitrv則 jiv741s3(5) jivjiv73,4024sm1ta(6) djta這說明該點只有 y方向的加速度，且為恒量。1-4 在離水面高 h 米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸 S 處，如題 1-4 圖所示當人以 0v(m 1s)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小圖 1-4解： 設人到船之間繩的長度為 l，此時繩與水面成 角，由圖可知22sh將上式對時間 t求導，得tstld2題 1-4 圖根據(jù)速度的定義，并注意到 , 是隨 減少的， tsvtlvd,0船繩即 cosd0ls船或 vhlv2/120)(船將 船v再對 t求導，即得船的加速度 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船1-5 質點沿 x軸運動，其加速度和位置的關系為 a2+6 2x， 的單位為 2sm， x的單位為 m. 質點在 0 處，速度為 10 1m,試求質點在任何坐標處的速度值解： vttvadd4分離變量： xadxd)62(兩邊積分得 cv321由題知， 0x時， , 50 13sm2x1-6 已知一質點作直線運動，其加速度為 a4+3 t2，開始運動時， x5 m， v=0，求該質點在 t10s 時的速度和位置解： ttv4d分離變量，得 )3(積分，得 12ctv由題知， 0t,v, 01c故 234t又因為 dtxv分離變量， tx)234(d積分得 2321ctx由題知 0t, 5x, 2c故 132t所以 st時 m705120s93410 12xv1-7 一質點沿半徑為 1 m 的圓周運動，運動方程為 =2+3 3t， 式中以弧度計， t以秒計，求：(1) t2 s 時，質點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成 45角時，其角位移是多少?解： tt18d,9d2(1) s2t時， 2sm3618Ra2229)(n(2)當加速度方向與半徑成 45角時，有145tann即 R2 亦即 8)9(25)sin(2coi0tRtvtx則解得 923t于是角位移為rad67.2932t1-8 質點沿半徑為 R的圓周按 s 01btv的規(guī)律運動，式中 s為質點離圓周上某點的弧長, 0v， b都是常量，求： (1) 時刻質點的加速度；(2) t為何值時，加速度在數(shù)值上等于 解：（1） btvts0dRtvan202)(則 2422bt加速度與半徑的夾角為 20)(arctnbtv(2)由題意應有 242Rb即 0)(,)(402402 btvtv當 bvt0時， a1-9 半徑為 R的輪子，以勻速 0v沿水平線向前滾動：(1)證明輪緣上任意點 B的運動方程為 x )sin(tt， y R)cos1(t，式中 0v/R是輪子滾動的角速度，當B與水平線接觸的瞬間開始計時此時 B所在的位置為原點，輪子前進方向為 x軸正方向；(2)求 點速度和加速度的分量表示式解：依題意作出下圖，由圖可知題 1-9 圖(1) )cos1()cos1(2intRy(2)6)sindco1(tRtyvxtvayyxxdcos21-10 以初速度 020 1m拋出一小球，拋出方向與水平面成幔 60的夾角，求：(1)球軌道最高點的曲率半徑 R；(2)落地處的曲率半徑 2R(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系)解：設小球所作拋物線軌道如題 1-10 圖所示題 1-10 圖(1)在最高點， o016csvx2mgan又 1 10)60cos2(2nav(2)在落地點， 22v1sm,而 o60cgan 8s1)(2n1-11 飛輪半徑為 0.4 m，自靜止啟動，其角加速度為 =0.2 rad 2s，求 t2s 時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：當 s2t時， 4.02.t1srad則 164.0Rv1s 064.).(2Ran 2sm8 222 104. n71-12 如題 1-12 圖，物體 A以相對 B的速度 v gy2沿斜面滑動， y為縱坐標，開始時 A在斜面頂端高為 h處， 物體以 u勻速向右運動，求 A物滑到地面時的速度解：當滑至斜面底時， y，則 hv, 物運動過程中又受到 B的牽連運動影響，因此， 對地的速度為 jgiguAA )sin2()cos2( 地題 1-12 圖1-13 一船以速率 1v30kmh -1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率 2v40kmh -1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何?解：(1)大船看小艇，則有 121v，依題意作速度矢量圖如題 1-13 圖(a)題 1-13 圖由圖可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，則有 12，依題意作出速度矢量圖如題 1-13 圖(b)，同上法，得5012v1hk方向南偏東 o87.361-14 當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后 2 m 的甲板上，篷高 4 m 但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前 3 m ，如雨滴的速度大小為 8 ms-1，求輪船的速率解： 依題意作出矢量圖如題 1-14 所示題 1-14 圖 船雨雨 船 vv 船雨 船雨 由圖中比例關系可知 1sm8雨船習題二82-1 一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質量為 1m的物體，另一邊穿在質量為 2m的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑動今看到繩子從圓柱細孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加速度 a下滑，求 1m， 2相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質量及輪與軸間的摩擦不計)解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為 1a，其對于 2則為牽連加速度，又知2m對繩子的相對加速度為 ，故 2對地加速度，由圖(b)可知，為 1又因繩的質量不計，所以圓柱體受到的摩擦力 f在數(shù)值上等于繩的張力 T，由牛頓定律，有 11amTg22 聯(lián)立、式，得 211212)()magTfa討論 (1)若 0a，則 21表示柱體與繩之間無相對滑動(2)若 g2，則 fT，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時 1m, 2均作自由落體運動題 2-1 圖2-2 一個質量為 P的質點，在光滑的固定斜面（傾角為 ）上以初速度 0v運動， 0的方向與斜面底邊的水平線 AB平行，如圖所示，求這質點的運動軌道解: 物體置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐標：取方向為 X軸，平行斜面與 X軸垂直方向為 Y軸.如圖 2-2.題 2-2 圖X方向： 0xF tvx0 Y方向： yymagsin 0t時 2i1t由、式消去 t，得9220sin1xgvy2-3 質量為 16 kg 的質點在 xO平面內運動，受一恒力作用，力的分量為 xf6 N， yf -7 N，當 t0 時， 0， x-2 ms -1， yv0求當 t2 s 時質點的 (1)位矢；(2)速度解： 2sm8316fax7y(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是質點在 s2時的速度 145ji(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx2-4 質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力 kv( 為常數(shù))作用， t=0 時質點的速度為 0v，證明(1) t時刻的速度為 vtke)(0；(2) 由 0 到 t的時間內經過的距離為x( km)1-tmke)(；(3)停止運動前經過的距離為)(；(4)證明當 kmt時速度減至 0v的1，式中 m 為質點的質量答: (1) tvmkad分離變量，得 v即 tk0mktevlnl tk0(2) t tt mkmkeex0 )1(d10(3)質點停止運動時速度為零，即 t，故有 00dkmvtevxk(4)當 t= km時，其速度為 evevkm0100即速度減至 0v的 e1.2-5 升降機內有兩物體，質量分別為 1， 2，且 2 1用細繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質量及一切摩擦都忽略不計，當升降機以勻加速 a 2g 上升時，求：(1) 1m和 2相對升降機的加速度(2)在地面上觀察 1m， 2的加速度各為多少?解: 分別以 , 為研究對象，其受力圖如圖(b)所示(1)設 2相對滑輪(即升降機)的加速度為 a，則 2對地加速度 2；因繩不可伸長，故 1對滑輪的加速度亦為 ，又 1在水平方向上沒有受牽連運動的影響，所以 1m在水平方向對地加速度亦為 a，由牛頓定律，有 )(22Tgam1題 2-5 圖聯(lián)立，解得 ga方向向下(2) 2m對地加速度為方向向上1在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即 牽相絕 a gga254221arctno6.rt，左偏上2-6 一質量為 m的質點以與地的仰角 =30的初速 0v從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質點落地時相對拋射時的動量的增量解: 依題意作出示意圖如題 2-6 圖11題 2-6 圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對 y軸對稱性，故末速度與 x軸夾角亦為 o30，則動量的增量為vmp由矢量圖知，動量增量大小為 0v，方向豎直向下2-7 一質量為 m的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向并回答在碰撞過程中，小球的動量是否守恒?解: 由題知，小球落地時間為 s5.因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為 gtv5.01，小球上跳速度的大小亦為 gv5.02設向上為 y軸正向，則動量的增量 12mp方向豎直向上，大小 mp)(12碰撞過程中動量不守恒這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒2-8 作用在質量為 10 kg 的物體上的力為 itF)0(N，式中 t的單位是 s，(1)求 4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量(2)為了使這力的沖量為 200 Ns，該力應在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度 j6ms-1的物體,回答這兩個問題解: (1)若物體原來靜止，則 ititFp 10401 smkg56d)21(d,沿 x軸正向， ipIv11s.若物體原來具有 61s初速，則 tt FvmFvmp0000 d)d(,于是 tpp12,同理， 1, 2I這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即 t ttI020d)(亦即 12解得 s10t，( s2t舍去)122-9 一質量為 m的質點在 xOy平面上運動，其位置矢量為 jtbitarsnco求質點的動量及 t0 到 2t 時間內質點所受的合力的沖量和質點動量的改變量解: 質點的動量為 )cossi(jttmvp將 t和 2t分別代入上式，得 jb1, iap2,則動量的增量亦即質點所受外力的沖量為 )(1jbI 2-10 一顆子彈由槍口射出時速率為 0smv，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為 F =( bta)N( ,為常數(shù))，其中 t以秒為單位：(1)假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質量解: (1)由題意，子彈到槍口時，有 0)(btaF,得 bat(2)子彈所受的沖量 t ttI021d將 bat代入，得 baI2(3)由動量定理可求得子彈的質量 00vm2-11 一炮彈質量為 ，以速率 v飛行，其內部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為 T，且一塊的質量為另一塊質量的 k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為 v+k2, v-T證明: 設一塊為 1m，則另一塊為 2，1m及 21于是得 ,2k又設 1的速度為 1v, 2的速度為 v，則有 2211vTm 聯(lián)立、解得 12)(kvv13將代入，并整理得 21)(vkmT于是有 將其代入式，有 kTv22又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取 kmv,21證畢2-12 設 N67jiF合(1) 當一質點從原點運動到 1643kjir時，求 F所作的功(2)如果質點到 r處時需 0.6s，試求平均功率(3)如果質點的質量為 1kg，試求動能的變化解: (1)由題知， 合 為恒力， )1643()67(kjijirFA合J5241(2) w.0tP(3)由動能定理， JEk2-13 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板內的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內 1 cm，問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同解: 以木板上界面為坐標原點，向內為 y坐標正向，如題 2-13 圖，則鐵釘所受阻力為題 2-13 圖 kyf第一錘外力的功為 1Assfyf102dd式中 f是鐵錘作用于釘上的力， 是木板作用于釘上的力，在 0t時， f設第二錘外力的功為 2，則同理，有 212dykykA由題意，有 )(212mv14即 212ky所以， 于是釘子第二次能進入的深度為 cm41.012y2-14 設已知一質點(質量為 m)在其保守力場中位矢為 r點的勢能為 nPrkE/)(, 試求質點所受保守力的大小和方向解: 1d)(nkrEF方向與位矢 r的方向相反，即指向力心2-15 一根勁度系數(shù)為 1k的輕彈簧 A的下端，掛一根勁度系數(shù)為 2k的輕彈簧 B， 的下端一重物 C， 的質量為 M，如題 2-15 圖求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比解: 彈簧 BA、 及重物 受力如題 2-15 圖所示平衡時，有題 2-15 圖 MgFBA又 1xk2所以靜止時兩彈簧伸長量之比為 12kx彈性勢能之比為 12212kxEp2-16 (1)試計算月球和地球對 m物體的引力相抵消的一點 P，距月球表面的距離是多少?地球質量 5.981024 kg，地球中心到月球中心的距離 3.84108m，月球質量7.351022kg，月球半徑 1.74106m(2)如果一個 1kg 的物體在距月球和地球均為無限遠處的勢能為零，那么它在 P點的勢能為多少 ?解: (1)設在距月球中心為 r處 地 引月 引 F，由萬有引力定律，有1522rRmMGr地月經整理，得 r月地 月= 2241035.71098.5.8104.m36則 P點處至月球表面的距離為 m6.).( 7月rh(2)質量為 kg1的物體在 P點的引力勢能為rRMGrEP地月 7241721 1083.9506.83.5067. J22-17 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質量為 1m和2m的滑塊組成如題 2-17 圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為 k，自然長度等于水平距離 BC，與桌面間的摩擦系數(shù)為 ，最初 1m靜止于 A點， B C h，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下 1,求它下落到 B處時的速率解: 取 點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能原理，有 )(21)(221 lkgvgh式中 l為彈簧在 A點時比原長的伸長量，則 hBCAl )(聯(lián)立上述兩式，得 212112mkgv題 2-17 圖2-18 如題 2-18 圖所示，一物體質量為 2kg，以初速度 0v3ms -1從斜面 A點處下滑，它與斜面的摩擦力為 8N，到達 B點后壓縮彈簧 20cm 后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原16長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr 2ikxfr式中 m52.084s， 2.0x，再代入有關數(shù)據(jù)，解得 -1mN39k題 2-18 圖再次運用功能原理，求木塊彈回的高度 h2o137sinkxmgfr代入有關數(shù)據(jù)，得 4.1s,則木塊彈回高度 84.0sioh題 2-19 圖2-19 質量為 M的大木塊具有半徑為 R的四分之一弧形槽，如題 2-19 圖所示質量為m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度解: 從 上下滑的過程中，機械能守恒，以 m， M，地球為系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有 221VvgR又下滑過程，動量守恒，以 m, 為系統(tǒng)則在 脫離 瞬間，水平方向有0聯(lián)立，以上兩式，得 Mgv22-20 一個小球與一質量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向互相垂直證: 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有 221201mvv即 17題 2-20 圖(a) 題 2-20 圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有 210vmv亦即 由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以 0v為斜邊，故知 1v與 2是互相垂直的2-21 一質量為 m的質點位于 ( 1,yx)處，速度為 jviyx, 質點受到一個沿 x負方向的力 f的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質點上的力的力矩解: 由題知，質點的位矢為 jir1作用在質點上的力為 f所以，質點對原點的角動量為 vmrL0 )()(1jviiyxyxk作用在質點上的力的力矩為 kfifjifrM110 )(2-22 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓它離太陽最近距離為 r8.7510 10m 時的速率是 1v5.4610 4ms -1，它離太陽最遠時的速率是 2v9.0810 2ms-1 這時它離太陽的距離 2r多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。)解: 哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有21mv m106.508.9475221 vr2-23 物體質量為 3kg， t=0 時位于 ir, sji，如一恒力 N5jf作用在物體上,求 3 秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對 z軸角動量的變化解: (1) 301skg15djtjfp(2)解(一) 7340tvxjaty 5.2620 即 ir1, ji5.10xv1813560atvy即 ji1, ji2 kmrL7)(41jijiv 5.45.7(22 121sg8k解(二) dtzM tttFrL00d)(d30 12smkg5.8)4(5d53162tktji題 2-24 圖2-24 平板中央開一小孔，質量為 m的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質量為 1M的重物小球作勻速圓周運動，當半徑為 0r時重物達到平衡今在 1的下方再掛一質量為2M的物體，如題 2-24 圖試問這時小球作勻速圓周運動的角速度 和半徑 r為多少?解: 在只掛重物時 1，小球作圓周運動的向心力為 gM1，即201rg掛上 2后，則有221)(rm 重力對圓心的力矩為零，故小球對圓心的角動量守恒即 v022r聯(lián)立、得 0212132101010)(rMgmrrg2-25 飛輪的質量 60kg，半徑 R0.25m，繞其水平中心軸 O轉動，轉速為900revmin-1現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力 F，可使飛輪19減速已知閘桿的尺寸如題 2-25 圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù) =0.4，飛輪的轉動慣量可按勻質圓盤計算試求：(1)設 F100 N，問可使飛輪在多長時間內停止轉動?在這段時間里飛輪轉了幾轉 ?(2)如果在 2s 內飛輪轉速減少一半，需加多大的力 F?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中 N、 是正壓力， rF、 是摩擦力， x和 y是桿在 A點轉軸處所受支承力， R是輪的重力， P是輪在 O軸處所受支承力題 2-25 圖（a）題 2-25 圖(b)桿處于靜止狀態(tài)，所以對 A點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計，則有 FlNllF121210)( 對飛輪，按轉動定律有 IRr/，式中負號表示 與角速度 方向相反 lr12又 ,mRI FlIFr12)(以 N10F等代入上式，得 2srad34050.26)7(4.0由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉動的時間為 6.69t這段時間內飛輪的角位移為 rad21.53 )49(30214020t可知在這段時間里，飛輪轉了 轉20(2)10srad629，要求飛輪轉速在 2ts內減少一半，可知 200rad152tt用上面式(1)所示的關系，可求出所需的制動力為 NlmRF172)75.0.(4.0216212-26 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸 O轉動設大小圓柱體的半徑分別為 R和 r，質量分別為 M和 m繞在兩柱體上的細繩分別與物體 1m和2m相連， 1和 2則掛在圓柱體的兩側，如題 2-26 圖所示設 R0.20m, r0.10m，4 kg， M10 kg， 1 22 kg，且開始時 1， 2離地均為 h2m求：(1)柱體轉動時的角加速度；(2)兩側細繩的張力解: 設 1a, 2和 分別為 1, 2和柱體的加速度及角加速度，方向如圖 (如圖 b)題 2-26(a)圖 題 2-26(b)圖(1) 1m, 2和柱體的運動方程如下： 22amgT11IrR2式中 aT 1221,而 2MI由上式求得212 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI(2)由式 893.622 gmrTN由式 17208911 R2-27 計算題 2-27 圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設滑輪為質量均勻分布的圓柱體，其質量為 M，半徑為 r，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉，忽略桌面與物體間的摩擦，設1m50kg ， 2200 kg,M15 kg, r0.1 m解: 分別以 1, 滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示對 1, 2運用牛頓定律，有aTg221對滑輪運用轉動定律，有 )(212Mrr又， a 聯(lián)立以上 4 個方程，得 221 sm6.721508.9mga題 2-27(a)圖 題 2-27(b)圖題 2-28 圖2-28 如題 2-28 圖所示，一勻質細桿質量為 m，長為 l，可繞過一端 O的水平軸自由轉動，桿于水平位置由靜止開始擺下求：(1)初始時刻的角加速度；(2)桿轉過 角時的角速度 .解: (1)由轉動定律，有22)31(22mlg l (2)由機械能守恒定律，有 2)31(sin2llg l題 2-29 圖2-29 如題 2-29 圖所示，質量為 M，長為 l的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸 O無摩擦地轉動，它原來靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質量為 m的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞相撞后，使棒從平衡位置處擺動到最大角度 30處(1)設這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速 0v的值；(2)相撞時小球受到多大的沖量?解: (1)設小球的初速度為 0v，棒經小球碰撞后得到的初角速度為 ，而小球的速度變?yōu)関，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機械能守恒定律，可列式： mvlIl022211v上兩式中231MlI，碰撞過程極為短暫，可認為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度 o0，按機械能守恒定律可列式： )30cos1(22lgI由式得 2121)()cs( lgIl由式 mlIv0由式 I202所以2322001)(mvlIv求得 glMlIl312(6)()20(2)相碰時小球受到的沖量為 0dmvtF由式求得 llIvt 310gM6)2(負號說明所受沖量的方向與初速度方向相反題 2-30 圖2-30 一個質量為 M、半徑為 R并以角速度 轉動著的飛輪(可看作勻質圓盤)，在某一瞬時突然有一片質量為 m的碎片從輪的邊緣上飛出，見題 2-30 圖假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉動動能解: (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度 Rv0設碎片上升高度 h時的速度為 ，則有 gh22令 0v，可求出上升最大高度為 201vH(2)圓盤的轉動慣量21MRI，碎片拋出后圓盤的轉動慣量21mRMI，碎片脫離前，盤的角動量為 ，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內力變?yōu)榱?，但內力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的總角動量應守恒，即 RmvI0式中 為破盤的角速度于是 R022)1()( 2M得 (角速度不變)圓盤余下部分的角動量為24)21(2mRM轉動動能為題 2-31 圖 22)1(mRMEk2-31 一質量為 m、半徑為 R 的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動另一質量為 0的子彈以速度 0v射入輪緣(如題 2-31 圖所示方向)(1)開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值?(2)用 , 和 表示系統(tǒng)(包括輪和質點 )最后動能和初始動能之比解: (1)射入的過程對 O軸的角動量守恒 200)(sinRmvR sin(2) 022020sin1)(i)(20 vmEk 2-32 彈簧、定滑輪和物體的連接如題 2-32 圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為 2.0 Nm-1；定滑輪的轉動慣量是 0.5kgm2，半徑為 0.30m ，問當 6.0 kg 質量的物體落下 0.40m 時，它的速率為多大? 假設開始時物體靜止而彈簧無伸長解: 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，重物下落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有 22211khImvgh又 R/故有 I2)(122sm0. 5.03.63.)489.25題 2-32 圖 題 2-33 圖2-33 空心圓環(huán)可繞豎直軸 AC自由轉動，如題 2-33 圖所示，其轉動慣量為 0I，環(huán)半徑為R，初始角速度為 0質量為 m的小球，原來靜置于 A點，由于微小的干擾，小球向下滑動設圓環(huán)內壁是光滑的，問小球滑到 B點與 C點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少 ?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至 B點時，有)(200RI該系統(tǒng)在轉動過程中，機械能守恒，設小球相對于圓環(huán)的速率為 v，以 點為重力勢能零點，則有 22020 1)(11BmImgI聯(lián)立、兩式，得 20RIvB(2)當小球滑至 C點時， 0Ic c故由機械能守恒，有 21)(cmvg Rc請讀者求出上述兩種情況下，小球對地速度習題三3-1 慣性系 S相對慣性系 S以速度 u運動當它們的坐標原點 O與 重合時， t= =0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標系寫出各自觀測的波陣面的方程解: 由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波波陣面方程為： 22)(ctzyx題 3-1 圖3-2 設圖 3-4 中車廂上觀測者測得前后門距離為 2l試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間差26解: 設光訊號到達前門為事件 1，在車廂 )(S系時空坐標為),(,(1cltx，在車站 )(S系：)()(2121 ucllxcut 光信號到達后門為事件 ，則在車廂 )S系坐標為,(ltx，在車站 )(S系：)1(22clct于是 1u或者 lxtt 2,012)()(cc3-3 慣性系 S相對另一慣性系 S沿 x軸作勻速直線運動，取兩坐標原點重合時刻作為計時起點在 S 系中測得兩事件的時空坐標分別為 1=6104m, 1t=210-4s，以及2x=12104m, 2t=110-4s已知在 S系中測得該兩事件同時發(fā)生試問：(1)S系相對S 系的速度是多少? (2) 系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設 )(相對 的速度為 v，(1) )(121xcvt2由題意 01t則 )(122xcvt故 8125.xcv 1sm(2)由洛侖茲變換 )(),(22vtxvt代入數(shù)值， 0.412 3-4 長度 0l=1 m 的米尺靜止于 S系中，與 x 軸的夾角 =30，S系相對 S 系沿 x軸運動，在 S 系中觀測者測得米尺與 軸夾角為 45 試求：(1)S系和 S 系的相對運動速度.(2)S 系中測得的米尺長度解: (1)米尺相對 靜止，它在 y,軸上的投影分別為： m86.0cos0Lx， m5.0sin0Ly米尺相對 沿 方向運動，設速度為 v，對 S系中的觀察者測得米尺在 x方向收縮，而y方向的長度不變，即 yxc,1227故 21tancvLxyyx把 45及 yxL,代入則得 86.052cv故 1(2)在 S系中測得米尺長度為m7.45sinyL3-5 一門寬為 a，今有一固有長度 0l( a)的水平細桿，在門外貼近門的平面內沿其長度方向勻速運動若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相對于門的運動速率 u至少為多少?解: 門外觀測者測得桿長為運動長度，20)(1cul，當 a時，可認為能被拉進門，則 la解得桿的運動速率至少為：20)(1lcu題 3-6 圖3-6 兩個慣性系中的觀察者 O和 以 0.6c(c 表示真空中光速)的相對速度相互接近，如果O測得兩者的初始距離是 20m，則 測得兩者經過多少時間相遇 ?解: 測得相遇時間為 tcvLt6.02測得的是固有時 t t21 s089.8，6cv，8.01，或者， O測得長度收縮， vLtLL,.6.102020s189.3.6.88ct283-7 觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系 S和 中，甲測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為 4s，而乙測得這兩個事件的時間間隔為 5s求：(1) S相對于 的運動速度(2) 乙測得這兩個事件發(fā)生的地點間的距離解: 甲測得 0,s4xt,乙測得 s5t，坐標差為 12x(1) tcvtxcvt2)(1)(5412t解出 cccv3)(1)(280.sm(2) 0,45,xttx m1938 cv負號表示 012x3-8 一宇航員要到離地球為 5 光年的星球去旅行如果宇航員希望把這路程縮短為 3 光年，則他所乘的火箭相對于地球的速度是多少?解: 2220 153,13 則ll cv493-9 論證以下結論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時證: 設在 S系 BA、 事件在 ba,處同時發(fā)生，則 BAabttx,，在 S系中測得)(2cvtttAB0,x， t即不同時發(fā)生3-10 試證明：(1) 如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短(2) 如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性關系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短解: (1)如果在 S系中，兩事件 BA、 在同一地點發(fā)生，則 0x，在 S系中，tt，僅當 0v時，等式成立， t最短(2)若在 S系中同時發(fā)生，即 t，則在 S系中， x，僅當 v時等式成立， 系中 x最短3-11 根據(jù)天文觀測和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠離我們而去假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為 0.50s，且這顆星正沿觀察方向以29速度 0.8c 離我們而去問這顆星的固有周期為多少?解: 以脈沖星為 S系， 0x，固有周期 0t.地球為 S系，則有運動時 t1，這里 1t不是地球上某點觀測到的周期，而是以地球為參考系的兩異地鐘讀數(shù)之差還要考慮因飛行遠離信號的傳遞時間， ctv1 ttt1)(cv6.01)8.(12則 ).(5)(0 cvtts16.0836.)1(5.3-12 6000m 的高空大氣層中產生了一個 介子以速度 v=0.998c 飛向地球假定該 介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命 210-6s試分別從下面兩個角度，即地球上的觀測者和 介子靜止系中觀測者來判斷 介子能否到達地球解: 介子在其自身靜止系中的壽命 10260t是固有(本征)時間，對地球觀測者，由于時間膨脹效應，其壽命延長了衰變前經歷的時間為 s.352cvt這段時間飛行距離為 m9470tvd因 m60d，故該 介子能到達地球或在 介子靜止系中， 介子是靜止的地球則以速度 v接近介子，在 0t時間內，地球接近的距離為 50t0經洛侖茲收縮后的值為： m379120cvd0d，故 介子能到達地球3-13 設物體相對 S系沿 x軸正向以 0.8c 運動，如果 S系相對 S 系沿 x 軸正向的速度也是 0.8c，問物體相對 S 系的速度是多少?解: 根據(jù)速度合成定理， cu8.0,vx. ccxx 98.0.801223-14 飛船 A以 0.8c 的速度相對地球向正東飛行，飛船 B以 0.6c 的速度相對地球向正西方向飛行當兩飛船即將相遇時 A飛船在自己的天窗處相隔 2s 發(fā)射兩顆信號彈在 B飛30船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?解: 取 B為 S系，地球為 系，自西向東為 x( )軸正向，則 A對 S系的速度cvx8.0， 系對 系的速度為 cu6.0，則 A對 S系( B船)的速度為ccvxx 946.08.12發(fā)射彈是從 A的同一點發(fā)出，其時間間隔為固有時 s2t，題 3-14 圖 B中測得的時間間隔為： s17.694.0122cvttx3-15 (1)火箭 A和 B分別以 0.8c 和 0.6c 的速度相對地球向+ x和- 方向飛行試求由火箭 B測得 的速度 (2)若火箭 A相對地球以 0.8c 的速度向+ y方向運動，火箭 B的速度不變，求 相對 的速度解: (1)如圖 a，取地球為 S系， 為 系，則 S相對 的速度 cu6.0，火箭 A相對S的速度 cvx8.0，則 相對 ( )的速度為： cvcuxx 94.)8.0(61.22或者取 A為 S系，則 8.0， B相對 S系的速度 cvx6.，于是 B相對 A的速度為： cvcuxx 94.0).(8.01622 (2)如圖 b，取地球為 S系，火箭 為 S系， 系相對 S系沿 x方向運動，速度cu6.0， A對 系的速度為, x, y.,由洛侖茲變換式 A相對 B的速度為：cvcuxx 6.01).(012 cvcuvxyy 64.0)8.(122 A相對 B的速度大小為 cyx.2