概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章.ppt

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1,目前，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、金融、管理科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，需要應(yīng)用隨機(jī)數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域中的許多問題及大量數(shù)據(jù)建模、分析和進(jìn)行推斷，為此，必須掌握隨機(jī)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。,應(yīng)用,理論基礎(chǔ),2,概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，從近代博弈論逐步發(fā)展起來；數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為工具研究統(tǒng)計(jì)資料的收集、整理，并依據(jù)收集現(xiàn)象的規(guī)律性作出科學(xué)的分析和推斷。,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性為研究對(duì)象，其最終目的在于用隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性指導(dǎo)我們的實(shí)踐。,3,1.1隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,一、隨機(jī)現(xiàn)象與決定性現(xiàn)象,定義：在試驗(yàn)或觀測(cè)之前，不能確切知道哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生，稱此現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象。相反，在一定條件下能夠明確預(yù)知其結(jié)果，稱此現(xiàn)象為決定性現(xiàn)象。,4,(4)火箭速度超過第一宇宙速度就會(huì)擺脫地球引力而飛出地球。,(2)從93個(gè)產(chǎn)品（其中90正3次）中抽取一個(gè)產(chǎn)品；,例1：判斷下列現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象還是決定性現(xiàn)象？,(1)扔一枚分幣；,(3)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下將水加熱至100℃必沸騰；,5,二、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間,定義：概率論中將對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察或?yàn)橛^察隨機(jī)現(xiàn)象而進(jìn)行的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，它應(yīng)具備以下三個(gè)特征：,⑴每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且事先明確知道試驗(yàn)的所有可能性結(jié)果。,⑵進(jìn)行試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生。,⑶試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行。,隨機(jī)試驗(yàn)簡稱試驗(yàn)，用英文字母E表示。,6,定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)基本結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，記為；樣本點(diǎn)的全體組成的集合稱為樣本空間，記為。,例2：求下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)將一枚硬幣連擲兩次；,(3)某人向一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至命中目標(biāo)，觀察其射擊的次數(shù)。,(2)擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；,7,三、隨機(jī)事件,定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中可能會(huì)發(fā)生和可能不會(huì)發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，用大寫英文字母A,B,C,Ai…等表示。,,⑴事件是樣本點(diǎn)的集合，它是樣本空間的子集。⑵樣本空間～必然事件。⑶不包含任何樣本點(diǎn)的空集～不可能事件。,8,四、頻率的穩(wěn)定性,定義：對(duì)于隨機(jī)事件A，若在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)了次，則稱,為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。,例3：擲一枚硬幣，A＝“正面向上”，幾位數(shù)學(xué)家的試驗(yàn)結(jié)果如下：,9,,Fn(A)穩(wěn)定在0.5附近擺動(dòng)，但不是普通的極限意義。,10,五、概率的統(tǒng)計(jì)意義,定義：隨機(jī)試驗(yàn)E中的事件A，在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率為Fn(A)，當(dāng)n很大時(shí)，F(xiàn)n(A)穩(wěn)定地在某一數(shù)值p的附近擺動(dòng)，且隨著n的增大，擺動(dòng)幅度會(huì)減小，則稱p為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為,11,1.2隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算,一、關(guān)系,1、包含(子事件)：,事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，稱A是B的子事件，記為AB。,若AB且AB，則稱事件A與事件B等價(jià)，記為A＝B。,,12,2、交事件：,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記為A∩B或AB。,n個(gè)事件的交事件指A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生：,3、并事件：,事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生，記為A∪B。,n個(gè)事件的并事件指A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生：,13,4、差事件：,事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，記為。,5、互不相容或互斥：,事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，記。,當(dāng)事件A、B互斥時(shí)，記A∪B＝A＋B。,6、對(duì)立事件：,對(duì)于事件A，稱“事件A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事件，記為。,14,⑴A（）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)（A）不發(fā)生；⑵若兩個(gè)事件A、B滿足①②稱A、B對(duì)立或稱A、B互逆。,于是有,15,二、運(yùn)算規(guī)律,1、交換律：,2、結(jié)合律：,3、分配律：,16,4、德摩根(DeMorgen)律：,⑴此律又稱對(duì)偶律；,⑵對(duì)于n個(gè)事件，甚至無限可列個(gè)事件，此律亦成立。,17,例1：圓柱形產(chǎn)品，直徑、長度都要合格，產(chǎn)品才算合格。規(guī)定A＝“長度合格”；B＝“直徑合格”；C＝“產(chǎn)品合格”，描述A，B，C之間的關(guān)系。,例2：A1＝“2個(gè)樣品中有一個(gè)次品”；A2＝“2個(gè)樣品全是次品”；B＝“2個(gè)樣品中至少有一個(gè)次品”,求。,18,例3：p.11，第3題。,例4：擲骰子，A=“擲出奇數(shù)點(diǎn)”；B=“點(diǎn)數(shù)不超過3”；C=“點(diǎn)數(shù)大于2”；D=“擲出5點(diǎn)”。求A∪B；B∪C；AB；BD；；；A－B；B－A。,19,例5：某人連續(xù)三次購買體育彩票，每次一張，令A(yù)、B、C分別表示其第一、二、三次所買的彩票中獎(jiǎng)事件，試用A、B、C表示下列事件：(1)第三次未中獎(jiǎng)；(2)只有第三次中了獎(jiǎng)；(3)恰有一次中獎(jiǎng)；(4)至少有一次中獎(jiǎng)；(5)不止一次中獎(jiǎng)；(6)至多中獎(jiǎng)兩次。,20,,1.3概率的古典意義,一、古典概型,1、定義：具有下述兩個(gè)特征的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：,⑴試驗(yàn)E的樣本空間是有限的，即,⑵每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性即發(fā)生的概率相同。,21,設(shè)為古典概型，事件A發(fā)生的概率定義為,概率的古典定義,22,2、概率的基本性質(zhì),定理1.1：,⑴非負(fù)性：對(duì)任一事件A，有0≤P(A)≤1。,⑵規(guī)范性：,⑶有限可加性：若事件A,B互斥，則,進(jìn)一步，如果A1,A2,…,Am是兩兩互斥的事件，則,⑴⑵⑶為基本性質(zhì),23,⑷,⑸加法公式：,⑹,若，則,24,二、古典概型的計(jì)算,1、復(fù)習(xí)排列組合,⑴兩個(gè)基本原理,①乘法原理進(jìn)行A過程有n種方法，B過程有m種方法，則進(jìn)行AB過程有mn種方法。,②加法原理進(jìn)行A過程有n種方法，B過程有m種方法，則進(jìn)行A∪B過程有m+n種方法。,25,⑵排列：從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素進(jìn)行有順序地放置。,①有放回選取，從n個(gè)元素中有放回選取r個(gè)元素，共有nr種方法。,②無放回選取，從n個(gè)元素中無放回選取r個(gè)元素(r≤n)，共有種方法。,26,⑶組合：從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素，不必考慮r個(gè)元素的前后順序。設(shè)其結(jié)果為或。,組合的計(jì)算是通過考慮一個(gè)組合可以產(chǎn)生多少個(gè)排列而得到結(jié)果。,27,例1：某鐵路線上共有20個(gè)車站，要為這條鐵路線準(zhǔn)備多少種車票？,例2：30個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，要進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？,例3：袋中有5紅2白7個(gè)球，有放回地每次從袋中摸一球，共摸三次，問兩次摸紅球、一次摸白球的試驗(yàn)結(jié)果有幾個(gè)？,28,2、具體例子,⑴設(shè)有20個(gè)某種零件，其中16個(gè)為一級(jí)品，4個(gè)為二級(jí)品，現(xiàn)從中任取三個(gè)，求：①只有一個(gè)一級(jí)品的概率；②至少有一個(gè)一級(jí)品的概率。,⑵從0、1、2、3這4個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)進(jìn)行排列，求“取得的3個(gè)數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)”的概率。,29,⑶一口袋中有5紅2白7個(gè)球，從袋中任取一球，有放回地取2次，求：①均取紅球的概率；②第一次取紅球，第二次取白球的概率；③取得一紅一白的概率。,⑷設(shè)事件A、B的概率分別為和，求下列三種情況下的值：①A與B互斥；②；③。,30,⑸在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙A、B、C，該城市的居民中，訂購A的占45％；訂購B的占35％；訂購C的占30％；同時(shí)訂購A、B的占10％；同時(shí)訂購A、C的占8％；同時(shí)訂購B、C的占5％；同時(shí)訂購A、B、C的占3％。試求下列百分率：①只訂購A的；②正好訂購兩種報(bào)紙；③至少訂購一種報(bào)紙；④不訂購任何報(bào)紙。,31,1.4概率的公理化意義,一、幾何概率,引例：在一個(gè)均勻陀螺的圓周上均勻地刻上[0,3)上的諸數(shù)字，旋轉(zhuǎn)陀螺至其停止，問B＝“圓周的接觸點(diǎn)位于區(qū)間[1,2)上”的概率為多少？,解：由于刻度均勻，圓周上各刻度與桌面接觸是等可能的，因此所求概率應(yīng)與區(qū)間的長度成正比。又概率應(yīng)在0~1之間，故如下定義是合理的：,32,定義：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為某可度量的區(qū)域Ω，且Ω中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)，則稱該試驗(yàn)E為幾何概型的。如果A是Ω中的任一區(qū)域，且A可以度量，則定義A的概率為,Ω可以為一維(長度)；二維(面積)；三維(體積)。稱這樣定義的概率為幾何概率。,33,例1：甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。如果甲船停泊時(shí)間為1小時(shí)，乙船停泊時(shí)間為2小時(shí)，求它們?nèi)我凰叶疾恍枰却a頭空出的概率。,例2：把長度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。,34,幾何概率的基本性質(zhì),⑴對(duì)任一事件A，有0≤P(A)≤1。,⑵。,⑶若A1,A2,…,Am是兩兩互不相容的事件，則,⑴⑵⑶為基本性質(zhì),進(jìn)一步，m→∞，有限可加性→可列可加性。,幾何概率同樣滿足古典概型的⑷～⑹性質(zhì)。,35,二、概率的公理化定義,本書所提及的概率全為公理化定義的概率。古典概率和幾何概型均強(qiáng)調(diào)等可能性，存在很大的局限性。由⑴、⑵、⑶基本性質(zhì)可歸納出概率的公理化定義。概率的公理化定義,36,定義：設(shè)Ω為基本事件空間，對(duì)于任一事件A，定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，它滿足如下三條公理：,⑴0≤P(A)≤1；,⑵P(Ω)=1；,⑶對(duì)于兩兩互不相容的事件Ai,i＝1,2,…有,則稱P(A)為事件A的概率。,37,性質(zhì)：,⑴,⑵若A1,A2,…,Am兩兩互不相容，則,⑶若，則P(A)≤P(B)，P(B－A)=P(B)－P(A)。,⑷任意兩事件A,B，,38,例3：甲袋中有2紅1白3個(gè)球，乙袋中有1紅2白3個(gè)球，從甲袋中任取一球放入乙袋,再從乙袋中任取一球放入甲袋，求試驗(yàn)后甲袋中球的成分不變的概率。,例4：口袋中有紅、黃、白三個(gè)球，有放回地每次抽一個(gè)球，共抽三次。求：L＝“三個(gè)球中無紅或無黃情形”的概率。,39,1.5條件概率與事件獨(dú)立性,一、條件概率與乘法公式,引例：兩臺(tái)機(jī)床加工同一零件，基本情況如下：,現(xiàn)從100只產(chǎn)品中任取一個(gè)，A＝“取到第一臺(tái)的產(chǎn)品”，B＝“取到正品”，求：,40,(1)P(B)；(2)如果已知取到的是第一臺(tái)車床的產(chǎn)品，即已知A發(fā)生，問B發(fā)生即取到正品的概率為多少？,解：⑴,⑵如果已知取到的是第一臺(tái)車床的產(chǎn)品，即已知A發(fā)生，問B發(fā)生即取到正品的概率為,定義：在事件A發(fā)生的條件下(已知P(A)>0)，事件B發(fā)生的概率稱為條件概率，記為。,41,乘法公式（乘法定理）：,若P(A)>0，則，即,同理，若P(B)>0，則。,對(duì)稱性,,,若P(A1A2…An-1)>0，則,42,例1：袋中有10個(gè)白球與90個(gè)黑球，現(xiàn)從中無放回地接連取3個(gè)球，求3個(gè)都是白球的概率。,例2：設(shè)某種動(dòng)物從出生算起活20歲以上的概率為0.8，活25歲以上的概率為0.4，如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的動(dòng)物，問它能活到25歲以上的概率為多少？,例3：拋一枚均勻分幣2次，設(shè)Ai={第i次正面向上}，i=1,2。求,。,,,43,例4：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)品牌的外型完全一樣的電池17只，甲牌有6只正品2只次品，乙牌有5只正品4只次品，從17只電池中任意取出1只，并設(shè)A＝“取到甲牌”，B＝“取到正品”，求，，，。,,44,1.5條件概率與事件獨(dú)立性（續(xù)）,一、條件概率與乘法公式,若P(B)>0，則,二、全概率公式與貝葉斯公式,1、樣本空間的劃分,設(shè)Ω為樣本空間，事件A1,A2,…,An滿足,⑴A1,A2,…,An兩兩互不相容，即,⑵,則稱A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分。,45,2、全概率公式,設(shè)A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則對(duì)任一事件B，有,全概率公式,證明：,因?yàn)锳1,A2,…,An兩兩互不相容，所以,46,例1：某項(xiàng)考試須由考生抽簽答題。已知10只考簽中有3只難簽，被考生抽到的考簽不再放回，現(xiàn)有甲、乙兩人先后應(yīng)考，求甲、乙各自抽到難簽的概率。,例2：設(shè)有一箱同類型的產(chǎn)品由三家工廠所生產(chǎn)，已知其中有50％的產(chǎn)品是第一家工廠所生產(chǎn)的，其它二廠各生產(chǎn)25％。又知第一、第二兩廠生產(chǎn)的有2％是次品；第三家工廠生產(chǎn)的有4％是次品?，F(xiàn)從箱中任取一個(gè)產(chǎn)品，問拿到的是次品的概率為多少？,47,3、貝葉斯（Bayes）公式,設(shè)A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，P(Ai)>0(i=1,2,…,n)且P(B)>0則有,貝葉斯公式,證明：因?yàn)?故由,以及,即得。,48,例3：發(fā)電報(bào)，A＝“發(fā)”，P(A)=0.6，＝“發(fā)－”，。“發(fā)收”的概率為0.8；“發(fā)但收－”的概率為0.2；“發(fā)－但收”的概率為0.1；“發(fā)－收－”的概率為0.9。(1)令B＝“收到”，求P(B)；(2)現(xiàn)在收到，問“真是發(fā)”的概率。,49,三、事件獨(dú)立性,1、兩個(gè)事件A,B的獨(dú)立性,定義：若事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B)，稱A與B獨(dú)立。,定理：設(shè)A,B為事件且P(A)>0，若A,B相互獨(dú)立，則,⑴P(B|A)=P(B)，即B發(fā)生與A是否發(fā)生無關(guān)，反之亦然；,⑵A與；與B；與亦相互獨(dú)立。,50,2、三個(gè)事件A,B,C的獨(dú)立性,定義：設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)；P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱A,B,C相互獨(dú)立。,證：,,若A,B,C相互獨(dú)立，則一定兩兩獨(dú)立；若A,B,C兩兩獨(dú)立，則A,B,C不一定相互獨(dú)立。,51,3、n個(gè)事件相互獨(dú)立,定義：設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，對(duì)于，任意滿足,2n-n-1個(gè)等式,則稱A1,A2,…,An相互獨(dú)立。,此時(shí)⑴記Bi為Ai或，則B1,B2,…,Bn相互獨(dú)立。,⑵A1,A2,…,An相互獨(dú)立，反之不成立。,⑶,52,例4：甲、乙兩射手獨(dú)立地向目標(biāo)射擊，A＝“甲擊中”，B＝“乙擊中”，C＝“目標(biāo)擊中”，P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，求P(C)。,例5：一個(gè)工人看三臺(tái)布機(jī)，5分鐘內(nèi)第i臺(tái)機(jī)床停車(i=1,2,3)的概率分別為0.4，0.5，0.7。設(shè)Ai=“第i臺(tái)機(jī)床停車”，三臺(tái)布機(jī)停車與否相互獨(dú)立，求5分鐘內(nèi)恰有一臺(tái)停車的概率。,53,4、可靠度,可靠度指元件能正常工作的概率。,設(shè)每個(gè)元件的可靠度為r，n個(gè)元件相互獨(dú)立。,⑴若串聯(lián)：,,,,,,,,,,,,獨(dú)立積rn,⑵若并聯(lián)：,,,,,,,,,,,,,,,,,獨(dú)立和1-(1-r)n,54,例8：已知事件A,B,C,D相互獨(dú)立。A＝“a閉合”，B＝“b閉合”，C＝“c閉合”，D＝“d閉合”。P(A)＝P(B)＝P(C)＝P(D)＝0.5。,例9：某種彩票中獎(jiǎng)面為36％，某君一次購買了10張，求其中獎(jiǎng)的概率。,,求⑴E＝“燈亮”的概率；⑵已知燈亮，求開關(guān)a,b同時(shí)閉合的概率即求P(AB|E)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,b,c,d,