2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《平面幾何名定理》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料平面幾何名定理四個重要定理：梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。例題講解1設(shè)AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。2過ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。3D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。4以ABC各邊為底邊向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點。5已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+ABBC。6已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。7ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PEAB于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BCEF=BFCE+BECF。8正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）9O為ABC內(nèi)一點，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。求證：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。10ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點共線，且HG=2GO。（歐拉線）11O1和O2與ABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點，EG、FH的延長線交于P。求證：PABC。12如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GAC=EAC。例題答案：1.分析：CEF截ABD（梅氏定理）評注：也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。2.分析：連結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1評注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5. 分析：過A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。評注：托勒密定理6.評注：托勒密定理7.評注：西姆松定理（西姆松線）8.評注：面積法9.評注：面積法10. 評注：同一法11. 證明：連結(jié)BD交AC于H。對BCD用塞瓦定理，可得因為AH是BAD的角平分線，由角平分線定理，可得，故。過C作AB的平行線交AG的延長線于I，過C作AD的平行線交AE的延長線于J。則，所以，從而CI=CJ。又因為CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，從而IAC=JAC，即GAC=EAC。