高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 8.7 雙曲線課件(理).ppt

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第七節(jié) 雙 曲 線,【知識梳理】 1.雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F2(|F1F2|=2c0)的距離_ _為非零常數(shù)2a(2a2c)的點的軌跡叫做雙曲 線.這兩個定點叫做雙曲線的_,兩焦點間的距離叫 做_.,之差,的絕對值,焦點,焦距,(2)集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a0,c0. 當(dāng)_時,M點的軌跡是雙曲線; 當(dāng)_時,M點的軌跡是兩條射線; 當(dāng)_時,M點不存在.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),xa或x-a,y-a或ya,坐標(biāo)軸,原點,坐標(biāo)軸,原點,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),(1,+),2a,2b,a2+b2,【特別提醒】 1.漸近線與離心率 =1(a0,b0)的一條漸近線的斜率為 = . 2.若P為雙曲線上一點,F為其對應(yīng)焦點,則|PF|c-a. 3.區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系,在 橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P61習(xí)題2.3A組T1改編)雙曲線 上 的點P到點(5,0)的距離是6,則點P的坐標(biāo)是 .,【解析】根據(jù)雙曲線方程可知c= =5. 所以焦點為F2(5,0),F1(-5,0). 設(shè)P(x,y),由兩點間距離公式: |PF2|= =6, 所以點P在雙曲線右支上, |PF1|= ,因為|PF1|-|PF2|=2a=8, 所以 =2a+6=14, 所以(x+5)2+y2=196, 聯(lián)立得x=8. 代入原式可得y=3 . 所以點P坐標(biāo)為(8,3 ). 答案:(8,3 ),2.(選修2-1P61練習(xí)T3改編)以橢圓 的焦點為 頂點,頂點為焦點的雙曲線方程為 .,【解析】設(shè)要求的雙曲線方程為 (a0,b0), 由橢圓 ,得焦點為(1,0),頂點為(2,0). 所以雙曲線的頂點為(1,0),焦點為(2,0). 所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3, 所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2- =1. 答案:x2- =1,感悟考題 試一試 3.(2015安徽高考)下列雙曲線中,漸近線方程為y=2x的是 ( ),【解析】選A.由雙曲線的漸近線方程的公式可知選項A的漸近線方程為y=2x.,4.(2015四川高考)過雙曲線x2- =1的右焦點且與x 軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,則 |AB|= ( ),【解析】選D.由雙曲線方程知,右焦點為(2,0),直線 x=2與漸近線y= x的交點A(2,2 ),B(2,-2 ), 所以=4 .,5.(2016阜陽模擬)雙曲線 =1的焦距為( ),【解析】選C.由雙曲線 =1,易知c2=3+2=5,所以 c= ,所以雙曲線 =1的焦距為2 .,考向一 雙曲線的定義及其應(yīng)用 【典例1】(1)(2015福建高考)若雙曲線E: =1 的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3, 則|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3,(2)(2015全國卷)已知F是雙曲線C:x2- =1的右 焦點,P是C左支上一點, 當(dāng)APF周長最小時, 該三角形的面積為 .,【解題導(dǎo)引】(1)由已知條件以及雙曲線的定義,即可得出|PF2|的值. (2)利用雙曲線的定義以及兩點之間線段最短即可求出APF周長的最小值,進而求出三角形的面積.,【規(guī)范解答】(1)選B.因為|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=9或-3(舍去).,(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0), F(-3,0),又 所以|AF|= =15,APF周長 l=|PA|+|PF|+|AF|, 又|PF|-|PF|=2, 所以|PF|=|PF|+2,所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點共線時,APF周長最小,如圖所示.,設(shè)P(x,y), 直線AF的方程為 =1, 聯(lián)立得 消去x得 y2+36y-96 =0,解得y=-8 (舍)或y=2 ,則P(x,2 ). 因為SAPF=SAFF-SPFF = 66 - 62 =12 . 答案:12,【規(guī)律方法】“焦點三角形”中常用到的知識點及技巧 (1)常用知識點:在“焦點三角形”中,正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用. (2)技巧:經(jīng)常結(jié)合|PF1|-|PF2|=2a,運用平方的方法,建立它與|PF1|PF2|的聯(lián)系.,提醒:利用雙曲線的定義解決問題,要注意三點: (1)距離之差的絕對值.(2)2a|F1F2|.(3)焦點所在坐標(biāo)軸的位置.,【變式訓(xùn)練】已知點F1(-3,0)和F2(3,0),動點P到F1,F2的距離之差為4,則點P的軌跡方程為 ( ),【解析】選B.由題設(shè)知點P的軌跡方程是焦點在x軸上 的雙曲線的右支,設(shè)其方程為 =1(x0,a0,b0), 由題設(shè)知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以點P的軌跡方程為 =1(x0).,【加固訓(xùn)練】 1.(2016陽泉模擬)已知點F1,F2分別為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在雙曲線C上,且F1PF2=60,則|PF1|PF2|等于 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,【解析】選B.由題意知a=1,b=1,c= , 所以|F1F2|=2 ,在PF1F2中, 由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60 =|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8, ,由雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=2a=2, 兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4, -得|PF1|PF2|=4.,2.如果雙曲線 =1上一點P到它的右焦點的距離 是8,那么點P到它的左焦點的距離是 ( ) A.4 B.12 C.4或12 D.不確定,【解析】選C.由雙曲線方程,得a=2,c=4.根據(jù)雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2a,則|PF1|=|PF2|2a=84, 所以|PF1|=4或12,經(jīng)檢驗二者都符合題意.,3.點P是雙曲線 =1(a0,b0)右支上一點,點F1, F2分別為左、右焦點,且焦距為2c,則PF1F2的內(nèi)切圓 圓心M的橫坐標(biāo)是 ( ) A.a B.b C.c D.a+b-c,【解析】選A.如圖,內(nèi)切圓圓心M到各邊的距離分別為MA,MB,MC,切點分別為A,B,C,由三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)則有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c, 所以|AF1|=a+c,則|OA|=|AF1|-|OF1|=a. 因為M的橫坐標(biāo)和A的橫坐標(biāo)相同,所以PF1F2的內(nèi)切圓圓心M的橫坐標(biāo)為a.,考向二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:與雙曲線有關(guān)的范圍問題 【典例2】(2015全國卷)已知M(x0,y0) 是雙曲線C: -y2=1上的一點,F1,F2是C的 兩個焦點,若 0,則y0的取值范圍是( ),【解題導(dǎo)引】直接利用向量的數(shù)量積列出并解不等式,即可求出y0的取值范圍.,【規(guī)范解答】選A.因為F1(- ,0),F2( ,0), =1,所以 0,即3y02-10,解得- y0 .,【母題變式】 1.若本例中的條件“ 0”改為“ =0”,試求MF1F2的面積.,【解析】由題意知:F1(- ,0),F2( ,0), =1, 所以 =3y02-1=0,解得:y0= , 又因為|F1F2|=2 ,所以MF1F2的面積= =1, 即MF1F2的面積為1.,2.若本例中的條件“ 0”去掉,試求 的范圍.,【解析】由題意知:F1(- ,0),F2( ,0), =1, 所以 又因為x022,所以 -4-1, 即 -1.,命題方向2:與雙曲線的離心率、漸近線相關(guān)的問題 【典例3】(1)(2015全國卷)已知A,B為雙曲線E的左、右頂點,點M在E上,ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率為 ( ) A. B.2 C. D.,(2)(2015天津高考)已知雙曲線 =1(a0,b0) 的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+ y2=3相切,則雙曲線的方程為 ( ),【解題導(dǎo)引】(1)依據(jù)已知條件,想辦法得出關(guān)于a,c的等式,解方程即可得出離心率的值. (2)可由已知條件,得出關(guān)于a,b的兩個方程,解方程組即可得出a,b的值,進而得出雙曲線方程.,【規(guī)范解答】(1)選D.設(shè)雙曲線方程為 =1(a0, b0),如圖所示,|AB|=|BM|,ABM=120,過點M作MNx軸,垂足為N,在 RtBMN中,|BN|=a,|MN|= a,故點M的坐標(biāo)為M(2a, a),代入雙曲線方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以 e= .,(2)選D.由雙曲線的漸近線bx-ay=0與圓(x-2)2+y2=3相 切可知 又因為c= =2,所以有a=1, b= ,故雙曲線的方程為x2- =1.,【技法感悟】 1.與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路 (1)若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解. (2)若條件中沒有不等關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決.,2.與雙曲線離心率、漸近線有關(guān)問題的解題策略 (1)雙曲線的離心率e= 是一個比值,故只需根據(jù)條件 得到關(guān)于a,b,c的一個關(guān)系式,利用b2=c2-a2消去b,然后 變形成關(guān)于e的關(guān)系式,并且需注意e1.,(2)求雙曲線 =1(a0,b0)的漸近線的方法是令 =0,即得兩漸近線方程 =0. (3)與雙曲線 =1共漸近線的方程可設(shè)為 =(0). (4)若漸近線的方程為y= x,則可設(shè)雙曲線方程為 =(0).,【題組通關(guān)】 1.(2014全國卷)已知雙曲線 =1(a0)的離 心率為2,則a= ( ) 【解析】選D.由雙曲線的離心率可得 =2,解得 a=1.,2.(2016成都模擬)設(shè)雙曲線C的中心為點O,若有且只 有一對相交于點O,所成的角為60的直線A1B1和A2B2, 使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與 雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是 ( ),【解析】選A.因為有且只有一對相交于點O,所成的角 為60的直線A1B1和A2B2,所以直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸 對稱,并且直線A1B1和A2B2與x軸的夾角為30,雙曲線 的漸近線與x軸的夾角大于30且小于等于60,否則 不滿足題意.可得 tan 30,即 所以 e,同樣的,當(dāng) tan 60,即 3時,所以e2. 所以雙曲線的離心率的范圍是 .,3.(2016煙臺模擬)已知雙曲線x2- =1的左頂點為 A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則 的最 小值為 .,【解析】由題可知A1(-1,0),F2(2,0). 設(shè)P(x,y)(x1), 則 =(-1-x,-y), =(2-x,-y), =(-1-x)(2- x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5. 因為x1,函數(shù)f(x)=4x2-x-5的圖象的對稱軸為x= ,所以當(dāng)x=1時, 取得最小值-2. 答案:-2,考向三 雙曲線的綜合問題 【典例4】(1)(2016寧德模擬)已知橢圓 =1 (a0)與雙曲線 =1有相同的焦點,則a的值為 ( ),(2)(2015江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點.若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實數(shù)c的最大值為 .,【解題導(dǎo)引】(1)依據(jù)橢圓、雙曲線的焦點坐標(biāo)相同,即可確定a的值;(2)利用點到直線的距離公式直接求解即可.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為橢圓 =1(a0)與雙曲 線 =1有相同的焦點( ,0), 則有a2-9=7,所以a=4.,(2)設(shè)P(x,y)(x1),因為直線x-y+1=0平行于漸近線x- y=0,所以c的最大值為直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間 的距離,由兩平行線間的距離公式知,該距離為 答案:,【母題變式】 1.若將本例(1)中的條件“有相同的焦點”,改為“有相同的焦距”,試求a的值.,【解析】因為雙曲線 =1中a2=4,b2=3,所以c2=7, 因此,雙曲線的焦距為2 .對于橢圓 =1,當(dāng)a2 9時,c2=a2-9=7,a2=16,又因為a0,所以a=4;當(dāng)a20,所以a= . 綜上可知:a=4或 .,2.若將本例(1)中的條件“有相同的焦點”,改為“有相同的頂點”,試求a的值.,【解析】因為雙曲線 =1的頂點坐標(biāo)為(2,0), (-2,0),所以橢圓 =1(a0)的頂點坐標(biāo)有(2,0), (-2,0),所以a2=4,又因為a0,所以a=2.,【規(guī)律方法】解決與雙曲線有關(guān)綜合問題的方法 (1)解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時,要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系,再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解.,(2)解決直線與雙曲線的綜合問題,通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形注意取舍.,【變式訓(xùn)練】(2016秦皇島模擬)已知雙曲線 =1(a0,b0)的一條漸近線方程是y= x,它的一個焦 點在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為( ),【解析】選C.拋物線y2=24x的準(zhǔn)線方程為x=-6,與x的 交點即為雙曲線的左焦點F1(-6,0),故c=6. 由雙曲線的一條漸近線方程為y= x可知 由 所以雙曲線的方程為 =1.,【加固訓(xùn)練】 1.(2016張掖模擬)已知雙曲線 =1(a0,b0) 的左、右焦點分別為F1,F2,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲 線漸近線的一個交點為(3,4),則此雙曲線的方程為 ( ),【解析】選C.由題意知,圓的半徑為5,又點(3,4)在經(jīng) 過第一、三象限的漸近線y= x上,因此有 解得 所以此雙曲線的方程為 =1.,2.已知雙曲線 =1(a0,b0)的一個焦點與圓 x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于 , 則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( ),【解析】選A.由題意知圓心坐標(biāo)為(5,0),即c=5, 又e= 所以a2=5,b2=20, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1.,3.(2016開封模擬)從雙曲線 =1(a0,b0)的 左焦點F引圓x2+y2=a2的切線,切點為T,延長FT交雙曲線 右支于P點,若M為線段FP的中點,O為坐標(biāo)原點,則|MO|- |MT|與b-a的關(guān)系為 ( ),A.|MO|-|MT|b-a B.|MO|-|MT|b-a C.|MO|-|MT|=b-a D.|MO|-|MT|與b-a無關(guān),【解析】選C.設(shè)F1是雙曲線的右焦點,連接PF1,由雙曲線的定義知|PF|-|PF1|=2a, 因為OM是FF1P的中位線, 所以|PF1|=2|OM|. 又M是FP的中點,所以|PF|=2|MF|. 代入得2|MF|-2|OM|=2a,|MF|-|OM|=a. 因為|MF|=|MT|+|TF|, |FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2, 所以|FT|=b.所以|MF|=|MT|+b. 把代入得|MT|+b-|OM|=a, 所以|OM|-|MT|=b-a.,