2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《平面幾何證明》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料平面幾何證明1 線段或角相等的證明(1)利用全等或相似多邊形;(2)利用等腰;(3)利用平行四邊形;(4)利用等量代換;(5)利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系(6)利用圓中的等量關(guān)系等。2 線段或角的和差倍分的證明(1)轉(zhuǎn)化為相等問題。如要證明a=bc,可以先作出線段p=bc,再去證明a=p,即所謂“截長補(bǔ)短”,角的問題仿此進(jìn)行。(2)直接用已知的定理。例如:中位線定理,Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半;的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和;圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半等等。3 兩線平行與垂直的證明(1)利用兩線平行與垂直的判定定理。(2)利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行;利用等腰的“三線合一”可證明垂直。(3)利用比例關(guān)系可證明平行;利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。例題講解1從O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于CD,連結(jié)BE交CD于F。求證:BE平分CD。2ABC內(nèi)接于O,P是弧 AB上的一點(diǎn),過P作OA、OB的垂線,與AC、BC分別交于S、T,AB交于M、N。求證:PM=MS充要條件是PN=NT。3已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn),兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2,M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證:O1AO2=M1AM2。4在ABC中,ABAC,A的外角平分線交ABC的外接圓于D,DEAB于E,求證:AE=。.5ABC的頂點(diǎn)B在O外,BA、BC均與O相交,過BA與圓的交點(diǎn)K引ABC平分線的垂線,交O于P,交BC于M。求證:線段PM為圓心到ABC平分線距離的2倍。6在ABC中,AP為A的平分線,AM為BC邊上的中線,過B作BHAP于H,AM的延長線交BH于Q,求證:PQAB。7菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H,在EF與GH上分別作O的切線交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。求證:MQNP。8ABCD是圓內(nèi)接四邊形,其對(duì)角線交于P,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證:KPAB。9以ABC的邊BC為直徑作半圓,與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過D、E作BC的垂線,垂足分別是F、G,線段DG、EF交于點(diǎn)M。求證:AMBC。例題答案:1. 分析1:構(gòu)造兩個(gè)全等。連結(jié)ED、AC、AF。CF=DFACFEDFPAB=AEB=PFB分析2:利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB。PFB=POB注:連結(jié)OP、OA、OF,證明A、O、F、P四點(diǎn)共圓亦可。2. 分析:只需證, PMPN=MSNT。(1=2,3=4)APMPBNPMPN=AMBN(BNT=AMS,BTN=MAS)BNTSMAMSNT=AMBN3. 分析:設(shè)B為兩圓的另一交點(diǎn),連結(jié)并延長BA交P1P2于C,交O1O2于M,則C為P1P2的中點(diǎn),且P1M1CMP2M2,故CM為M1M2的中垂線。在O1M上截取MO3=MO2,則M1AO3=M2AO2。故只需證O1AM1=O3AM1,即證。由P1O1M1P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A可得。4. 分析:方法1、2AE=AB-AC 在BE上截取EF=AE,只需證BF=AC,連結(jié)DC、DB、DF,從而只需證DBFDCA DF=DA,DBF=DCA,DFB=DAC DFA=DAF=DAG。方法2、延長CA至G,使AG=AE,則只需證BE=CG 連結(jié)DG、DC、DB,則只需證DBEDCG DE=DG,DBE=DCG,DEB=DGC=Rt。5.分析:若角平分線過O,則P、M重合,PM=0,結(jié)論顯然成立。若角平分線不過O,則延長DO至D,使OD=OD,則只需證DD=PM。連結(jié)DP、DM,則只需證DMPD為平行四邊形。過O作mPK,則DD,KP,DPK=DKPBL平分ABC,MKBLBL為MK的中垂線DKB=DMKDPK=DMK,DPDM。而D DPM,DMPD為平行四邊形。6.分析:方法1、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì),考慮用比例證明平行。倍長中線:延長AM至M,使AM=MA,連結(jié)BA,如圖6-1。PQABABQ=180-(HBA+BAH+CAP)= 180-90-CAP=90-BAP=ABQ方法2、結(jié)合角平分線和BHAH聯(lián)想對(duì)稱知識(shí)。延長BH交AC的延長線于B,如圖6-2。則H為BB的中點(diǎn),因?yàn)镸為BC的中點(diǎn),連結(jié)HM,則HMB/C。延長HM交AB于O,則O為AB的中點(diǎn)。延長MO至M,使OM=OM,連結(jié)MA、MB,則AMBM是平行四邊形,MPAM,QMBM。于是,所以PQAB。7.分析:由ABCD知:要證MQNP,只需證AMQ=CPN,結(jié)合A=C知,只需證AMQCPN,AMCN=AQCP。連結(jié)AC、BD,其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與O切于K,連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=,MOK=,KON=,則EOM=,F(xiàn)ON=,EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO,OCNMAO,于是,AMCN=AOCO同理,AQCP=AOCO。8. 分析:延長KP交AB于L,則只需證PAL+APL=90,即只需證PDC+KPC=90,只需證PDC=PKF,因?yàn)镻、F、K、E四點(diǎn)共圓,故只需證PDC=PEF,即EFDC。DMECNF9. 分析:連結(jié)BE、CD交于H,則H為垂心,故AHBC。(同一法)設(shè)AHBC于O,DG、AH交于M1,EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。OM1DFOM1=。OM2EGOM2=。只需證OGDF=EGOF,即RtOEGRtODFDOF=DHB=EHC=EOG。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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