高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法課件 理.ppt

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第五章 數(shù)列 推理與證明 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法 1 了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法 列表 圖象 通項公式 2 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù) 1 數(shù)列的定義 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列 數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項 數(shù)列可以看作是定義域為N 的非空子集的函數(shù) 其圖象是一群孤立的點 2 數(shù)列的分類 無限 3 數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法 它們分別是列表法 圖象法和解析法 4 數(shù)列的通項公式如果數(shù)列 an 的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an f n 來表示 那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式 5 Sn與an的關(guān)系 an 1 an 1 B B D 4 如圖5 1 1所示的是用同樣規(guī)格的黑 白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案 若按此規(guī)律鋪設(shè) 則第n個圖案中需用黑 D 色瓷磚的塊數(shù)為 用含n的代數(shù)式表示 圖5 1 1A 4nB 4n 1C 4n 3D 4n 8 考點1 由數(shù)列的前幾項寫數(shù)列的通項公式 例1 分別寫出下列數(shù)列的一個通項公式 數(shù)列的前4項已給出 規(guī)律方法 對于一個公式能否成為一個給出的前n項的 數(shù)列的通項公式 需逐項加以驗證 缺一不可 根據(jù)數(shù)列 an 的前n項求通項公式 我們常常取其形式上較簡便的一個即可 另外 求通項公式 一般可通過觀察數(shù)列中各項的特點 進行分析 概括 然后得出結(jié)論 必要時可加以驗證 已知數(shù)列的前幾項求通項公式 主要從以下幾個方面來考 慮 負號用 1 n與 1 n 1 或 1 n 1 來調(diào)節(jié) 分數(shù)形式的數(shù)列 分析分子 分母的特征 且充分借助 分子 分母的關(guān)系 相鄰項的變化特征 拆項后的特征 對于比較復(fù)雜的通項公式 要借助于等差數(shù)列 等比數(shù) 列 后面專門學(xué)習(xí) 和其他方法解決 此類問題雖無固定模式 但也有規(guī)律可循 主要靠觀察 觀察規(guī)律 比較 比較已知的數(shù)列 歸納 轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列 等方法 互動探究 1 已知數(shù)列 an 的前4項分別為1 0 1 0 則下列各式可作 為數(shù)列 an 的通項公式的個數(shù)有 A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 解析 由三角函數(shù)公式知 和 實質(zhì)上是一樣的 不難驗證 它們是已知數(shù)列1 0 1 0的通項公式 對于 易看出 它不是數(shù)列 an 的通項公式 對于 將n 3代入 a3 3 1 故 不是 an 的通項公式 顯然是數(shù)列 an 的通項公式 綜上所述 可作為數(shù)列 an 的通項公式有3個 故選C 答案 C 2 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù) 如圖5 1 2 圖5 1 2 他們研究過圖5 1 2 1 中的1 3 6 10 由于這些數(shù)能夠表示成三角形 將其稱為三角形數(shù) 類似地 稱圖5 1 2 2 中的1 4 9 16 這樣的數(shù)為正方形數(shù) 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又 是正方形數(shù)的是 A 289C 1225 B 1024D 1378 C 考點2 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式 例2 已知數(shù)列 an 滿足an 1 2an 1 n N 1 若a1 1 寫出此數(shù)列的前4項 并推測該數(shù)列的通項公式 2 若a1 1 寫出此數(shù)列的前4項 并推測該數(shù)列的通項公式 2 方法一 a1 1 a2 2 1 1 3 a3 2 3 1 7 a4 2 7 1 15 可推測該數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 1 方法二 由an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 an 1 1 a1 1 2n 1 an 1 2n 1 解 1 a1 a2 a3 a4 1 可推測該數(shù)列 an 的通項公式為an 1 規(guī)律方法 數(shù)列的遞推公式是由遞推關(guān)系式 遞推 和首項 基礎(chǔ) 兩個因素所確定的 即使遞推關(guān)系完全一樣 而首項不同就可得到兩個不同的數(shù)列 適當配湊是本題進行歸納的前提 從整體把握是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要手段 加強類比是探索某些規(guī)律的常用方法之一 互動探究 考點3 利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式 例3 已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 按照下列條件求數(shù)列的通項公式 1 若Sn 2n2 n 求數(shù)列 an 的通項公式 2 若Sn n2 n 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解 1 當n 1時 a1 S1 1 當n 2時 an 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 3 經(jīng)檢驗 當n 1時 a1 1也適合an 4n 3 數(shù)列 an 的通項公式是an 4n 3 規(guī)律方法 已知an求Sn的方法多種多樣 但已知Sn求an的方法卻是高度統(tǒng)一 化簡關(guān)系式用Sn表示出an是關(guān)鍵 當n 2時 若由an Sn Sn 1求出的an對n 1也成立 則an Sn Sn 1 否則就分段表示 互動探究 4 設(shè)數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且Sn 2 an 1 則a3 A A 8C 2 B 4D 1 解析 由S1 2 a1 1 a1 得a1 2 由S2 2 a2 1 得a2 4 由S3 2 a3 1 得a3 8 思想與方法 用函數(shù)的思想探討數(shù)列的單調(diào)性 例題 已知單調(diào)遞增數(shù)列 an an n2 kn n N 求實數(shù) k的取值范圍 解 an n2 kn n N an 1 an n 1 2 k n 1 n2 kn 2n 1 k 數(shù)列 an 單調(diào)遞增 an 1 an 0 即2n 1 k 0恒成立 k 2n 1 即k 3 規(guī)律方法 函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別 若數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)單調(diào) 則數(shù)列一定單調(diào) 反之 若數(shù)列單調(diào) 則其所對應(yīng)的函數(shù)不一定單調(diào) 因為數(shù)列是定義域為正整數(shù)集的特殊函數(shù) 所以數(shù)列的單調(diào)性一般要通過比較an 1 與an的大小來判斷 若an 1 an 則數(shù)列為遞增數(shù)列 若an 1 an 則數(shù)列為遞減數(shù)列 解本題易出現(xiàn)的錯誤是 an是關(guān)于n 的二次函數(shù) 其定義域為正整數(shù)集 若數(shù)列 an 遞增 則必有 k2 1 故k 2