中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 七上 第3章《整式的加減》（3）探索規(guī)律 北師大版.doc

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北師版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第3章《整式的加減》（3） 探索規(guī)律 考點(diǎn)一：數(shù)字的規(guī)律 1．（xx?梧州）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：2，3，10，15，26，35，…，按此規(guī)律排列下去，則這列數(shù)中的第100個(gè)數(shù)是（　　） A．9999 B．10000 C．10001 D．10002 【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，第奇數(shù)是序數(shù)的平方加1，第偶數(shù)是序數(shù)的平方減1，據(jù)此規(guī)律得到正確答案即可． 【解答】解：∵第奇數(shù)個(gè)數(shù)2=12+1，10=32+1，26=52+1，…， 第偶數(shù)個(gè)數(shù)3=22﹣1，15=42﹣1，25=62﹣1，…， ∴第100個(gè)數(shù)是1002﹣1=9999，故選：A．　 2．（xx?咸寧）按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，如數(shù)列：，，，，…，則這個(gè)數(shù)列前xx個(gè)數(shù)的和為　 ?。? 【分析】根據(jù)數(shù)列得出第n個(gè)數(shù)為，據(jù)此可得前xx個(gè)數(shù)的和為++++…+，再用裂項(xiàng)求和計(jì)算可得． 【解答】解：由數(shù)列知第n個(gè)數(shù)為， 則前xx個(gè)數(shù)的和為++++…+ =1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣ =1﹣=， 故答案為：． 　 3．（xx?期末）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：，，，…那么第8個(gè)數(shù)是 ． 【分析】第n個(gè)數(shù)的分子為﹣（﹣2）n、分母為2n+1，代入n=8即可得出結(jié)論． 【解答】解：觀察分子規(guī)律：2，﹣4，8，﹣16，…，﹣（﹣2）n； 分母規(guī)律：3，5，7，9，…，2n+1． ∴第8個(gè)數(shù)是=﹣． 故答案為：﹣． 　 4．（xx?期末）一組按規(guī)律排列的數(shù)：，請(qǐng)你推斷第n個(gè)數(shù)是 ． 【分析】由分子1=10+1，3=12+1，7=23+1，13=34…得出第n個(gè)數(shù)的分子為n（n﹣1），分母是從2開始連續(xù)自然數(shù)的平方，第n個(gè)數(shù)的分母為（n+1）2，再根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)，由此規(guī)律即可解決問(wèn)題． 【解答】解：由分子1=10+1，3=12+1，7=23+1，13=34…，得出第n個(gè)數(shù)的分子為n（n﹣1），分母是從2開始連續(xù)自然數(shù)的平方，第n個(gè)數(shù)的分母為（n+1）2，再根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)，所以第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n+1?．故答案為（﹣1）n+1?． 　 考點(diǎn)二：數(shù)式的規(guī)律 5．（xx?模擬）觀察下列等式： 第一個(gè)等式是1+2=3，第二個(gè)等式是2+3=5， 第三個(gè)等式是4+5=9，第四個(gè)等式是8+9=17， …猜想：第n個(gè)等式是 ． 【分析】第一個(gè)等式是20+（20+1）=21+1，第二個(gè)等式是21+（21+1）=22+1，第三個(gè)等式是22+（22+1）=23+1，第四個(gè)等式是23+（23+1）=24+1，第n個(gè)等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1． 【解答】解：第n個(gè)等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1． 　 6．（xx?期末）根據(jù)下列各式的規(guī)律，在橫線處填空： 【分析】根據(jù)給定等式的變化，可找出變化規(guī)律“（n為正整數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵xx=21009，∴． 故答案為：． 　 7．（xx?模擬）觀察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，則1+3+5+7+…+2019= ． 【分析】通過(guò)觀察題中給定的等式發(fā)現(xiàn)存在1+3+5+…+2n﹣1=n2的規(guī)律，令2019=2n﹣1，即可求得結(jié)論． 【解答】解：觀察1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42， 可知，1+3+5+…+2n﹣1=n2， ∴2019=2n﹣1，∴n=（2019+1）2=1010， 故答案為：10102． 　 8．（xx?安徽）觀察以下等式： 第1個(gè)等式：++=1， 第2個(gè)等式：++=1， 第3個(gè)等式：++=1， 第4個(gè)等式：++=1， 第5個(gè)等式：++=1， …… 按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題： （1）寫出第6個(gè)等式：　　 ； （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示）． 【分析】以序號(hào)n為前提，依此觀察每個(gè)分?jǐn)?shù)，可以用發(fā)現(xiàn)，每個(gè)分母在n的基礎(chǔ)上依次加1，每個(gè)分子分別是1和n﹣1 【解答】解：（1）根據(jù)已知規(guī)律，第6個(gè)分式分母為6和7，分子分別為1和5 故應(yīng)填：++=1 （2）根據(jù)題意，第n個(gè)分式分母為n和n+1，分子分別為1和n﹣1 故應(yīng)填：++=1 考點(diǎn)三：數(shù)陣的規(guī)律 9．（xx?綿陽(yáng)）將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … 按照以上排列的規(guī)律，第25行第20個(gè)數(shù)是（　?。? A．639 B．637 C．635 D．633 【分析】由三角形數(shù)陣，知第n行的前面共有1+2+3+…+（n﹣1）個(gè)連續(xù)奇數(shù)，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，再由奇數(shù)的特點(diǎn)求出第n行從左向右的第m個(gè)數(shù)，代入可得答案． 【解答】解：根據(jù)三角形數(shù)陣可知，第n行奇數(shù)的個(gè)數(shù)為n個(gè)， 則前n﹣1行奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為1+2+3+…+（n﹣1）=個(gè)， 則第n行（n≥3）從左向右的第m個(gè)數(shù)為第+m個(gè)奇數(shù)， 即：1+2[+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1 n=25，m=20時(shí)，這個(gè)數(shù)為639，故選：A． 　 10．（xx?宜昌）1261年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用圖中的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年，我們把這個(gè)三角形稱為“楊輝三角”，請(qǐng)觀察圖中的數(shù)字排列規(guī)律，則a，b，c的值分別為（　　） A．a(chǎn)=1，b=6，c=15 B．a(chǎn)=6，b=15，c=20 C．a(chǎn)=15，b=20，c=15 D．a(chǎn)=20，b=15，c=6 【分析】根據(jù)圖形中數(shù)字規(guī)模：每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和，可得a、b、c的值． 【解答】解：根據(jù)圖形得：每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，故選：B． 　 11．（xx?模擬）觀察圖中的“品”字形中個(gè)數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為（　?。? A．75 B．89 C．103 D．139 【分析】由1、3、5、…為連續(xù)的奇數(shù)可知，11所在“品”字形為第6個(gè)圖形，由左下的數(shù)字為2、4、8、…可得出b=26=64，再由右下數(shù)字為上面數(shù)字加左下數(shù)字，即可求出a值． 【解答】解：∵“品”字形中上面的數(shù)字為連續(xù)的奇數(shù)，左下的數(shù)字為2、4、8、…， ∴11所在“品”字形為第6個(gè)圖形，∴b=26=64． 又∵1+2=3，3+4=7，5+8=13，…，∴a=11+b=75． 故選：A． 12．（xx?淄博）將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第3行、第4列的數(shù)是12，則位于第45行、第8列的數(shù)是 ． 【分析】觀察圖表可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2，可得第45行第一個(gè)數(shù)是2025，推出第45行、第8列的數(shù)是2025﹣7=xx； 【解答】解：觀察圖表可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2，∴第45行第一個(gè)數(shù)是2025， ∴第45行、第8列的數(shù)是2025﹣7=xx，故答案為xx． 13.（xx?桂林）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按圖規(guī)律排列：規(guī)定位于第m行，第n列的自然數(shù)10記為（3，2），自然數(shù)15記為（4，2）…按此規(guī)律，自然數(shù)xx記為 . 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第n行 … … … … 【分析】根據(jù)表格可知，每一行有4個(gè)數(shù)，其中奇數(shù)行的數(shù)字從左往右是由小到大排列；偶數(shù)行的數(shù)字從左往右是由大到小排列．用xx除以4，根據(jù)除數(shù)與余數(shù)確定xx所在的行數(shù)，以及是此行的第幾個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解即可． 【解答】解：由題意可得，每一行有4個(gè)數(shù)，其中奇數(shù)行的數(shù)字從左往右是由小到大排列；偶數(shù)行的數(shù)字從左往右是由大到小排列． ∵xx4=504…2，504+1=505，∴xx在第505行， ∵奇數(shù)行的數(shù)字從左往右是由小到大排列，∴自然數(shù)xx記為（505，2）． 故答案為（505，2）． 14.（xx?棗莊）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列： 第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 9 8 7 6 5 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 … 則xx在第 行． 【分析】通過(guò)觀察可得第n行最大一個(gè)數(shù)為n2，由此估算xx所在的行數(shù)，進(jìn)一步推算得出答案即可． 【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴xx在第45行．故答案為：45． 考點(diǎn)三：圖形的規(guī)律 15．（xx?重慶）把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4個(gè)三角形，第②個(gè)圖案中有6個(gè)三角形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為（　?。? A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】根據(jù)第①個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)4=2+21，第②個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)6=2+22，第③個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)8=2+23可得第④個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為2+27． 【解答】解：∵第①個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)4=2+21，第②個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)6=2+22， 第③個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)8=2+23，……，∴第⑦個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為2+27=16， 故選：C． 　 16．（xx?重慶）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去第⑥個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為（　　） A．11 B．13 C．15 D．17 【分析】仔細(xì)觀察圖形知道第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5=3+21個(gè)，第三個(gè)圖形有7=3+22個(gè)，由此得到規(guī)律求得第⑥個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)即可． 【解答】解：觀察圖形知：第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5=3+21個(gè)， 第三個(gè)圖形有7=3+22個(gè)，…，故第⑥個(gè)圖形有3+25=13（個(gè)）， 故選：B． 　 17．（xx?濟(jì)寧）如圖，小正方形是按一定規(guī)律擺放的，下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片，適合填補(bǔ)圖中空白處的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)題意知原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10，據(jù)此可得． 【解答】解：由題意知，原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10，符合此要求的只有 故選：C． 　 18．（xx?煙臺(tái)）如圖所示，下列圖形都是由相同的玫瑰花按照一定的規(guī)律擺成的，按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖形中有120朵玫瑰花，則n的值為（　?。? A．28 B．29 C．30 D．31 【分析】根據(jù)題目中的圖形變化規(guī)律，可以求得第個(gè)圖形中玫瑰花的數(shù)量，然后令玫瑰花的數(shù)量為120，即可求得相應(yīng)的n的值，從而可以解答本題． 【解答】解：由圖可得，第n個(gè)圖形有玫瑰花：4n，令4n=120，得n=30， 故選：C． 19．（xx?自貢）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第xx個(gè)圖形共有 個(gè)○． 【分析】每個(gè)圖形的最下面一排都是1，另外三面隨著圖形的增加，每面的個(gè)數(shù)也增加，據(jù)此可得出規(guī)律，則可求得答案． 【解答】解：觀察圖形可知： 第1個(gè)圖形共有：1+13，第2個(gè)圖形共有：1+23， 第3個(gè)圖形共有：1+33，…， 第n個(gè)圖形共有：1+3n， ∴第xx個(gè)圖形共有1+3xx=6055， 故答案為：6055． 　 20．（xx?寧夏）如圖是各大小型號(hào)的紙張長(zhǎng)寬關(guān)系裁剪對(duì)比圖，可以看出紙張大小的變化規(guī)律：A0紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳1紙；A1紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳2紙；A2紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳3紙；A3紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳4紙……A4規(guī)格的紙是我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｒ?jiàn)的，那么有一張A4的紙可以裁　16　張A8的紙． 【分析】根據(jù)題意可以得到一張A4的紙可以裁2張A5的紙，以此類推，得到答案． 【解答】解：由題意得，一張A4的紙可以裁2張A5的紙，一張A5的紙可以裁2張A6的紙，一張A6的紙可以裁2張A7的紙，一張A7的紙可以裁2張A8的紙，∴一張A4的紙可以裁24=16張A8的紙，故答案為：16． 　 21．（xx?遵義）每一層三角形的個(gè)數(shù)與層數(shù)的關(guān)系如圖所示，則第xx層的三角形個(gè)數(shù)為 ． 【分析】根據(jù)題意和圖形可以發(fā)現(xiàn)隨著層數(shù)的變化三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，從而可以解答本題． 【解答】解：由圖可得， 第1層三角形的個(gè)數(shù)為：1， 第2層三角形的個(gè)數(shù)為：3， 第3層三角形的個(gè)數(shù)為：5， 第4層三角形的個(gè)數(shù)為：7， 第5層三角形的個(gè)數(shù)為：9， …… 第n層的三角形的個(gè)數(shù)為：2n﹣1， ∴當(dāng)n=xx時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：2xx﹣1=4035， 故答案為：4035． 　 22．（xx?赤峰）觀察下列一組由★排列的“星陣”，按圖中規(guī)律，第n個(gè)“星陣”中的★的個(gè)數(shù)是 ． 【分析】排列組成的圖形都是三角形．第一個(gè)圖形中有2+12=4個(gè)★，第二個(gè)圖形中有2+23=8個(gè)★，第三個(gè)圖形中有2+34=14個(gè)★，…，繼而可求出第n個(gè)圖形中★的個(gè)數(shù)． 【解答】解：∵第一個(gè)圖形有2+12=4個(gè)，第二個(gè)圖形有2+23=8個(gè)， 第三個(gè)圖形有2+34=14個(gè)，第四個(gè)圖形有2+45=22個(gè)，… ∴第n個(gè)圖形共有：2+n（n+1）=n2+n+2． 故答案為：n2+n+2． 24．（xx?黔西南州）“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法． 例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)？ 我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是61=6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是62=12個(gè)：圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是63=18個(gè)；……；所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是 、 ． 請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊，再完成以下問(wèn)題： （1）第5個(gè)點(diǎn)陣中有 個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有 個(gè)圓圈． （2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣． 【分析】根據(jù)規(guī)律求得圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是610=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)； （1）第2個(gè)圖中2為一塊，分為3塊，余1，第2個(gè)圖中3為一塊，分為6塊，余1； 按此規(guī)律得：第5個(gè)點(diǎn)陣中5為一塊，分為12塊，余1，得第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1， （2）代入271，列方程，方程有解則存在這樣的點(diǎn)陣． 【解答】解：圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是610=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)，故答案為：60個(gè)，6n個(gè)； （1）如圖所示：第1個(gè)點(diǎn)陣中有：1個(gè)， 第2個(gè)點(diǎn)陣中有：23+1=7個(gè)， 第3個(gè)點(diǎn)陣中有：36+1=17個(gè)， 第4個(gè)點(diǎn)陣中有：49+1=37個(gè)， 第5個(gè)點(diǎn)陣中有：512+1=60個(gè)，… 第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1， 故答案為：60，3n2﹣3n+1； （2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0， （n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍）， ∴小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣． 25．（xx?模擬）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放： （1）第5個(gè)圖形有多少顆黑色棋子？ （2）第幾個(gè)圖形有2 018顆黑色棋子？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出式子，即可求解（1）與（2）． 【解答】解：（1）圖①有2個(gè)棋子，2=212=2，圖②有8個(gè)棋子，8=222，圖③有18個(gè)棋子，18=232，252=50，∴第五個(gè)圖形有50個(gè)黑色棋子； （2）設(shè)第n個(gè)圖形有xx個(gè)黑色棋子，得：2n2=xx，此方程無(wú)整數(shù)解， ∴沒(méi)有哪個(gè)圖形有xx顆黑色棋子．