高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.3 圓的方程課件 文.ppt
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第九章 平面解析幾何,9.3 圓的方程,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.圓的定義 在平面內(nèi),到 的距離等于 的點(diǎn)的 叫圓. 2.確定一個(gè)圓最基本的要素是 和 . 3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa)2(yb)2r2(r0),其中 為圓心, 為半徑. 4.圓的一般方程 x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是 ,其中圓心為 _,半徑r_.,定長,集合,定點(diǎn),圓心,半徑,(a,b),r,D2E24F0,知識(shí)梳理,1,答案,5.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,大致步驟為: (1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程; (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D、E、F的方程組; (3)解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.,6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2,點(diǎn)M(x0,y0) (1)點(diǎn)在圓上:_; (2)點(diǎn)在圓外: _ ; (3)點(diǎn)在圓內(nèi): _.,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( ) (2)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.( ) (3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0,B0,D2E24AF0.( ) (4)方程x22axy20一定表示圓.( ),答案,思考辨析,答案,1.(教材改編)x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是_.,圓x2y24x6y0的圓心為(2,3).,(2,3),考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓,則a的取值范圍是_.,解析 由題意知a24a24(2a2a1)0,,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015北京改編)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是_.,圓的方程為(x1)2(y1)22.,(x1)2(y1)22,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)圓C的圓心在x軸上,并且過點(diǎn)A(1,1)和B(1,3),則圓C的方程為_. 解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0), 點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上, CACB,,解得a2,,圓心為C(2,0),,圓C的方程為(x2)2y210.,(x2)2y210,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2015湖北)如圖,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且AB2. (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_;,解析 由題意,設(shè)圓心C(1,r)(r為圓C的半徑),,解析答案,1,2,3,4,5,(2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為_.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,例1 根據(jù)下列條件,求圓的方程. (1)經(jīng)過P(2,4)、Q(3,1)兩點(diǎn),并且在x軸上截得的弦長等于6;,題型一 求圓的方程,解析答案,解 設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0,,又令y0,得x2DxF0. ,設(shè)x1,x2是方程的兩根, 由|x1x2|6有D24F36, 由解得D2,E4,F(xiàn)8,或D6,E8,F(xiàn)0. 故所求圓的方程為x2y22x4y80,或x2y26x8y0.,(2)圓心在直線y4x上,且與直線l:xy10相切于點(diǎn)P(3,2).,解析答案,思維升華,解 方法一 如圖,設(shè)圓心(x0,4x0),,故圓的方程為(x1)2(y4)28.,方法二 設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2,,解析答案,思維升華,因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.,思維升華,思維升華,(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組,進(jìn)而求出D、E、F的值.,(1)(2014陜西)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線yx對(duì)稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.,解析 由題意知圓C的圓心為(0,1),半徑為1, 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.,x2(y1)21,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線xy10相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為_.,解析 由已知kAB0, 所以AB的中垂線方程為x3. 過B點(diǎn)且垂直于直線xy10的直線方程為y1(x2),即xy30, ,所以圓心坐標(biāo)為(3,0),,所以圓C的方程為(x3)2y22.,(x3)2y22,解析答案,命題點(diǎn)1 斜率型最值問題,題型二 與圓有關(guān)的最值問題,解析答案,則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切,斜率取得最大、最小值.,解析答案,命題點(diǎn)2 截距型最值問題,例3 在例2條件下,求yx的最小值和最大值. 解 設(shè)yxb,則yxb, 僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時(shí),截距b取最小值,,解析答案,命題點(diǎn)3 距離型最值問題,例4 在例2條件下,求x2y2的最大值和最小值. 解 x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方, 由平面幾何知識(shí)知,在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn) 處取得最大值和最小值(如圖).,解析答案,思維升華,思維升華,與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. (2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.形如u 型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題;形如taxby型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題; 形如(xa)2(yb)2型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問題.,(1)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn),Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn),則PQ的最小值為 _.,解析 PQ的最小值為圓心到直線的距離減去半徑. 因?yàn)閳A的圓心為(3,1),半徑為2, 所以PQ的最小值d3(3)24.,4,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)已知M為圓C:x2y24x14y450上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(2,3). 求MQ的最大值和最小值;,解 由圓C:x2y24x14y450, 可得(x2)2(y7)28, 所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),,解析答案,設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2),,解析答案,例5 設(shè)定點(diǎn)M(3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.,題型三 與圓有關(guān)的軌跡問題,解析答案,思維升華,解 如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),,解析答案,又N(x3,y4)在圓上,故(x3)2(y4)24. 因此所求軌跡為圓:(x3)2(y4)24,,思維升華,思維升華,求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí),根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法: 直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列方程. 代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.,已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn). (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;,解 設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y). 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上, 所以(2x2)2(2y)24, 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)若PBQ90,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.,解 設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y),連結(jié)BN. 在RtPBQ中,PNBN. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連結(jié)ON,則ONPQ, 所以O(shè)P2ON2PN2ON2BN2, 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.,解析答案,返回,思想與方法系列,典例 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上,求圓C的方程. 思維點(diǎn)撥 本題可采用兩種方法解答,即代數(shù)法和幾何法.,19.利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑,思想與方法系列,溫馨提醒,巧妙解法,解析答案,思維點(diǎn)撥,返回,規(guī)范解答 解 一般解法 (代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),,故圓的方程是x2y26x2y10.,設(shè)圓的方程是x2y2DxEyF0 (D2E24F0),,溫馨提醒,巧妙解法,所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.,溫馨提醒,返回,(1)一般解法(代數(shù)法):可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn),設(shè)圓的方程為一般式,代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式. (2)巧妙解法(幾何法):利用圓的性質(zhì),知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上,從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式,簡(jiǎn)化計(jì)算.顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小,因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題.,溫馨提醒,思想方法 感悟提高,1.確定一個(gè)圓的方程,需要三個(gè)獨(dú)立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法,是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式,進(jìn)而確定其中的三個(gè)參數(shù). 2.解答圓的問題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì),簡(jiǎn)化運(yùn)算.,方法與技巧,1.求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件,所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程. 2.過圓外一定點(diǎn),求圓的切線,應(yīng)該有兩個(gè)結(jié)果,若只求出一個(gè)結(jié)果,應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.已知點(diǎn)A(1,1),B(1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是_.,解析 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),,圓的方程為x2y22.,x2y22,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.設(shè)圓的方程是x2y22ax2y(a1)20,若0a1,則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_. 解析 將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y1)22a, 因?yàn)?a1, 所以(0a)2(01)22a(a1)20,,所以原點(diǎn)在圓外.,原點(diǎn)在圓外,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓M的方程為(x1)2y24. 答案 (x1)2y24,解析 由已知,可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0),a2,半徑為r,,4.點(diǎn)P(4,2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_ _. 解析 設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2,(y1)21,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又圓與直線2xy10相切,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓心坐標(biāo)為(1,2),,則所求圓的方程為(x1)2(y2)25.,答案 (x1)2(y2)25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0),且與直線y1相切,則圓C的方程是 _.,解析答案,7.(2015江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 直線mxy2m10恒過定點(diǎn)(2,1),,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.,(x1)2y22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.(2014湖北)已知圓O:x2y21和點(diǎn)A(2,0),若定點(diǎn)B(b,0)(b2)和常數(shù)滿足:對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M,都有MBMA,則 (1)b_;,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 因?yàn)辄c(diǎn)M為圓O上任意一點(diǎn), 所以不妨取圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(1,0)和(1,0). 當(dāng)M點(diǎn)取(1,0)時(shí),由MBMA,得|b1|; 當(dāng)M點(diǎn)取(1,0)時(shí),由MBMA,得|b1|3. 消去,得|b1|3|b1|. 兩邊平方,化簡(jiǎn)得2b25b20,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)_.,解析答案,9.一圓經(jīng)過A(4,2),B(1,3)兩點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為2,求此圓的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0. 令y0,得x2DxF0,所以x1x2D. 令x0,得y2EyF0,所以y1y2E. 由題意知DE2,即DE20. 又因?yàn)閳A過點(diǎn)A、B,所以1644D2EF0. 19D3EF0. 解組成的方程組得D2,E0,F(xiàn)12. 故所求圓的方程為x2y22x120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r. 則y22r2,x23r2. y22x23,即y2x21. P點(diǎn)的軌跡方程為y2x21.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),,y0x01,即y0x01.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,圓P的方程為x2(y1)23.,圓P的方程為x2(y1)23. 綜上所述,圓P的方程為x2(y1)23.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2(y1)24,解析答案,12.設(shè)P為直線3x4y30上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:x2y22x2y10的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形PACB的面積的最小值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 依題意,圓C:(x1)2(y1)21的圓心是點(diǎn)C(1,1),半徑是1,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.若圓x2(y1)21上任意一點(diǎn)(x,y)都使不等式xym0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.,解析答案,解析 據(jù)題意圓x2(y1)21上所有的點(diǎn)都在直線xym0的右上方,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程(x3)2(y3)26,求xy的最大值和最小值.,解 設(shè)xyt,則直線yxt與圓(x3)2(y3)26有公共點(diǎn).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.如圖,經(jīng)過B(1,2)作兩條互相垂直的直線l1和l2,l1交y軸正半軸于點(diǎn)A,l2交x軸正半軸于點(diǎn)C. (1)若A(0,1),求點(diǎn)C的坐標(biāo);,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由直線l1經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,1),B(1,2), 得l1的方程為xy10. 由直線l2l1,且直線l2經(jīng)過點(diǎn)B, 得l2的方程為xy30. 所以,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).,(2)試問是否總存在經(jīng)過O,A,B,C四點(diǎn)的圓?若存在,求出半徑最小的圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,解 因?yàn)锳BBC,OAOC,所以總存在經(jīng)過O,A,B,C四點(diǎn)的圓,且該圓以AC為直徑.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,若l1與y軸不垂直,則兩條直線斜率都存在.,所以直線l1的方程為y2k(x1),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以直線l1的方程為y2k(x1),,解析答案,從而A(0,2k);,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,注意到k0,,返回,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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