河南省2019年中考數(shù)學總復習 第七章 圖形的變化微專項.doc

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路徑長最值問題 常見 模型 結(jié)構(gòu)示例 應用的原理 處理方法 基本思路 轉(zhuǎn)化原則 軸 對 稱 最 值 模 型 如圖,定點A,B在定直線l的同側(cè),在定直線l上找一動點P,使PA+PB的值最小. 兩點之間,線段最短. 作任意一定點關(guān)于直線l的對稱點,然后連接對稱點與另一定點,根據(jù)兩點之間線段最短,得出PA+PB的最小值. ①盡量減少變量,向定點、定線段、定圖形“靠攏”; ②使用同一變量表達所求目標. 如圖,定點A,B在定直線l的異側(cè),在定直線l上找一點P,使|PA-PB|的值最大. 三角形的三邊關(guān)系 作任意一定點關(guān)于直線l的對稱點,然后作過該對稱點和另一定點的直線,交直線l于點P,根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊,可得|PA-PB|的最大值. 折 疊 求 最 值 模 型 如圖,點N為定點,點M為動點,折疊圖形后. ①求AB的最小值; ②求點A到BC距離的最小值. ①平面內(nèi)的點與圓上距離最大和最小的點均在該點與圓心連線所在的直線上; ②垂線段最短. 以點N為圓心、AN的長為半徑作圓.①連接BN交☉N于一點,當點A與該交點重合時,AB取最小值; ②過點N作BC的垂線,交☉N于一點,當點A與該交點重合時,點A到BC的距離最小. 突破點1軸對稱最值模型 如圖,在平面直角坐標系中,∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合,點P是OA上的一動點,點N(3,0)在OB上,點M是ON的中點,∠AOB=30,要使PM+PN的值最小,則點P的坐標為　　　　. 思路分析　定點M,N在定直線OA同側(cè),求PM+PN的最小值時,可作點N關(guān)于定直線OA的對稱點N,再連接MN,根據(jù)兩點之間線段最短,得到點P,M,N共線時,PM+PN的值最小,據(jù)此進行求解. 突破點2折疊求最值模型 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=6,BC=8,點F在邊AC上,且CF=2,點E為邊BC上的動點,將△CEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值為　　　　. 思路分析　在該問題中,先找到定點F,再以點F為圓心、CF的長為半徑作圓,則點P在該圓上運動,求點P到AB距離的最小值,即是求☉F上的點到AB的最小距離,過點F作AB的垂線,交☉F于一點,當點P與該點重合時,點P到AB的距離最小,據(jù)此求解即可. 1.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,點P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.BC　　　　 B.CE C.AD　 　 D.AC 2.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,點B的坐標為(3,4),點D是OA的中點,點E在AB上,當△CDE的周長最小時,點E的坐標為　　　　. (第2題)　　(第3題) 3.如圖,∠AOB=45,點P是∠AOB內(nèi)一點,PO=5,點Q,R分別是OA,OB上的動點,則△PQR周長的最小值為　　　　. 4.如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠DAB=60,點E為BC的中點,點P是對角線AC上的動點,則△PBE周長的最小值為　　　　. (第4題)　　　(第5題) 5.如圖,在平面直角坐標系中,點A(1,5),B(3,-1),點M在x軸上運動,當AM-BM的值最大時,點M的坐標為　　　　. 6.在平面直角坐標系中,拋物線y=12x2-2x經(jīng)過點A(4,0),點C的坐標為(1,-3),點D是拋物線對稱軸上一動點,當|AD-CD|的值最大時,點D的坐標為　　　　. 7.如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60,點M是AD邊的中點,點N是AB邊上一動點,將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△AMN,連接AC,則AC的最小值為　　　　. (第7題)　　(第8題)　　 8.如圖,CD是☉O的直徑,CD=4,∠ACD=20,點B為弧AD 的中點,點P是直徑CD 上的一個動點,則PA+PB的最小值為　　　　. 9.如圖,拋物線y=-12x2+52x-2與x軸交于點A,B兩點,與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,在y軸上是否存在一點S,使得SD-SB的值最大?若存在,求出點S的坐標,并求出SD-SB的最大值;若不存在,請說明理由. 參考答案 高分突破微專項3　路徑長最值問題 例1　(32,32)　如圖,作點N關(guān)于OA的對稱點N,連接NM交OA于點P,此時PM+PN的值最小.∵OA垂直平分NN,∠AOB=30,∴ON=ON,∠NON=2∠AON=60,∴△NON是等邊三角形.∵點M是ON的中點,點N(3,0),∴NM⊥ON,ON=3,OM=12ON=32,∴PM=OMtan∠AON=3233=32,∴P(32,32).即要使PM+PN的值最小,點P的坐標為(32,32). 例2　65　當點E在BC上運動時,PF的長固定不變,即PF=CF=2.故點P在以點F為圓心、以2為半徑的圓上運動.如圖,過點F作FH⊥AB交☉F于點P,垂足為點H,此時PH最短,則△AFH∽△ABC,∴FHBC=FAAB.由已知得AF=4,AB=10,∴FH8=410,即FH=165,∴PH=FH-FP=165-2=65.故點P到AB距離的最小值為65. 強化訓練 1.B　∵AB=AC,AD是中線,∴AD⊥BC,∴點B,C關(guān)于直線AD對稱.連接CE交AD于點F,當點P與點F重合時,BP+EP的值最小,最小值為CE的長.故選B. 2.(3,43)　∵點B的坐標為(3,4),∴OA=3,OC=4,C(0,4).∵點D是OA的中點,∴OD=AD=32.如圖,作點D關(guān)于直線AB的對稱點F,則AF=AD=32,故點F的坐標為(92,0).根據(jù)軸對稱的性質(zhì),可知直線FC與AB的交點就是使得△CDE的周長最小的點E.利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式為y=-89x+4,當x=3時,y=43,故點E的坐標為(3,43). 3.52　如圖,分別作點P關(guān)于OA,OB的對稱點M,N,連接OM,ON,MN,MN交OA,OB于點Q,R,此時△PQR周長最小,為MN的長.由軸對稱的性質(zhì)可得,OM=ON=OP=5,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,則∠MON=2∠AOB=245=90.在Rt△MON中,MN=OM2+ON2=52,即△PQR周長的最小值等于52. 4.3+1　如圖,連接DE,交AC于點F,連接PD,易得PB=PD,∵PD+PE≥DE,∴當點P與點F重合時,PD+PE的值最小,且最小值為DE的長,易得DE=3,故PB+PE的最小值為3,易得BE=1,故△PBE周長的最小值為3+1. 5.(72,0)　如圖,作點B關(guān)于x軸的對稱點B,連接AB并延長與x軸交于點N,此時AN-BN=AN-BN=AB,MA-MB=MA-MB≤AB.∵點B和點B(3,-1)關(guān)于x軸對稱,∴B(3,1).設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將A(1,5),B(3,1)分別代入,得k+b=5,3k+b=1,解得k=-2,b=7,故直線AB的解析式為y=-2x+7,令y=0,解得x=72,∴當AM-BM的值最大時,點M的坐標為(72,0). 6.(2,-6)　易知拋物線的對稱軸為直線x=2.如圖,作點C關(guān)于直線x=2的對稱點C(3,-3),作直線AC,與直線x=2交于點D.設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將A(4,0),C(3,-3)分別代入,得4k+b=0,3k+b=-3,解得k=3,b=-12,故直線AC的解析式為y=3x-12,當x=2時,y=-6,故點D的坐標為(2,-6). 7.7-1　易知MA是定值,且MA=1,AC的長度取最小值時,點A在MC上.過點M作MF⊥DC交CD的延長線于點F,∵在邊長為2的菱形ABCD中,點M為AD的中點,∠A=60,∴CD=AD=2,DM=12AD=1,∠FDM=60,∴FD=DMcos 60=12,FM=DMsin 60=32,∴FC=FD+DC=52,∴MC=FM2+FC2=(32)2+(52)2=7,∴AC=MC-MA=7-1.故AC的最小值為7-1. 8.2　如圖,作點A關(guān)于直線CD的對稱點M,則點M在☉O上,連接MB交CD于點P,則此時PA+PB取最小值,為BM.連接OB,OM.∵∠ACD=20,點B為弧AD 的中點,∴∠BOD=20,∠DOM=40,∴∠BOM=60.∵OB=OM,∴△BOM是等邊三角形,∴BM=OB=12CD=2,即PA+PB的最小值為2. 9.如圖,作直線BD交y軸于點S,此時SD-SB有最大值,最大值等于BD的長. ∵y=-12x2+52x-2=-12(x-52)2+98, ∴點D的坐標為(52,98). 將y=0代入y=-12x2+52x-2, 得-12x2+52x-2=0,解得x1=1,x2=4, ∴點B的坐標為(1,0),點A的坐標為(4,0). 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b, 將B(1,0),D(52,98)分別代入, 得k+b=0,52k+b=98,解得k=34,b=-34, 故直線BD的解析式為y=34x-34, ∴點S的坐標為(0,-34). 過點D作DE⊥x軸于點E,則BE=32,DE=98. 在Rt△BDE中,BD=BE2+DE2=(32)2+(98)2=158. 故在y軸上存在一點S,使得SD-SB的值最大,最大值為158,此時點S的坐標為(0,-34).