2019-2020年高考數(shù)學 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導數(shù)問題解題方法.doc

《2019-2020年高考數(shù)學 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導數(shù)問題解題方法.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導數(shù)問題解題方法.doc（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導數(shù)問題解題方法一、陷阱類型1.導數(shù)與不等式證明2.極值點偏移問題3.導函數(shù)為0的替換作用4.導數(shù)與數(shù)列不等式的證明5.變形后求導6.討論參數(shù)求參數(shù)7.與三角函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)的求導問題8.構(gòu)造函數(shù)問題9.恒成立求參數(shù)二、陷阱類型分析及練習1.導數(shù)與不等式證明例1. 已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x（1）討論的單調(diào)性；（2）當a0時，證明（2）由（1）知，當a0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當x（0,1）時， ；當x（1，+）時， .所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x0時，g（x）0.從而當a0時， ，即.【放陷阱措施】利用導數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).練習1設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2.(1)求 (2)證明: 【答案】（I）；（II）詳見解析.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，.由題意可得， .故， .（2）證明：由（1）知， ，從而等價于.設(shè)函數(shù)，則.所以當， ；當時， .故在上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，則.所以當時， ；當時， .故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為.綜上，當時， ，即.2.極值點偏移問題例2. 函數(shù) .（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，證明： .【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析： (2)由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知： 是方程的兩根，結(jié)合所給的不等式構(gòu)造對稱差函數(shù) ，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍即可證得題中的不等式.試題解析：函數(shù)的定義域為，（1）令，開口向上， 為對稱軸的拋物線，當時，即時， ，即在上恒成立，當時，由，得，因為，所以，當時， ，即， （2）若函數(shù)有兩個極值點且，則必有，且，且在上遞減，在和上遞增，則，因為是方程的兩根，所以，即，要證 又，即證對恒成立，設(shè) 則當時， ，故，所以在上遞增，故，所以，所以.【防陷阱措施】：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用練習1. 已知函數(shù)（其中）在點處的切線斜率為1.（1）用表示；（2）設(shè)，若對定義域內(nèi)的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的前提下，如果，證明： .【答案】（1）；（2）；（III）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意即得；（2）在定義域上恒成立，即，由恒成立，得，再證當時， 即可；（3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，當時，不妨設(shè)，要證明，等價于，需要證明，令，可證得在上單調(diào)遞增， 即可證得.試題解析：（1），由題意 （2）在定義域上恒成立，即。解法二：（分離變量）恒成立，分離變量可得對恒成立，令，則。這里先證明，記，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，所以。因此， ，且時，所以，實數(shù)的取值范圍是。（3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，當時，不妨設(shè)，要證明，等價于，只需要證明，這里，令，求導得.注意當時， ， ，（可由基本不等式推出）又因此可得，當且僅當時等號成立。所以在上單調(diào)遞增， ，也即， 因此，此時都在單調(diào)遞增區(qū)間上，所以，得練習2已知常數(shù),函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.【答案】(1)詳見解析 (2) (2)利用第(1)可得到當時,導數(shù)等于0有兩個根,根據(jù)題意即為兩個極值點,首先導函數(shù)等于0的兩個根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達式帶入,得到關(guān)于的不等式,然后利用導函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題.(1)對函數(shù)求導可得 ,因為,所以當時,即時, 恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當時, ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的. (2)函數(shù)的定義域為,由(1)可得當時, ,則 ,即,則為函數(shù)的兩個極值點,代入可得 = 令,令,由知: 當時, , 當時, ,當時, ,對求導可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意.當時, ,對求導可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即恒成立,綜上的取值范圍為.3.導函數(shù)為0的替換作用例3. （本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（）證明：當時.【答案】（）當時，沒有零點；當時，存在唯一零點.（）見解析【解析】試題解析：（）的定義域為，.當時,，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當b滿足且時，,故當時，存在唯一零點.（）由（），可設(shè)在的唯一零點為，當時，;當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，.【防陷阱措施】：證明不等式時注意使用導函數(shù)為0的式子作為已知條件證明不等式.練習1已知函數(shù).（1）當時，求在區(qū)間上的最值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）， （2）當時， 在單調(diào)遞增；當時， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞減（3） 【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導數(shù)在區(qū)間上符號變化規(guī)律，確定函數(shù)最值（2）先求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)符號是否變化進行分類討論： 時， ， 時， ， 時，先負后正，最后根據(jù)導數(shù)符號對應(yīng)確定單調(diào)性（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，由（2）得，即，整理化簡得，解得的取值范圍.試題解析：解：（）當時， ，.的定義域為，由得.在區(qū)間上的最值只可能在， ， 取到，而， ， ， （）， .當，即時， ，在上單調(diào)遞減；當時， ，在上單調(diào)遞增；當時，由得，或（舍去）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當， 在上單調(diào)遞增；當時， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞減；4.導數(shù)與數(shù)列不等式的證明例4. 已知函數(shù)（）.（1）若在處取到極值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時， .【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.【解析】：試題分析：（1）根據(jù)極值的概念得到，可得到參數(shù)值；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，研究函數(shù)的單調(diào)性，分時， 時， ，三種情況討論單調(diào)性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，當時， ，當時， ，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結(jié)果。解析：（1），在處取到極值，即，經(jīng)檢驗， 時， 在處取到極小值.（2），令（），1當時， ， 在上單調(diào)遞減，又，時， ，不滿足在上恒成立.2當時，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，過. 當，即時， 在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增，又，時， 成立，滿足在上恒成立；當，即時，存在，使時， ， 單調(diào)遞減， 時， ， 單調(diào)遞增，又，故不滿足題意.3當時，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為， 在單調(diào)遞減， ， 在上單調(diào)遞減，又，時， ，故不滿足題意.綜上所述， .（3）證明：由（1）知令，當時， （當且僅當時取“”），當時， .即當2,3,4， ，有 . 【防陷阱措施】：最后證明數(shù)列不等式時，把數(shù)列放縮成前后抵消或等比數(shù)列練習1函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）（1）當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當時,在上是增函數(shù)；（iii）當時，在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見試題分析【解析】試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，的導數(shù)：，再分，三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上，當時，由的單調(diào)性得同理當時，由的單調(diào)性得下面再用數(shù)學歸納法證明（1）的定義域為（1）當時，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)（2）當時,成立當且僅當在上是增函數(shù)（iii）當時，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)（2）由（1）知，當時，在是增函數(shù)當時，即又由（1）知，當時，在上是減函數(shù)；當時，即下面用數(shù)學歸納法證明（1）當時，由已知，故結(jié)論成立；（2）假設(shè)當時結(jié)論成立，即當時，即當時有，結(jié)論成立根據(jù)（1）、（2）知對任何結(jié)論都成立考點：1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式5.變形后求導例5. 已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求的值（2）證明：當時，【答案】分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義列式求待定系數(shù)的值；（2）構(gòu)造新函數(shù)求其導數(shù)，利利用單調(diào)性和極值證明。解：（），由題意知：即（）由（）知，所以，設(shè)則，當時， ，而故，當?shù)茫簭亩敃r，即【防陷阱措施】：對于復雜的函數(shù)導數(shù)問題，需要兼顧左右兩端，以能夠持續(xù)化簡為準6.討論參數(shù)求參數(shù)例6設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù).（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）當或時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2.【解析】（1），考慮到函數(shù)的定義域為，故，進而解得，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù).由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.令，得，當時，；當時， 又在上有最小值，所以，即，綜上所述，.（2）當時，必是單調(diào)增函數(shù)；當時，令，解得，即，在上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有，即，綜合上述兩種情況，有.當時，由以及，得存在唯一的零點；當時，由于，且函數(shù)在上的圖象不間斷，在是單調(diào)增函數(shù)，在上存在零點. 另外，當時，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個零點.當時，令，解得.當時，；當時，. 是的最大值點，且最大值為.1)當，即時，有一個零點.2)當，即時，有兩個零點. 實際上，對于，由于，且函數(shù)在上的圖象不間斷，在上存在零點. 另外，當時，故在上是單調(diào)增函數(shù)，在上有一個零點.下面需要考慮在上的情況，先證，為此，我們要證明：當時，設(shè)，則，再設(shè)，則.當時，在上是單調(diào)增函數(shù)，故當時，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進而當時，即當時，.當，即時，又，且函數(shù)在的圖象不間斷，在上存在零點.又當時，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個零點.綜上所述，當或時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2.【防陷阱措施】：討論參數(shù)的分界點問題，一般是在不得不討論時再討論.練習1已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）的取值范圍是【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于任意，都有，轉(zhuǎn)化為，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值可求函數(shù)求實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導數(shù)，因為，所以當時， ，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時， ，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，由（1）知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞減，所以對任意的，都有，因為對任意的，都有，所以，即，得，所以當時，對于任意的，都有，當時， ，由（1）得在上單調(diào)遞增，所以對于任意，有，因為對于任意，都有，所以，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則當時， ，此時不等式不成立，綜上，所求的取值范圍是.7.與三角函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)的求導問題例7. 已知函數(shù).(1)求證： ；(2)若對恒成立，求的最大值與的最小值.【答案】（1）詳見解析；（2）的最大值為，的最小值為1.【解析】試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價于“”，“”等價于“”，令，則，對分；進行討論，用導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當對恒成立時的最大值與的最小值.（1）由得，因為在區(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而.（2）當時，“”等價于“”，“”等價于“”，令，則，當時，對任意恒成立，當時，因為對任意，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對任意恒成立.當時 ，存在唯一的使得，、在區(qū)間上的情況如下表： 因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，進一步“對任意恒成立”，當且僅當，即.綜上所述，當且僅當時，對任意恒成立.當且僅當時，對任意恒成立.所以，若對恒成立，則的最大值為與的最小值1.【防陷阱措施】：三角函數(shù)的求導注意符號問題練習1. （I）證明當（II）若不等式取值范圍.【答案】（I）見解析（II）【解析】（I）令， 即為增函數(shù)， 即為減函數(shù)，故， 為減函數(shù)， （II）下面證明， 綜上直接移項構(gòu)造函數(shù)，比較容易想到，但是求出導函數(shù)后又變得無從下手，這時候需要二次求導分析來解決。兩種解法各有特點。第二問主要是在第一問的基礎(chǔ)上利用不等式進行適當?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為另一個函數(shù)進行分析解答。練習2設(shè)函數(shù)。（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對任何，都有，求的取值范圍?！敬鸢浮浚ǎ┰诿恳粋€區(qū)間（）是增函數(shù)，在每一個區(qū)間（）是減函數(shù)。（）（）令，則。故當時， 。又，所以當時， ，即。 9分當時，令，則。故當時， 。因此在上單調(diào)增加。故當時， ，即。于是，當時， 。當時，有。因此， 的取值范圍是。 12分8.構(gòu)造函數(shù)問題例8. 設(shè), 已知函數(shù)() 證明在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + )內(nèi)單調(diào)遞增;() 設(shè)曲線在點處的切線相互平行, 且證明.【答案】見解析，因為，所以當時，；當時， ，即函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.綜合及，可知函數(shù)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + )內(nèi)單調(diào)遞增.()證明：由()知， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.因為曲線在點處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設(shè)，由= = ，可得 ，解得，從而，設(shè)，則，由= ，解得，所以 ，設(shè)，則，因為，所以，故 = ，即 .【防陷阱措施】：本題第（）問，可以分兩段來證明,都是通過導數(shù)的正負來判斷單調(diào)性；第()問，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構(gòu)造函數(shù)解決.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時,要分段判斷;證明不等式時,一般構(gòu)造函數(shù)解決.練習1設(shè)函數(shù)（1）證明： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對于任意，都有，求的取值范圍【答案】（）詳見解析；（） 【解析】（）若，則當時， ， ；當時， ， 若，則當時， ， ；當時， ， 所以， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由（）知，對任意的， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值所以對于任意， 的充要條件是： 即，設(shè)函數(shù)，則當時， ；當時， 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又， ，故當時， 當時， ， ，即式成立當時，由的單調(diào)性， ，即；當時， ，即綜上， 的取值范圍是練習2設(shè)，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個相異零點， ，求證： 【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點斜式求切線方程（2）由于無零點，且函數(shù)恒有負值，所以函數(shù)最大值必小于零，根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)最值，即得實數(shù)的取值范圍；也可先變量分離，根據(jù)兩函數(shù)交點情況求實數(shù)的取值范圍（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)， ，利用導數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，當時， ，則切線方程為，即.（2）若時，則， 是區(qū)間上的增函數(shù)， ，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；若， 有唯一零點；若，令，得，在區(qū)間上， ，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上， ，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上， 的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是.（3）要證，兩邊同時取自然對數(shù)得.由得，得.所以原命題等價于證明.因為，故只需證，即.令，則，設(shè)（），只需證.而，故在單調(diào)遞增，所以.綜上得.練習3. 已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程存在兩個不同的實數(shù)根， ，證明： .【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）先求得函數(shù)的定義域為，由及對取值的討論可得當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）設(shè)， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價于。在此基礎(chǔ)上，令，轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可得不等式成立。試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，.當時， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.當時，則當時， ， 上單調(diào)遞增；當時， ， 上單調(diào)遞減。綜上，當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由方程存在兩個不同的實數(shù)根， ，可設(shè)， ，.要證，只需證，等價于，設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為，9.恒成立求參數(shù)例9. 已知函數(shù)（I）當時，討論的單調(diào)性；（II）若時，求的取值范圍.【答案】（I）當時，在是增函數(shù)；當時，在是減函數(shù)；當時，在是增函數(shù)；（II）【解析】（）當時，.令，得，.當時，在是增函數(shù)；當時，在是減函數(shù)；當時，在是增函數(shù)；（1）直接利用求導的方法，通過導函數(shù)大于0和小于0求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）解題關(guān)鍵是利用求導的方法和不等式的放縮進行證明.【防陷阱措施】：恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題三、高考真題演練1.【xx課標3，理11】已知函數(shù)有唯一零點，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點滿足，設(shè)，則，當時，當時，函數(shù) 單調(diào)遞減，當時，函數(shù) 單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值，設(shè) ，當時，函數(shù)取得最小值 ，若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點，當時，時，此時函數(shù)和有一個交點，即，解得 .故選C.【考點】 函數(shù)的零點；導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學思想【名師點睛】函數(shù)零點的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.【xx課標1，理21】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.【解析】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進行求導，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，在對按，進行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）題，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，進行討論，可知當有2個零點，設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.所以的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，（）若，則，所以在單調(diào)遞減.（）若，則由得.當時，；當時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（）若，由（1）知，至多有一個零點.（）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.當時，由于，故只有一個零點；當時，由于，即，故沒有零點；當時，即.又，故在有一個零點.設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.【考點】含參函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點求參數(shù)取值范圍.【名師點睛】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證有最小值兩邊存在大于0的點.3.【xx課標II，理】已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點，且。【答案】(1)；(2)證明略?！窘馕觥吭囶}分析：(1)利用題意結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求得，注意驗證結(jié)果的正確性；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性和的解析式即可證得題中的不等式。試題解析：（1）的定義域為。設(shè)，則，等價于。因為，因，而，得。若，則。當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增。所以是的極小值點，故綜上，。所以 在 有唯一零點，在 有唯一零點1，且當 時， ；當 時， ，當 時， 。因為 ，所以是的唯一極大值點。由得，故。 由 得 。因為是在（0,1）的最大值點，由， 得。 所以?！究键c】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【名師點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系。 (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)。 (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題。 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。4.【xx天津，理20】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，為的導函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證：；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足.【答案】 （1）增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）（3）證明見解析【解析】試題分析：由于為，所以判斷的單調(diào)性，需要對二次求導，根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間;由，得 ，.令函數(shù)，分別求導證明.有關(guān)零點問題，利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況，對極值作出相應(yīng)的要求可控制零點的個數(shù).試題解析：（）由，可得，進而可得.令，解得，或.當x變化時，的變化情況如下表：x+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）證明：由，得，.令函數(shù)，則.由（）知，當時，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.因此，當時，可得.令函數(shù)，則.由（）知，在上單調(diào)遞增，故當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.因此，當時，可得.所以，.（III）證明：對于任意的正整數(shù)，且，令，函數(shù).由（II）知，當時，在區(qū)間內(nèi)有零點；當時，在區(qū)間內(nèi)有零點.所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設(shè)為，則.由（I）知在上單調(diào)遞增，故，于是.因為當時，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故.又因為，均為整數(shù)，所以是正整數(shù)，從而.所以.所以，只要取，就有.【考點】導數(shù)的應(yīng)用【名師點睛】判斷的單調(diào)性，只需對函數(shù)求導，根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點問題，先利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對極值點作出相應(yīng)的要求，可控制零點的個數(shù).【xx年】1【xx高考新課標1卷】已知函數(shù)有兩個零點.(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是的兩個零點,證明：.【答案】【解析】試題解析;（）（i）設(shè),則,只有一個零點（ii）設(shè),則當時,；當時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又,取滿足且,則,故存在兩個零點（iii）設(shè),由得或若,則,故當時,因此在上單調(diào)遞增又當時,所以不存在兩個零點若,則,故當時,；當時,因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增又當時,所以不存在兩個零點綜上,的取值范圍為（）不妨設(shè),由（）知,在上單調(diào)遞減,所以等價于,即由于,而,所以設(shè),則所以當時,而,故當時,從而,故考點：導數(shù)及其應(yīng)用【名師點睛】,對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；,解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.2. 【xx高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當時，證明對于任意的成立.【答案】（）見解析；（）見解析【解析】試題分析：（）求的導函數(shù)，對a進行分類討論，求的單調(diào)性；（）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解.試題解析：（）的定義域為；.當， 時，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當時，.（1），當或時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；（2）時，在內(nèi)，單調(diào)遞增；（3）時，當或時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（）由（）知，時，令，.則，由可得，當且僅當時取得等號.又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因為，所以在上存在使得 時，時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當且僅當取得等號，所以，即對于任意的恒成立。考點：1.應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.分類討論思想.【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎(chǔ)，恰當分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.3.【xx高考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知函數(shù).設(shè).（1）求方程的根;（2）若對任意,不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；（3）若，函數(shù)有且只有1個零點，求的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】試題分析：（1）根據(jù)指數(shù)間倒數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求方程根根據(jù)指數(shù)間平方關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，即的最小值，最后根據(jù)基本不等式求最值（2）先分析導函數(shù)零點情況：唯一零點，再確定原函數(shù)單調(diào)變化趨勢：先減后增，從而結(jié)合圖像確定唯一零點必在極值點取得，而，因此極值點必等于零，進而求出的值.本題難點在證明，這可利用反證法：若，則可尋找出一個區(qū)間，由結(jié)合零點存在定理可得函數(shù)存在另一零點，與題意矛盾，其中可??；若，同理可得.試題解析：（1）因為，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由條件知.因為對于恒成立，且，所以對于恒成立.而，且，所以，故實數(shù)的最大值為4.（2）因為函數(shù)只有1個零點，而，所以0是函數(shù)的唯一零點.因為，又由知，所以有唯一解.若，則，于是，又，且函數(shù)在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點”矛盾.若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾.因此，.于是，故，所以.考點：指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點【名師點睛】對于函數(shù)零點個數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴格說明函數(shù)零點個數(shù).4.【xx高考新課標3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為（）求；（）求；（）證明：【答案】（）；（）；（）見解析【解析】試題分析：（）直接可求；（）分兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出，但須注意當時還須進一步分為兩種情況求解；（）首先由（）得到，然后分，三種情況證明試題解析：（）（）當時，因此， 4分當時，將變形為令，則是在上的最大值，且當時，取得極小值，極小值為令，解得（舍去），（）當時，在內(nèi)無極值點，所以（）當時，由，知又，所以綜上，（）由（）得.當時，.當時，所以.當時，所以.考點：1、三角恒等變換；2、導數(shù)的計算；3、三角函數(shù)的有界性【歸納總結(jié)】求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導公式將解析式化為形如的形式；（2）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合正弦曲線與余弦曲線進行求解【xx年】1.【xx福建理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）A B C D 【答案】C【考點定位】函數(shù)與導數(shù)【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題2.【xx高考福建，理20】已知函數(shù)，()證明：當；()證明：當時，存在,使得對()確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有【答案】()詳見解析；()詳見解析；() 【解析】解法一：(1)令則有當 ,所以在上單調(diào)遞減；故當時，即當時，(2)令則有當 ,所以在上單調(diào)遞增, 故對任意正實數(shù)均滿足題意.當時，令得取對任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即.綜上，當時，總存在,使得對任意的恒有(3)當時，由（1）知，對于故，令，則有故當時，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當時，由（2）知存在,使得對任意的任意的恒有此時,令，則有故當時，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當，故滿足題意的t不存在.當，由（1）知，令，則有當時，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當時，恒有,此時，任意實數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當時，由（1）知，對于，故，令，從而得到當時，恒有,所以滿足題意的t不存在.當時，取由（2）知存在,使得.此時,令，此時 ,記與中較小的為，則當，故滿足題意的t不存在.當，由（1）知，令，則有當時，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當時，恒有,此時，任意實數(shù)t滿足題意綜上，.【考點定位】導數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時,我們常常借助導數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進行轉(zhuǎn)化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手,進而求解，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在xx年全國卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導數(shù)的強大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)3.【xx高考天津，理20】已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： 【解析】(I)由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當為奇數(shù)時：令，解得或，當變化時，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當為偶數(shù)時，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當，即對任意，設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此.由此可得.因為，所以，故，所以.【考點定位】1.導數(shù)的運算；2.導數(shù)的幾何意義；3.利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式.【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與導數(shù)之間的關(guān)系以及利用函數(shù)證明不等式.第(I)小題求導后分為奇偶數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學分類討論的重要思想；第(II)(III)中都利用了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這一重要思想方法，體現(xiàn)數(shù)學中的構(gòu)造法在解題中的重要作用，是撥高題.