(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學一輪復習 專題9 平面解析幾何 第71練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(含解析).docx
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第71練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [基礎(chǔ)保分練] 1.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點為F(1,0). (1)求橢圓E的標準方程; (2)設點O為坐標原點,過點F作直線l與橢圓E交于M,N兩點,若OM⊥ON,求直線l的方程. 2.已知圓O:x2+y2=1過橢圓C:+=1(a>b>0)的短軸端點,P,Q分別是圓O與橢圓C上任意兩點,且線段PQ長度的最大值為3. (1)求橢圓C的方程; (2)過點(0,t)作圓O的一條切線交橢圓C于M,N兩點,求△OMN的面積的最大值. 3.已知橢圓+=1(a>b>0)的上頂點為B,左焦點為F,離心率為. (1)求直線BF的斜率; (2)設直線BF與橢圓交于點P(P異于點B),過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q(Q異于點B),直線PQ與y軸交于點M,|PM|=λ|MQ|.求λ的值. [能力提升練] 4.(2018云南11??鐓^(qū)聯(lián)考)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,點A,B分別為橢圓E的左、右頂點,點C在E上,且△ABC面積的最大值為2. (1)求橢圓E的方程; (2)設F為E的左焦點,點D在直線x=-4上,過F作DF的垂線交橢圓E于M,N兩點.證明:直線OD平分線段MN. 答案精析 1.解 (1)依題意可得 解得a=,b=1, 所以橢圓E的標準方程為+y2=1. (2)設M(x1,y1),N(x2,y2). ①當MN垂直于x軸時,直線l的方程為x=1,不符合題意; ②當MN不垂直于x軸時,設直線l的方程為y=k(x-1). 聯(lián)立得方程組 消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 所以x1+x2=,x1x2 =. 所以y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-. 因為OM⊥ON,所以=0, 所以x1x2+y1y2==0, 所以k=, 即直線l的方程為y=(x-1). 2.解 (1)∵圓O過橢圓C的短軸端點, ∴b=1. 又∵線段PQ長度的最大值為3, ∴a+1=3,即a=2, ∴橢圓C的方程為+x2=1. (2)由題意可設切線MN的方程為y=kx+t,即kx-y+t=0,則=1, 得k2=t2-1.① 聯(lián)立得方程組 消去y整理得 (k2+4)x2+2ktx+t2-4=0. 其中Δ=(2kt)2-4(k2+4)(t2-4) =-16t2+16k2+64=48>0, 設M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=, 則|MN|=.② 將①代入②得|MN|=, ∴S△OMN=1|MN|=, 而=≤1, 當且僅當|t|=時等號成立, 即t=. 綜上可知,(S△OMN)max=1. 3.解 (1)設F(-c,0).由已知離心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c, 又因為B(0,b),F(xiàn)(-c,0), 故直線BF的斜率k===2. (2)設點P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). 由(1)可得橢圓的方程為+=1,直線BF的方程為y=2x+2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-. 因為BQ⊥BP,所以直線BQ的方程為 y=-x+2c, 與橢圓方程聯(lián)立,消去y, 整理得21x2-40cx=0,解得xQ=. 又因為λ=及xM=0, 可得λ===. 4.(1)解 由題意得 解得 故橢圓E的方程為+=1. (2)證明 設M(x1,y1),N(x2,y2), D(-4,n), 線段MN的中點P(x0,y0), 則2x0=x1+x2,2y0=y(tǒng)1+y2, 由(1)可得F(-1,0), 則直線DF的斜率為kDF==-, 當n=0時,直線MN的斜率不存在, 根據(jù)橢圓的對稱性可知OD平分線段MN. 當n≠0時,直線MN的斜率kMN==. ∵點M,N在橢圓E上, ∴ 整理得,+ =0, 又2x0=x1+x2,2y0=y(tǒng)1+y2, ∴=-, 直線OP的斜率為kOP=-, ∵直線OD的斜率為kOD=-,∴直線OD平分線段MN.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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