2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊五 解析幾何 第14講 直線與圓學(xué)案 理.docx

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第14講直線與圓1.(1)2015全國卷一個(gè)圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)2015全國卷過三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=()A.26B.8C.46D.10試做命題角度圓的方程(1)解決圓的方程問題,關(guān)鍵一:通過研究圓的性質(zhì)求出圓的基本量.關(guān)鍵二:設(shè)出圓的一般方程,用待定系數(shù)法求解.(2)圓的常用性質(zhì):圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上;兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心共線.2.(1)2018全國卷直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP面積的取值范圍是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32(2)2016全國卷已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=23,則|CD|=.試做命題角度直線與圓的問題關(guān)鍵一:求直線被圓所截得的弦長時(shí),一般考慮由弦心距、弦長的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理求解.關(guān)鍵二:弦心距可利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.小題1直線的方程及應(yīng)用1 (1)已知直線ax+by+1=0與直線4x+3y+5=0平行,且直線ax+by+1=0在y軸上的截距為13,則a+b的值為 ()A.-7B.-1C.1D.7(2)過定點(diǎn)M的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)N的直線x-ay+2a-1=0交于點(diǎn)P(異于M,N),則|PM|PN|的最大值為 ()A.4B.3C.2D.1聽課筆記 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】(1)求直線方程主要有直接法和待定系數(shù)法.直接法是選擇適當(dāng)?shù)男问?直接求出直線方程.待定系數(shù)法是由條件建立含參數(shù)的方程,再據(jù)條件代入求參數(shù)得方程.(2)平行與垂直位置關(guān)系問題主要依據(jù):已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時(shí)為0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時(shí)為0),若l1l2,則A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10或A1C2-A2C10;若l1l2,則A1A2+B1B2=0.【自我檢測(cè)】1.命題“m=-2”是命題“直線2x+my-2m+4=0與直線mx+2y-m+2=0平行”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.已知直線l的斜率為3,在y軸上的截距為直線x-2y-4=0的斜率的倒數(shù),則直線l的方程為 ()A.y=3x+2B.y=3x-2C.y=3x+12D.y=-3x+23.已知直線l經(jīng)過直線l1:x+y=2與l2:2x-y=1的交點(diǎn),且直線l的斜率為-23,則直線l的方程是 ()A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=04.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根,0c18,則這兩條直線間的距離的最大值為 ()A.24B.22C.12D.2小題2圓的方程及應(yīng)用2 (1)已知一圓的圓心為A(2,-3),圓的某一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上,則此圓的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52(2)已知A(-3,0),B(0,4),點(diǎn)C在圓(x-m)2+y2=1上運(yùn)動(dòng),若ABC的面積的最小值為52,則實(shí)數(shù)m的值為()A.12或112B.-112或12C.-12或112D.-112或-12聽課筆記 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】(1)由圓心和半徑可直接得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過不在同一條直線上的三點(diǎn)可確定一個(gè)圓;(3)弦的垂直平分線一定過圓心;(4)與圓上的點(diǎn)有關(guān)的問題常轉(zhuǎn)化為圓心的有關(guān)問題去處理.【自我檢測(cè)】1.以(a,1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0和2x-y-6=0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=52.若直線ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為()A.5B.5C.25D.103.已知兩點(diǎn)A(-m,0)和B(2+m,0)(m0),若在直線l:x+3y-9=0上存在點(diǎn)P,使得PAPB,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(0,3)B.(0,4)C.3,+)D.4,+)4.若方程x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0 表示圓,則m的取值范圍是.小題3直線與圓的位置關(guān)系3 (1)已知圓C:x2+y2=1,點(diǎn)P為直線x+2y-4=0上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P向圓C引兩條切線分別為PA,PB,A,B為切點(diǎn),則直線AB經(jīng)過定點(diǎn) ()A.12,14B.14,12C.34,0D.0,34(2)已知直線3x-4y+m=0與圓O:x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),C為圓外一點(diǎn),若四邊形OACB是平行四邊形,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.聽課筆記 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】直線與圓的問題:(1)解決直線與圓的位置關(guān)系問題主要是利用幾何法,即利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷;(2)弦長問題,主要依據(jù)弦長的一半、弦心距、半徑恰構(gòu)成一直角三角形的三邊進(jìn)行求解;(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn),垂直于過這點(diǎn)的半徑的弦最短.【自我檢測(cè)】1.已知ABC的三邊長為a,b,c,直線ax+by+2c=0與圓x2+y2=4相離,則ABC是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上情況都有可能2.已知直線4x-3y+a=0與圓C:x2+y2+4x=0相交于A,B兩點(diǎn),且AOB=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.3B.10C.11或21D.3或133.已知圓O:x2+y2=r2(r0)及圓上的點(diǎn)A(-r,0),過點(diǎn)A的直線l交y軸于點(diǎn)B(0,1),交圓于另一點(diǎn)C,若|AB|=2|BC|,則直線l的斜率為.4.點(diǎn)P(x,y)是直線l:kx+y+3=0上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-4y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),若四邊形PACB的面積的最小值為2,則k的值為.模塊五解析幾何第14講直線與圓典型真題研析1.(1)x-322+y2=254(2)C解析 (1)設(shè)圓心為(t,0)(t0),則半徑為4-t,所以4+t2=(4-t)2,解得t=32,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-322+y2=254.(2)方法一:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐標(biāo)代入得方程組D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46.方法二:因?yàn)閗AB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以ABBC,所以ABC為直角三角形,所以ABC的外接圓圓心為AC的中點(diǎn)(1,-2),半徑r=12AC=5,所以MN=225-1=46.方法三:由ABBC=0得ABBC,下同方法二.2.(1)A(2)4解析 (1)由題意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為|2+0+2|2=22.設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,圓(x-2)2+y2=2的半徑為r,則d22-r,22+r,即d2,32,又ABP的面積SABP=12|AB|d=2d,所以ABP面積的取值范圍是2,6.(2)直線l:m(x+3)+y-3=0過定點(diǎn)(-3,3),又|AB|=23,|3m-3|1+m22+(3)2=12,解得m=-33.直線方程中,當(dāng)x=0時(shí),y=23.又(-3,3),(0,23)兩點(diǎn)都在圓上,直線l與圓的兩交點(diǎn)為A(-3,3),B(0,23).設(shè)過點(diǎn)A(-3,3)且與直線l垂直的直線為3x+y+c1=0,將(-3,3)代入直線方程3x+y+c1=0,得c1=23.令y=0,得xC=-2,同理得過點(diǎn)B且與l垂直的直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xD=2,|CD|=4.考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)A(2)D解析 (1)因?yàn)橹本€ax+by+1=0與直線4x+3y+5=0平行,所以3a=4b,又因?yàn)橹本€ax+by+1=0在y軸上的截距為13,所以13b+1=0,解得b=-3,所以a=-4,所以a+b=-7,故選A.(2)由題意可知,M(0,1).x-ay+2a-1=0,即x-1+a(2-y)=0,則N(1,2).過定點(diǎn)M的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)N的直線x-ay+2a-1=0始終垂直,P又是兩條直線的交點(diǎn),PMPN,|PM|2+|PN|2=|MN|2=2.故|PM|PN|PM|2+|PN|22=1,當(dāng)且僅當(dāng)|PM|=|PN|=1時(shí)取等號(hào).【自我檢測(cè)】1.C解析 當(dāng)兩直線平行時(shí),m2=4,m=2,若m=2,則兩直線均為x+y=0;若m=-2,則兩直線分別為x-y+4=0,x-y-2=0.所以“m=-2”是“直線2x+my-2m+4=0與直線mx+2y-m+2=0平行”的充要條件,故選C.2.A解析 直線x-2y-4=0的斜率為12,直線l在y軸上的截距為2,直線l的方程為y=3x+2,故選A.3.C解析 解方程組x+y=2,2x-y=1,得x=1,y=1,所以兩直線的交點(diǎn)為(1,1).因?yàn)橹本€l的斜率為-23,所以直線l的方程為y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.故選C.4.B解析 因?yàn)閍,b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根,所以a+b=-1,ab=c.兩條直線間的距離d=|a-b|2,所以d2=(a+b)2-4ab2=1-4c2.因?yàn)?c18,所以121-4c1,即d214,12,所以兩條直線間的距離的最大值為22,故選B.小題2例2(1)A(2)D解析 (1)設(shè)該直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為P(a,0),Q(0,b),則A(2,-3)是線段PQ的中點(diǎn),所以P(4,0),Q(0,-6),圓的半徑r=|PA|=(4-2)2+32=13.故圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13.故選A.(2)直線AB:x-3+y4=1,即4x-3y+12=0,若ABC的面積最小,則點(diǎn)C到直線AB的距離d最小,易知dmin=|4m+12|5-1,又ABC的面積的最小值為52,125|4m+12|5-1=52,即|4m+12|=10,解得m=-112或-12.故選D.【自我檢測(cè)】1.A解析 由題易知,圓心在直線2x-y-1=0上,將點(diǎn)(a,1)代入上式可得a=1,即圓心為(1,1),半徑r=|2-1+4|5=5,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=5.2.B解析 由直線ax+by+1=0始終平分圓M,知直線ax+by+1=0必過圓M的圓心,由圓的方程可得圓心為M(-2,-1),代入ax+by+1=0中,可得2a+b-1=0.(a-2)2+(b-2)2表示點(diǎn)(2,2)與點(diǎn)(a,b)之間的距離的平方.點(diǎn)(2,2)到直線2a+b-1=0的距離d=|22+21-1|5=5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5,故選B.3.C解析 以AB為直徑的圓的方程為(x-1)2+y2=(1+m)2.若在直線l:x+3y-9=0上存在點(diǎn)P,使得PAPB,則直線l與圓有公共點(diǎn),所以|1-9|21+m,解得m3.故選C.4.(-,6)解析 方程x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0,即(x-4)2+(y+m)2=6-m,由方程表示圓,可得6-m0,解得m6,故m的取值范圍為(-,6).小題3例3(1)B(2)(-10,-5)(5,10)解析 (1)設(shè)P(4-2m,m).PA,PB是圓C的切線,A,B為切點(diǎn),CAPA,CBPB,AB是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦.易知以PC為直徑的圓的方程為x-(2-m)2+y-m22=(2-m)2+m24,圓C的方程為x2+y2=1,-得直線AB的方程為2(2-m)x+my=1,即4x-14+m(y-2x)=0,直線AB恒過定點(diǎn)14,12,故選B.(2)如圖所示,四邊形OACB是平行四邊形,且OA=OB,平行四邊形OACB是菱形,OCAB.設(shè)OC,AB相交于點(diǎn)E,則|AE|=|BE|,|OE|=|CE|.圓心O到直線3x-4y+m=0的距離為|OE|=|m|32+(-4)2=|m|5,|OC|=2|m|5.點(diǎn)C在圓外,點(diǎn)E在圓內(nèi),1|m|52,解得5m10或-10m2,即c2a2+b2,故ABC是鈍角三角形.2.D解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=4,作CDAB于點(diǎn)D,由圓的性質(zhì)可知ABC為等腰三角形,其中|CA|=|CB|.由AOB=120,易得|CD|=1,即圓心(-2,0)到直線4x-3y+a=0的距離d=1,即|-8+0+a|42+(-3)2=1,即|a-8|=5,解得a=3或13.3.33或3解析 由題知,直線l的方程為y-1x=1r,即x-ry+r=0,聯(lián)立直線與圓的方程x2+y2=r2,x-ry+r=0,得Cr3-rr2+1,2r2r2+1,|AB|=2|BC|,r2+1=2r3-rr2+12+2r2r2+1-12,解得r=3或r=33,直線l的斜率k=1r=13=33或k=1r=133=3.4.2解析 根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=4,由題易得S四邊形PACB=2SPCB=212|PB|BC|=2|PB|=2|PC|2-|BC|2=2|PC|2-4,當(dāng)|PC|取得最小值時(shí),四邊形PACB的面積取得最小值.而|PC|的最小值即為點(diǎn)C到直線l:kx+y+3=0的距離d,d=|k0+12+3|k2+1=5k2+1.2d2-4=2,d=5,則5k2+1=5,解得k2=4,即k=2.備選理由 例1在直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,考查圓的面積的計(jì)算,需要從特殊的等邊三角形入手分析;例2考查直線與圓的綜合問題,涉及圓的方程的確定,點(diǎn)到直線及兩點(diǎn)間的距離問題等;例3在直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,考查最值問題,理解不難,但運(yùn)算量大,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算與求解能力有所幫助.例1配例3使用已知直線y=ax與圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于A,B兩點(diǎn),且CAB為等邊三角形,則圓C的面積為.答案 6解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-1)2=a2-1,則圓心C(a,1),半徑R=a2-1.直線y=ax和圓C交于A,B兩點(diǎn),且CAB為等邊三角形,圓心C到直線ax-y=0的距離為Rsin 60=32a2-1,又圓心C到直線ax-y=0的距離d=|a2-1|a2+1,|a2-1|a2+1=32a2-1,解得a2=7,圓C的面積為R2=(7-1)=6.例2配例3使用已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)O且圓心在x軸正半軸上,經(jīng)過點(diǎn)N(-2,0)且傾斜角為30的直線l與圓C相切于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q在x軸上的射影為點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)M為圓C上的任意一點(diǎn),則|MN|MP|=()A.4B.3C.2D.1解析 C如圖所示,由題可知直線l:y=33(x+2),即x-3y+2=0.設(shè)圓心C(a,0)(a0),則|a+2|12+(3)2=a,得a=2,所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.由圖易知,|PC|=1,則|OP|=1,則P(1,0).設(shè)M(x,y),則|MN|2|MP|2=(x+2)2+y2(x-1)2+y2=x2+y2+4x+4x2+y2-2x+1,將圓C的方程x2+y2=4x代入得|MN|2|MP|2=8x+42x+1=4,所以|MN|MP|=2,故選C.例3配例3使用 直線ax+ay-1=0與圓a2x2+a2y2-2a+1=0有公共點(diǎn)(x0,y0),則x0y0的最大值為()A.-14B.49C.43D.2解析 B因?yàn)橹本€ax+ay-1=0與圓a2x2+a2y2-2a+1=0有公共點(diǎn)(x0,y0),所以圓心到直線的距離d不大于圓的半徑,易知d=|-1|2a2,則012a22a-1a2,解得a34.由ax0+ay0=1,a2x02+a2y02-2a+1=0,即a2x02+a2y02+2a2x0y0=1,a2x02+a2y02-2a+1=0,得2a2x0y0+2a-1=1,所以x0y0=1-aa2=1a2-1a.設(shè)1a=t,則0t43,則x0y0=t2-t=t-122-14,0t43,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)t=43時(shí),x0y0取得最大值49,故選B.