2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第8講 曲線與方程講義 理（含解析）.doc

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第8講曲線與方程考綱解讀1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能用解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題(重點(diǎn))2.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程，并掌握求曲線方程的兩種常見(jiàn)題型：根據(jù)曲線確定方程，可用待定系數(shù)法；求軌跡方程，可用直接法、定義法、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)、參數(shù)法(難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)命題熱點(diǎn)預(yù)測(cè)2020年高考將會(huì)有以下兩種命題方式：用定義法求曲線的方程；由已知條件直接求曲線的方程題型為解答題中的一問(wèn)，試題難度中等偏上考查知識(shí)點(diǎn)多，能力要求較高，尤其是運(yùn)算變形能力解題時(shí)注意函數(shù)與方程思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.求曲線方程的基本步驟1概念辨析(1)f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線()(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2y2.()(4)方程y與xy2表示同一曲線()答案(1)(2)(3)(4) 2小題熱身(1)已知點(diǎn)A(2,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足x26，則點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案D解析(2x，y)，(3x，y)，則(2x)(3x)(y)2x26，化簡(jiǎn)得y2x，軌跡為拋物線(2)方程x所表示的曲線是()A雙曲線的一部分 B橢圓的一部分C圓的一部分 D直線的一部分答案B解析x 兩邊平方，可變?yōu)閤24y21(x0)，表示的曲線為橢圓的一部分(3)已知點(diǎn)P是直線2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.(4)已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_答案x2y24(y0)解析由題意得點(diǎn)P的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除去M，N兩點(diǎn))，其圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r|MN|2，所以點(diǎn)P的軌跡方程是x2y24(y0)題型 定義法求軌跡方程1過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y30相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()Ax212y By212xCy212x Dx212y答案A解析由題意得動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F(0,3)和直線y3的距離相等，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以F(0,3)為焦點(diǎn)，直線y3為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x212y.2如圖所示，已知點(diǎn)C為圓(x)2y24的圓心，點(diǎn)A(，0)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在的直線上，且0，2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解由(x)2y24知圓心C(，0)，半徑r2.0，2，MQAP，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，因此QM垂直平分線段AP.如圖，連接AQ，則|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2.又|AC|22，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線由c，a1，得b21，由此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2y21.條件探究若將舉例說(shuō)明2中的條件“圓C的方程(x)2y24”改為“圓C的方程(x)2y216”，其他條件不變，求點(diǎn)Q的軌跡方程解由(x)2y216知圓心C(，0)，半徑r4.0，2，QM垂直平分AP，連接AQ，則|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|r4.根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓由c，a2，得b.因此點(diǎn)Q的軌跡方程為1.定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點(diǎn)(1)求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類(lèi)型，再寫(xiě)出其方程，見(jiàn)舉例說(shuō)明1,2.(2)理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵(3)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制見(jiàn)鞏固遷移 ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_答案1(x3)解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)題型 直接法求軌跡方程1(2018豫北名校聯(lián)考)已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)答案(x10)2y236(y0)解析設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又|CD|3，229，即(x10)2y236，由于A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)A不能落在x軸上，即y0，點(diǎn)A的軌跡方程為(x10)2y236(y0)2已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P所引的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程解(1)由題意，得c，e，因此a3，b2a2c24，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)若兩切線的斜率均存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程是yk(xx0)y0，則由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切線的斜率分別為k1，k2，于是有k1k21，即1，即xy13(x03)若兩切線中有一條斜率不存在，則易得或或或經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足xy13.因此，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)的軌跡方程是x2y213.(1)若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)列式化簡(jiǎn)檢驗(yàn)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)要注意檢驗(yàn)，即除去多余的點(diǎn)，補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)如舉例說(shuō)明1.(2)若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說(shuō)明軌跡是什么圖形 1(2018銀川模擬)設(shè)點(diǎn)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點(diǎn)的軌跡方程為()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)，連接MA，則MAPA，且|MA|1.又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.故選D.2已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程解如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，知|O1A|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過(guò)O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，|O1M|.又|O1A|，化簡(jiǎn)得y28x(x0)又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y28x.題型 相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程1動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2x21上移動(dòng)，若P與點(diǎn)Q(0，1)連線的中點(diǎn)為M，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為()Ay2x2 By4x2Cy6x2 Dy8x2答案B解析設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，因?yàn)镻與點(diǎn)Q(0，1)連線的中點(diǎn)為M，所以x02x，y02y1，又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y2x21上移動(dòng)，所以2y12(2x)21，即y4x2.故選B.2如圖，已知P是橢圓y21上一點(diǎn)，PMx軸于M.若.(1)求N點(diǎn)的軌跡方程；(2)當(dāng)N點(diǎn)的軌跡為圓時(shí)，求的值解(1)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，N(x，y)，則M的坐標(biāo)為(x1,0)，且xx1，(xx1，yy1)(0，yy1)，(x1x，y)(0，y)，由得(0，yy1)(0，y)yy1y，即y1(1)y.P(x1，y1)在橢圓y21上，則y1，(1)2y21，故(1)2y21即為所求的N點(diǎn)的軌跡方程(2)要使點(diǎn)N的軌跡為圓，則(1)2，解得或.所以當(dāng)或時(shí)，N點(diǎn)的軌跡是圓代入法求軌跡方程的四步驟 設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程解設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y24x.