2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 立體幾何單元質量檢測 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 立體幾何單元質量檢測 理 新人教A版一、選擇題(每小題4分,共40分)1以下關于幾何體的三視圖的敘述中,正確的是()A球的三視圖總是三個全等的圓B正方體的三視圖總是三個全等的正方形C水平放置的各面均為正三角形的四面體的三視圖都是正三角形D水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓解析:畫幾何體的三視圖要考慮視角,但對于球無論選擇怎樣的視角,其三視圖總是三個全等的圓答案:A2用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為,則球的體積為()A. B.C8 D.解析:S圓r2r1,而截面圓圓心與球心的距離d1,所以球的半徑為R.所以VR3,故選B.答案:B3設、是三個互不重合的平面,m、n是兩條不重合的直線,下列命題中正確的是()A若,則B若m,n,則mnC若,m,則mD若,m,m,則m解析:對于A,若,可以平行,也可以相交,A錯;對于B,若m,n,則m,n可以平行,可以相交,也可以異面,B錯;對于C,若,m,則m可以在平面內,C錯;易知D正確答案:D4一個棱長為2的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A7 B.C. D.解析:依題意可知該幾何體的直觀圖如圖所示,其體積為232111.答案:D5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA12AB,E為AA1的中點,則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.B.C.D.解析:如圖,以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系設AA12AB2,則B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2),(0,1,1),(0,1,2),cos,.答案:C6如圖所示,正四棱錐PABCD的底面積為3,體積為,E為側棱PC的中點,則PA與BE所成的角為()A. B.C. D.解析:連接AC,BD交于點O,連接OE,易得OEPA,所以所求角為BEO.由所給條件易得OB,OEPA,BE.所以cosOEB,所以OEB60,選C.答案:C7如圖為棱長是1的正方體的表面展開圖,在原正方體中給出下列三個命題:點M到AB的距離為;三棱錐CDNE的體積是;AB與EF所成的角是其中正確命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析:依題意可作出正方體的直觀圖如圖,顯然M到AB的距離為MC,正確;而VCDNE111,正確;AB與EF所成的角等于AB與MC所成的角,即為,正確答案:D8正ABC與正BCD所在平面垂直,則二面角ABDC的正弦值為()A.B. C.D.解析:取BC中點O,連接AO,DO.建立如圖所示坐標系,設BC1,則A,B,D.,.由于為平面BCD的一個法向量,可進一步求出平面ABD的一個法向量n(1,1),cosn,sinn,.答案:C9正三棱柱ABCA1B1C1的棱長都為2,E,F(xiàn),G為AB,AA1,A1C1的中點,則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析:如圖,取AB的中點E,建立如圖所示空間直角坐標系Exyz.則E(0,0,0),F(xiàn)(1,0,1),B1(1,0,2),A1(1,0,2),C1(0,2),G.(2,0,1),(1,0,1),.設平面GEF的一個法向量為n(x,y,z),由得令x1,則n(1,1),設B1F與平面GEF所成角為,則sin|cosn,|.答案:A10如圖,在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是AB1、BC1的中點,則下列結論不成立的是()AEF與BB1垂直BEF與BD垂直CEF與CD異面DEF與A1C1異面解析:連接B1C,AC,則B1C交BC1于F,且F為B1C的中點,又E為AB1的中點,所以EF綊AC,而B1B平面ABCD,所以B1BAC,所以B1BEF,A正確;又ACBD,所以EFBD,B正確;顯然EF與CD異面,C正確;由EF綊AC,ACA1C1,得EFA1C1,故不成立的選項為D.答案:D二、填空題(每小題4分,共16分)11已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_解析:由三視圖可知:該幾何體是一個三棱錐,底面是底邊長為4,高為2的等腰三角形,棱錐的高為2,故體積為V422.答案:12已知球與棱長均為2的三棱錐各條棱都相切,則該球的表面積為_解析:將該三棱錐放入正方體內,若球與三棱錐各棱均相切等價于球與正方體各面均相切,所以2R,R,則球的表面積為S4R242.答案:213三棱錐SABC中,SBASCA90,ABC是斜邊ABa的等腰直角三角形,則以下結論中:異面直線SB與AC所成的角為90;直線SB平面ABC;平面SBC平面SAC;點C到平面SAB的距離是a.其中正確結論的序號是_解析:由題意知AC平面SBC,故ACSB,SB平面ABC,平面SBC平面SAC,正確;取AB的中點E,連接CE,(如圖)可證得CE平面SAB,故CE的長度即為C到平面SAB的距離a,正確答案:14如圖,在矩形ABCD中,AB3,BC1,EFBC且AE2EB,G為BC的中點,K為AF的中點沿EF將矩形折成120的二面角AEFB,此時KG的長為_解析:如圖,過K作KMEF,垂足M為EF的中點,則向量與的夾角為120,60.又,222211211cos603.|.答案:三、解答題(共4小題,共44分,解答應寫出必要的文字說明、計算過程或證明步驟)15(10分)一個幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐EABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正(主)視圖,側(左)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA平面ABC,ABAC,ABAC,AE2.(1)求證:ACBD.(2)求三棱錐EBCD的體積解:(1)因為EA平面ABC,AC平面ABC,所以EAAC,即EDAC.又因為ACAB,ABEDA,所以AC平面EBD.因為BD平面EBD,所以ACBD.(2)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且ABAC,所以BC為圓O的直徑設圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據正(主)視圖,側(左)視圖的面積可得,解得所以BC4,ABAC2.以下給出求三棱錐EBCD體積的兩種方法:方法1:由(1)知,AC平面EBD,所以VEBCDVCEBDSEBDCA,因為EA平面ABC,AB平面ABC,所以EAAB,即EDAB.其中EDEADA224,因為ABAC,ABAC2,所以SEBDEDAB424,所以SEBCD42.方法2:因為EA平面ABC,所以VEBCDVEABCVDABCSABCEASABCDASABCED.其中EDEADA224,因為ABAC,ABAC2,所以SABCACAB224,所以VEBCD44.16(10分)如圖,ABAD,BAD90,M,N,G分別是BD,BC,AB的中點,將等邊BCD沿BD折疊成BCD的位置,使得ADCB.(1)求證:平面GNM平面ADC.(2)求證:CA平面ABD.證明:(1)因為M,N分別是BD,BC的中點,所以MNDC.因為MN平面ADC,DC平面ADC,所以MN平面ADC.同理NG平面ADC.又因為MNNGN,所以平面GNM平面ADC.(2)因為BAD90,所以ADAB.又因為ADCB,且ABCBB,所以AD平面CAB.因為CA平面CAB,所以ADCA.因為BCD是等邊三角形,ABAD,不妨設AB1,則BCCDBD,可得CA1.由勾股定理的逆定理,可得ABCA.因為ABADA,所以CA平面ABD.17(12分)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,ABCD,ABBC,AB2CD2BC,EAEB.(1)求證:ABDE;(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值;(3)線段EA上是否存在點F,使EC平面FBD?若存在,求出;若不存在,請說明理由解:(1)證明:取AB的中點O,連接EO,DO.因為EBEA,所以EOAB.因為四邊形ABCD為直角梯形AB2CD2BC,ABBC,所以四邊形OBCD為正方形,所以ABOD.因為EODO0.所以AB平面EOD,所以ABED.(2)因為平面ABE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD.由OB,OD,OE兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.因為三角形EAB為等腰直角三角形,所以OAOBODOE,設OB1,所以O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)所以(1,1,1),平面ABE的一個法向量為(0,1,0)設直線EC與平面ABE所成的角為,所以sin|cos,即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.(3)存在點F,且時,有EC平面FBD.證明如下:由,F(xiàn),所以,(1,1,0)設平面FBD的法向量為v(a,b,c),則有所以取a1,得v(1,1,2)因為v(1,1,1)(1,1,2)0,且EC平面FBD,所以EC平面FBD,即點F滿足時,有EC平面FBD.18(12分)如圖,AB為圓O的直徑,點E,F(xiàn)在圓O上,ABEF,矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直已知AB2,EF1.(1)求證:平面DAF平面BCF;(2)求直線AB與平面CBF所成角的大?。?3)當AD的長為何值時,平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60?解:(1)證明:平面ABCD平面ABEF,CBAB,平面ABCD平面ABEFAB,CB平面ABEF,AF平面ABEF,AFCB,又AB為圓O的直徑,AFBF,又BFCBB,AF平面CBF.AF平面ADF,平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF,F(xiàn)B為AB在平面CBF內的射影,因此,ABF為直線AB與平面CBF所成的角ABEF,四邊形ABEF為等腰梯形,過點F作FHAB,交AB于H.已知AB2,EF1,則AH.在RtAFB中,根據射影定理得AF2AHAB,AF1,sinABF,ABF30.直線AB與平面CBF所成角的大小為30.(3)設EF中點為G,以O為坐標原點,方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系(如圖)設ADt(t0),則點D的坐標為(1,0,t),C(1,0,t),又A(1,0,0),B(1,0,0),F(xiàn),(2,0,0),設平面DCF的法向量為n1(x,y,z),則n10,n10.即,令z,解得x0,y2t,n1(0,2t,)由(1)可知AF平面CFB,取平面CBF的一個法向量為n2,依題意,n1與n2的夾角為60.cos60,即,解得t.因此,當AD的長為時,平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60.- 配套講稿:
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