2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 10.導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 10.導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 10.導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版1、導(dǎo)數(shù)的背景:(1)切線的斜率;(2)瞬時速度. 如一物體的運動方程是,其中的單位是米,的單位是秒,那么物體在時的瞬時速度為_(答:5米/秒)2、導(dǎo)函數(shù)的概念:如果函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),對于開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個,都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù) ,這樣在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù),這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù), 記作 ,導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。提醒:導(dǎo)數(shù)的另一種形式如(1)* 在處可導(dǎo),則 解: 在處可導(dǎo),必連續(xù) (2)*已知f(x)在x=a處可導(dǎo),且f(a)=b,求下列極限:(1); (2)分析:在導(dǎo)數(shù)定義中,增量x的形式是多種多樣,但不論x選擇哪種形式,y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件,可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解:(1) (2) 說明:只有深刻理解概念的本質(zhì),才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形,使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。可以證明:可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求函數(shù)的改變量;(2)求平均變化率;(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)。也可(1)求,(2).4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點處的切線的斜率,即曲線在點處的切線的斜率是,相應(yīng)地切線的方程是。特別提醒:(1)在求曲線的切線方程時,要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線(只有當(dāng)此點在曲線上時,此點處的切線的斜率才是),還是過某點的切線:曲線上某點處的切線只有一條,而過某點的切線不一定只有一條,即使此點在曲線上也不一定只有一條切線,也未必和曲線只有一個交點;(2)求過某一點的切線方程時也是通過切點坐標(biāo)來求。如(1)P在曲線上移動,在點P處的切線的傾斜角為,則的取值范圍是_(答:);(2)直線是曲線的一條切線,則實數(shù)的值為_(答:3或1);(4)曲線在點處的切線方程是_(答:);(5)已知函數(shù),又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于。求的值;求過點的曲線的切線方程(答:1;或)。5、導(dǎo)數(shù)的運算法則: 6.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (1)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即(C為常數(shù));(2),與此有關(guān)的如下:; 7.(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):一般按以下三個步驟進行:(1)適當(dāng)選定中間變量,正確分解復(fù)合關(guān)系;(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo));(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。也就是說,首先,選定中間變量,分解復(fù)合關(guān)系,說明函數(shù)關(guān)系y=f(),=f(x);然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo),中間變量對自變量求導(dǎo);最后求,并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后,可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合,可以相應(yīng)地多次用中間變量。如(1)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,則_(答:);(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(答:);(3)若對任意,則是_(答:)8、函數(shù)的單調(diào)性:(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系若,則為增函數(shù);若,則為減函數(shù);若恒成立,則為常數(shù)函數(shù);若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)??蓪?dǎo)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件若函數(shù)在區(qū)間()上單調(diào)遞增,則,反之等號不成立(等號不恒成立時,反過來就成立);若函數(shù)在區(qū)間()上單調(diào)遞減,則,反之等號不成立(等號不恒成立時,反過來就成立)。提醒:導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性可用于求函數(shù)值域,證明不等式(不等式一端化為0)如(1)函數(shù),其中為實數(shù),當(dāng)時,的單調(diào)性是_(答:增函數(shù));(2)設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍_(答:);(3)已知函數(shù)為常數(shù))在區(qū)間上單調(diào)遞增,且方程的根都在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍是_(答:);(4)已知,設(shè),試問是否存在實數(shù),使在上是減函數(shù),并且在上是增函數(shù)?(答:)(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求(注意定義域);(2)求方程的根,設(shè)根為;(3)將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間(在此有一個比較根的大小問題),再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號,由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。如設(shè)函數(shù)在處有極值,且,求的單調(diào)區(qū)間。(答:遞增區(qū)間(1,1),遞減區(qū)間)(3)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定參變數(shù)(已知函數(shù)的單調(diào)性)轉(zhuǎn)化為恒成立7、函數(shù)的極值:(1)定義:設(shè)函數(shù)在點附近有定義,如果對附近所有的點,都有,就說是函數(shù)的一個極大值。記作,如果對附近所有的點,都有,就說是函數(shù)的一個極小值。記作。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。(2)求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟:(i)求導(dǎo)數(shù);(ii)求方程的根;(iii)檢查在方程的根的左右的符號:“左正右負”在處取極大值;“左負右正”在處取極小值。注:導(dǎo)數(shù)為零的點未必是極值點, 特別提醒:(1)是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不僅是0,0是為極值點的必要而不充分條件。(2)給出函數(shù)極大(小)值的條件,一定要既考慮,又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化,否則條件沒有用完,這一點一定要切記! (3)第二步中蘊含著比較根的大小問題,第三步中通??偨Y(jié)成表.如(1)函數(shù)的極值點A.極大值點 B.極大值點 C.極小值點 D.極小值點(答:C);(2)已知函數(shù)有極大值和極小值,則實數(shù)的取值范圍是_(答:或);(3)函數(shù)處有極小值10,則a+b的值為_(答:7);(4)已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù),那么bc有最_值_(答:大,)8、函數(shù)的最大值和最小值:(1)定義:函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”;函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”。(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在()內(nèi)的極值(極大值或極小值);(2)將的各極值與,比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值。注:第一步中其實不必求出極值,只要找到導(dǎo)數(shù)為零點處的函數(shù)值即可;閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值如(1)函數(shù)在0,3上的最大值、最小值分別是_(答:5;);(2)用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m。那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積。(答:高為1.2米時,容積最大為)特別注意:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值(極值)時,要注意列表?。?)要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值),研究函數(shù)的性態(tài),數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)Obaxy問題。如(1)是的導(dǎo)函數(shù),的圖象如右圖所示,則的圖象只可能是 ( 答:D )ObaxyObaxyB、A、ObaxyObaxyC、D、(2)方程的實根的個數(shù)為_(答:1);(3)已知函數(shù),拋物線,當(dāng)時,函數(shù)的圖象在拋物線的上方,求的取值范圍(答:)。9.定積分(1) 定積分的定義:分割近似代替求和取極限(2)定積分幾何意義:表示y=f(x)與x軸,x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積表示y=f(x)與x軸,x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì):(4)求定積分的方法:定義法:分割近似代替求和取極限利用定積分幾何意義微積分基本定理