高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.5.3 微積分基本定理（二）課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.5.3 微積分基本定理(二),第 1章 1.5 定積分,1.理解定積分的幾何意義，會通過定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積. 2.掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見題型及方法. 3.通過具體實例了解定積分在物理中的應用，會求變速直線運動的路程和變力做功的問題.,學習目標,欄目索引,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 定積分在求幾何圖形面積方面的應用 1.求由一條曲線yf(x)和直線xa，xb(ab)及y0所圍成的平面圖形的面積S.,答案,答案,2.求由兩條曲線f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直線xa，xb (ab)所圍成平面圖形的面積S. (1)如圖，當f(x)g(x)0時，S .,答案,3.當g(x)f(x)0時，同理得S .,思考 (1)怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？ 答案 求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來表示面積，然后計算定積分即可. (2)當f(x)0時，f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？ 答案 如圖，因為曲邊梯形上邊界函數(shù)為g(x)0，下邊界函數(shù)為f(x)，,答案,4.利用定積分求平面圖形面積的步驟： (1)畫出圖形：在平面直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象； (2)確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標(或縱坐標)，確定積分上、下限； (3)確定被積函數(shù)； (4)寫出平面圖形面積的定積分表達式； (5)利用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積，寫出答案.,知識點二 定積分在物理中的應用 1.在變速直線運動中求路程、位移 路程是位移的絕對值之和，從時刻ta到時刻tb所經過的路程s和位移s分別為： (1)若v(t)0，則s ，s . (2)若v(t)0，則s ，s . (3)若在區(qū)間a，c上v(t)0，在區(qū)間c，b上v(t)0， 則s ，s .,答案,2.定積分在物理中的應用 (1)做變速直線運動的物體所經過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即s . (2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所做的功為WFs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間a，b上的定積分，即W .,答案,思考 下列判斷正確的是_. (1)路程是標量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念； (2)利用定積分求變速直線運動的路程和位移是同一個式子 (3)利用定積分求變速直線運動的路程和位移不是同一個式子 解析 (1)顯然正確. 對于(2)(3)兩個判斷，由于當v(t)0時，求某一時間段內的路程和位移均用 求解； 當v(t)0時，求某一時間段內的位移用 求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為 所以(2)錯(3)正確.,(1)(3),答案,返回,題型探究 重點突破,解析答案,題型一 利用定積分求平面圖形的面積問題,反思與感悟,解 在同一個平面直角坐標系上畫出兩個拋物線的大致圖形，如圖. 方法一 以x為積分變量.,設點P(1,0)，則所求面積,解析答案,反思與感悟,方法二 以y為積分變量.,設點P(1,0)，則所求面積,反思與感悟,反思與感悟,若以x為積分變量，則被積函數(shù)的原函數(shù)不易確定，而且計算也比較麻煩；若以y為積分變量，則可以避免這種情況.選取積分變量有時對解題很關鍵.,解析答案,跟蹤訓練1 在曲線yx2(x0)上的某一點A處作一切線，使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為 .試求：切點A的坐標和過切點A的切線方程.,解 如圖所示，設切點A(x0，y0)， 由y2x得過A點的切線方程為yy02x0(xx0)，,設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S， 則SS曲邊AOBSABC.,S曲邊AOB,從而切點為A(1,1)，切線方程為y2x1.,解析答案,題型二 對用定積分解決變速問題的理解 例2 一點在直線上從時刻t0(s)開始以速度vt24t3(m/s)運動，求： (1)此點在t4 s時的位置； (2)此點在t4 s時運動的路程.,反思與感悟,解 因為位置決定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定積分，而路程是位移的絕對值之和，所以需要判斷在0,4上哪些時間段的位移為負.,(2)因為v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上，v(t)0， 在區(qū)間1,3上，v(t)0，所以該點在t4 s時的路程為,反思與感悟,反思與感悟,解決此類問題的一般步驟：(1)求出每一時間段上的速度函數(shù)；(2)根據(jù)定積分的物理意義，求出對應時間段上的定積分.,解析答案,跟蹤訓練2 有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車.設汽車以2 m/s2的加速度剎車，問：從開始剎車到停車，汽車行駛了多遠？ 解 設從開始剎車到停車，汽車經過了t s. v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t. 令v(t)0，解得t5. 所以從開始剎車到停車，汽車行駛的路程為,故從開始剎車到停車，汽車行駛了25 m.,解析答案,題型三 用定積分解決變力做功問題 例3 設有一個長為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功.,解 設x表示彈簧伸長的長度，f(x)表示加在彈簧上的力， 則f(x)kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù)). 因為當f(x)100時，x5，所以k20. 所以f(x)20x. 彈簧由25 cm伸長到40 cm時，彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm，,反思與感悟,反思與感悟,(1)根據(jù)物理學知識，求出變力f(x)的表達式；(2)由功的物理意義知，物體在變力f(x)的作用下，沿力的方向做直線運動，使物體由一個位置移到另一個位置，因此，求功之前應先求出位移的起始位置和終止位置；(3)根據(jù)變力做功的公式W 求出變力所做的功.,解析答案,跟蹤訓練3 如圖所示，設氣缸內活塞一側存在一定量氣體，氣體做等溫膨脹時推動活塞向右移動一段距離，若氣體體積由V1變?yōu)閂2，求氣體壓力所做的功.,解 由物理學知識知，氣體膨脹為等溫過程，,L表示活塞移動的距離，VLQ).,記L1，L2分別表示活塞的初始位置和終止位置， 于是有,C(ln V2ln V1).,所以氣體體積由V1變?yōu)閂2，氣體壓力所做的功為C(ln V2ln V1).,例4 求由拋物線y28x(y0)與直線xy60及y0所圍成圖形的面積.,易錯易混,用定積分求平面圖形面積時，因對圖形分割不當致誤,解析答案,返回,防范措施,錯解 由題意，作出圖形如圖,所以拋物線y28x(y0)與直線xy60的交點坐標為(2,4)，,解析答案,防范措施,防范措施,合理劃分積分上、下限及正確選擇積分變量，最好結合圖形進行處理.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.在下面所給圖形的面積S及相應表達式中，正確的有_.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,和正確. 答案 ,解析答案,1,2,3,4,5,解析,10113.,3,1,2,3,4,5,3.一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度v(t)270.9t，則列車剎車距離為_.,解析 停車時v(t)0，由270.9t0，得t30，,405,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.由曲線yx24與直線y5x，x0，x4所圍成平面圖形的面積是_.,解析 由圖形可得,解析答案,1,2,3,4,5,5.一個彈簧壓縮x cm可產生4x N的力，把它從自然長度壓縮到比自然長度短5 cm，求彈簧克服彈力所做的功.,解 設F(x)kx， 彈簧壓縮x cm可產生4x N的力，k4.,課堂小結,1.利用定積分求平面圖形面積的一般步驟： (1)在平面直角坐標系中畫出圖形；(2)通過解方程求出交點坐標；(3)寫出平面圖形面積的定積分表達式，當被求平面區(qū)域較復雜時，可分割求和；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積. 2.路程問題. (1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉化為數(shù)學問題是關鍵.(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內是否恒正，若符號不定，應求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算.,3.變力做功問題. (1)變力做功問題，首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關鍵一步.(2)根據(jù)變力做功的公式，將其轉化為求定積分的問題.,返回,