2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 10.導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 10.導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版 1、導(dǎo)數(shù)的背景: (1)切線的斜率;(2)瞬時(shí)速度. 如一物體的運(yùn)動(dòng)方程是,其中的單位是米,的單位是秒,那么物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為_____(答:5米/秒) 2、導(dǎo)函數(shù)的概念:如果函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),對(duì)于開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù) ,這樣在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù), 記作 ,導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)。 提醒:導(dǎo)數(shù)的另一種形式 如(1)* 在處可導(dǎo),則 解: 在處可導(dǎo),必連續(xù) ∴ ∴ (2)*已知f(x)在x=a處可導(dǎo),且f′(a)=b,求下列極限: (1); (2) 分析:在導(dǎo)數(shù)定義中,增量△x的形式是多種多樣,但不論△x選擇哪種形式,△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件,可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 解:(1) (2) 說明:只有深刻理解概念的本質(zhì),才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形,使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 可以證明:可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求函數(shù)的改變量;(2)求平均變化率;(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)。 也可(1)求,(2). 4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是,相應(yīng)地切線的方程是。 特別提醒:(1)在求曲線的切線方程時(shí),要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點(diǎn)處的切線(只有當(dāng)此點(diǎn)在曲線上時(shí),此點(diǎn)處的切線的斜率才是),還是過某點(diǎn)的切線:曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條,而過某點(diǎn)的切線不一定只有一條,即使此點(diǎn)在曲線上也不一定只有一條切線,也未必和曲線只有一個(gè)交點(diǎn);(2)求過某一點(diǎn)的切線方程時(shí)也是通過切點(diǎn)坐標(biāo)來求。 如(1)P在曲線上移動(dòng),在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為α,則α的取值范圍是______(答:); (2)直線是曲線的一條切線,則實(shí)數(shù)的值為_______(答:-3或1); (4)曲線在點(diǎn)處的切線方程是______________(答:); (5)已知函數(shù),又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于。①求的值;②求過點(diǎn)的曲線的切線方程(答:①1;②或)。 5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則: 6.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (1)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即(C為常數(shù)); (2),與此有關(guān)的如下:; 7.(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行: ?。?)適當(dāng)選定中間變量,正確分解復(fù)合關(guān)系; (2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)); ?。?)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。 也就是說,首先,選定中間變量,分解復(fù)合關(guān)系,說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ),μ=f(x);然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo),中間變量對(duì)自變量求導(dǎo);最后求,并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解——求導(dǎo)——回代。熟練以后,可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合,可以相應(yīng)地多次用中間變量。 如(1)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,則_____(答:); (2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為__________(答:); (3)若對(duì)任意,,則是______(答:) 8、函數(shù)的單調(diào)性: (1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ①若,則為增函數(shù);若,則為減函數(shù);若恒成立,則為常數(shù)函數(shù);若的符號(hào)不確定,則不是單調(diào)函數(shù)??蓪?dǎo)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件 ②若函數(shù)在區(qū)間()上單調(diào)遞增,則,反之等號(hào)不成立(等號(hào)不恒成立時(shí),反過來就成立);若函數(shù)在區(qū)間()上單調(diào)遞減,則,反之等號(hào)不成立(等號(hào)不恒成立時(shí),反過來就成立)。 提醒:導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性可用于求函數(shù)值域,證明不等式(不等式一端化為0) 如(1)函數(shù),其中為實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),的單調(diào)性是______(答:增函數(shù)); (2)設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍______(答:); (3)已知函數(shù)為常數(shù))在區(qū)間上單調(diào)遞增,且方程的根都在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍是____________(答:); (4)已知,,設(shè),試問是否存在實(shí)數(shù),使在上是減函數(shù),并且在上是增函數(shù)?(答:) (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求(注意定義域);(2)求方程的根,設(shè)根為;(3)將給定區(qū)間分成n+1個(gè)子區(qū)間(在此有一個(gè)比較根的大小問題),再在每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào),由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。 如設(shè)函數(shù)在處有極值,且,求的單調(diào)區(qū)間。 (答:遞增區(qū)間(-1,1),遞減區(qū)間) (3)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定參變數(shù)(已知函數(shù)的單調(diào)性) 轉(zhuǎn)化為恒成立 7、函數(shù)的極值: (1)定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義,如果對(duì)附近所有的點(diǎn),都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極大值。記作=,如果對(duì)附近所有的點(diǎn),都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極小值。記作=。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。 (2)求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的極值的步驟:(i)求導(dǎo)數(shù);(ii)求方程的根;(iii)檢查在方程的根的左右的符號(hào):“左正右負(fù)”在處取極大值;“左負(fù)右正”在處取極小值。 注:導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn), 特別提醒:(1)是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào),而不僅是=0,=0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。(2)給出函數(shù)極大(小)值的條件,一定要既考慮,又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化,否則條件沒有用完,這一點(diǎn)一定要切記! (3)第二步中蘊(yùn)含著比較根的大小問題,第三步中通常總結(jié)成表. 如(1)函數(shù)的極值點(diǎn) A.極大值點(diǎn) B.極大值點(diǎn) C.極小值點(diǎn) D.極小值點(diǎn)(答:C); (2)已知函數(shù)有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____(答:或); (3)函數(shù)處有極小值10,則a+b的值為____(答:-7); (4)已知函數(shù)在區(qū)間[-1,2 ]上是減函數(shù),那么b+c有最___值___(答:大,) 8、函數(shù)的最大值和最小值: (1)定義:函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”;函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”。 (2)求函數(shù)在[]上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在()內(nèi)的極值(極大值或極小值);(2)將的各極值與,比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值。 注:第一步中其實(shí)不必求出極值,只要找到導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)處的函數(shù)值即可;閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值 如(1)函數(shù)在[0,3]上的最大值、最小值分別是______ (答:5;);(2)用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m。那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積。(答:高為1.2米時(shí),容積最大為) 特別注意:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值(極值)時(shí),要注意列表!(2)要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值),研究函數(shù)的性態(tài),數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)O b a x y 問題。 如(1)是的導(dǎo)函數(shù),的圖象如右圖所示,則的圖象只可能是 ( 答:D ) O b a x y O b a x y B、 A、 O b a x y O b a x y C、 D、 (2)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為______(答:1); (3)已知函數(shù),拋物線,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在拋物線的上方,求的取值范圍(答:)。 9.定積分 (1) 定積分的定義:分割—近似代替—求和—取極限 (2)定積分幾何意義: ①表示y=f(x)與x軸,x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積 ②表示y=f(x)與x軸,x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù) (3)定積分的基本性質(zhì): ① ② ③ (4)求定積分的方法: ①定義法:分割—近似代替—求和—取極限 ②利用定積分幾何意義 ③微積分基本定理- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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