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專題2.6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【考綱解讀】
內 容
要 求
備注
A
B
C
函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ
指數(shù)函數(shù)的圖象與性質
√
1．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算．
2．了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像的特征，知道指數(shù)函數(shù)是一重要的函數(shù)模型．
【直擊教材】
1．若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點A，則f(－1)＝________.
【答案】
2．已知0.2m<0.2n，則m______n(填“>”或“<”)．
【答案】>
3． (1)2＝________.
(2)＝________.
【答案】(1)6 (2)4a
【知識清單】
1 根式與指數(shù)冪的運算
1．
2. 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質:
①;
②;
③.
2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質
y＝ax
a>1
0
0時，y>1；
x<0時，00時，01
在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)
在區(qū)間(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
【考點深度剖析】
與指數(shù)函數(shù)有關的試題，大都以其性質及圖像為依托，結合推理、運算來解決，往往指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)進行復合，另外底數(shù)多含參數(shù)、考查分類討論．
【重點難點突破】
考點1 根式與指數(shù)冪的運算
【1-1】給出下列命題:
① 與都等于(n∈N*);②；③函數(shù)與都不是指數(shù)函數(shù)；④若（），則．其中正確的是 .
【答案】③
【1-2】化簡：
【答案】98
【解析】原式＝．
【1-3】
【答案】15．
【解析】∵∴，∴
．
【思想方法】
指數(shù)冪運算的一般原則
(1)有括號的先算括號里的,無括號的先做指數(shù)運算.
(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).
(3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù).
(4)若是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質來解答.
【溫馨提醒】運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù).
1．已知a>0，且a≠1，若函數(shù)y＝|ax－2|與y＝3a的圖象有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】①當01時，作出函數(shù)y＝|ax－2|的圖象，如圖b，若直線y＝3a與函數(shù)y＝|ax－2|(a>1)的圖象有兩個交點，則由圖象可知0<3a<2，此時無解．所以a的取值范圍是.
2．已知函數(shù)y＝|x＋1|.
(1)作出該函數(shù)的圖象；
(2)由圖象指出函數(shù)的單調區(qū)間．
[由題悟法]
指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應用
(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.
(2)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．
(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結合求解．
[即時應用]
1．若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．
【答案】[－1,1]
【解析】作出曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，
由圖象可得：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1,1]．
2．若函數(shù)y＝|3x－1|在(－∞，k]上單調遞減，則k的取值范圍為________．
【答案】(－∞，0]
【解析】函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．
由圖象知，其在(－∞，0]上單調遞減，所以k的取值范圍是(－∞，0]．
角度一：比較指數(shù)式的大小
1．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是________．
【答案】c>a>b
角度二：解簡單指數(shù)方程或不等式
2．設函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】(－3,1)
【解析】當a<0時，不等式f(a)<1可化為a－7<1，
即a<8，即a<－3，
因為0<<1，所以a>－3，此時－30，a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24)．
(1)試確定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)因為f(x)＝bax的圖象過點A(1,6)，B(3,24)，
【易錯試題常警惕】
利用指數(shù)函數(shù)的性質求參數(shù)問題，一般是利用指數(shù)函數(shù)的單調性求最值，特別是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，單調性不明確，從而無法確定其最值，故應分和兩種情況討論．
如：若函數(shù)（且）在上的最大值為，最小值為，且函數(shù)
在上是增函數(shù)，則 ．
【分析】函數(shù)在上是增函數(shù)，則，即．當時，函數(shù)在上單調遞增，最小值為，最大值為，解得，，與矛盾；當時，函數(shù)在上單調遞減，最小值為，最大值為，解得，．所以．
【易錯點】本題容易忽視了對參數(shù)的討論，以為而致誤．
【練一練】函數(shù)f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上單調遞增，則a的取值范圍是________.
【答案】(－∞，1] (3，＋∞)
【解析】由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3為增函數(shù)，∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)＝logau必為增函數(shù)，因此a＞1.又y＝ax－3在[1，3]上恒為正，∴a－3＞0，即a＞3，a的取值范圍是(3，＋∞).
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