2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第3講 分類討論思想 理.doc

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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第3講 分類討論思想 理1分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法其基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度2分類討論的常見類型(1)由數(shù)學概念引起的分類討論有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論有的數(shù)學定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學運算要求引起的分類討論如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法(6)由實際意義引起的討論此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用3分類討論的原則(1)不重不漏(2)標準要統(tǒng)一，層次要分明(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論4解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對象，即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論(2)對所討論的對象進行合理的分類(3)逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決(4)歸納總結，將各類情況總結歸納.熱點一由數(shù)學概念、性質(zhì)、運算引起的分類討論例1(1)(xx浙江)設函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則實數(shù)a的取值范圍是_(2)在等比數(shù)列an中，已知a3，S3，則a1_.答案(1)a(2)或6解析(1)f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a)2時，得f(a)2，而滿足f(a)2時，得a.(2)當q1時，a1a2a3，S33a1，顯然成立；當q1時，由題意，得所以由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去)當q時，a16.綜上可知，a1或a16.思維升華(1)由數(shù)學概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵與外延，合理進行分類；(2)運算引起的分類討論有很多，如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(a)3，則f(a5)的值為()Alog23 B. C. D1(2)已知數(shù)列an的前n項和Snpn1(p是常數(shù))，則數(shù)列an是()A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D以上都不對答案(1)C(2)D解析(1)分兩種情況分析，或者，無解，由得，a7，所以f(a5)2231，故選C.(2)Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當p1且p0時，an是等比數(shù)列；當p1時，an是等差數(shù)列；當p0時，a11，an0(n2)，此時an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列熱點二由圖形位置或形狀引起的討論例2(1)不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)有_個整點(把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點)(2)設圓錐曲線T的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線T上存在點P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線T的離心率為_答案(1)20(2)或解析(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)結合圖中的可行域可知x，2，y2,5由圖形及不等式組，知當x1時，1y2，有2個整點；當x0時，0y3，有4個整點；當x1時，1y4，有6個整點；當x2時，2y5，有8個整點；所以平面區(qū)域內(nèi)的整點共有246820(個)(2)不妨設|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.所以圓錐曲線T的離心率為或.思維升華求解有關幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需要根據(jù)圖形的特征進行分類討論一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化(1)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù)k等于()A B.C0 D或0(2)設F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點，P為橢圓上一點已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|PF2|，則的值為_答案(1)D(2)2或解析(1)不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線ykx1與直線x0垂直(如圖)或直線ykx1與直線y2x垂直(如圖)時，平面區(qū)域才是直角三角形由圖形可知斜率k的值為0或.(2)若PF2F190，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F2PF190，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2，2.綜上所述，2或.熱點三由參數(shù)引起的分類討論例3(xx四川改編)已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，當x0,1時，g(x)12a，e2a當a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；當a時，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.綜上所述，當a時，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當a1)，所以f(x).當a0時，因為x1，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上單調(diào)遞增當a0時，由得1x1a，故f(x)在(1a，)上單調(diào)遞增綜上，當a0時，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當a1和0a1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論(6)立體幾何：點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論；(7)平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論(8)排列、組合、概率中的分類計數(shù)問題(9)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等真題感悟1(xx課標全國)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC等于()A5 B.C2 D1答案B解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，B或.當B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以AC，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意故AC.2(xx安徽)“a0”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析當a0時，f(x)|(ax1)x|x|在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增；當a0時，結合函數(shù)f(x)|(ax1)x|ax2x|的圖象知函數(shù)在(0，)上先增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示所以，要使函數(shù)f(x)|(ax1)x|在(0，)上單調(diào)遞增只需a0.即“a0”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件3(xx廣東)設集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數(shù)為()A60 B90C120 D130答案D解析在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中，因為xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以滿足條件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情況有“一個1(或1)，四個0，有C2種；兩個1(或1)，三個0，有C2種；一個1，一個1，三個0，有A種；兩個1(或1)，一個1(或1)，兩個0，有CC2種；三個1(或1)，兩個0，有C2種故共有C2C2ACC2C2130(種)，故選D.押題精練1已知函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0，) B2,0)C1,0) D1，)答案C解析若a0，則f(x)在定義域的兩個區(qū)間內(nèi)都是常函數(shù)，不具備單調(diào)性；若a0，函數(shù)f(x)在兩段上都是單調(diào)遞增的，要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只要(a2)e01，即a1，與a0矛盾，此時無解若2a0，則函數(shù)在定義域的兩段上都是單調(diào)遞減的要使函數(shù)在R上單調(diào)遞減，只要a21即a1，即1a0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若OPF為等腰三角形，則這樣的點P的個數(shù)為()A2 B3 C4 D6答案C解析當|PO|PF|時，點P在線段OF的中垂線上，此時，點P的位置有兩個；當|OP|OF|時，點P的位置也有兩個；對|FO|FP|的情形，點P不存在事實上，F(xiàn)(p,0)，若設P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當x0時，不構成三角形當x2p(p0)時，與點P在拋物線上矛盾所以符合要求的點P一共有4個46位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數(shù)為()A1或3 B1或4C2或3 D2或4答案D解析設6位同學分別用a，b，c，d，e，f表示若任意兩位同學之間都進行交換共進行15次交換，現(xiàn)共進行了13次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)由3人構成的2次交換，如ab和ac之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有b，c兩人(2)由4人構成的2次交換，如ab和ce之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有a，b，c，e四人故選D.5已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)設數(shù)列an的公差為d，由已知，得解得故an3(n1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，將上式兩邊同乘q，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.兩式相減，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，則Sn123n.綜上，Sn6已知函數(shù)f(x)(a1)ln xax21，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解由題意知f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax.當a0時，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當a1時，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當1a0；當x時，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a1時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當1a0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減