高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.5直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 .ppt

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第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),【知識(shí)梳理】 1.直線與平面垂直 (1)定義:直線l與平面內(nèi)的_一條直線都垂直,就說(shuō)直線l與平面互相垂直.,任意,(2)判定定理與性質(zhì)定理:,兩條相交直線,平行,2.直線和平面所成的角 (1)定義:平面的一條斜線和_所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. (2)范圍: .,它在平面上的射影,3.平面與平面垂直 (1)二面角的有關(guān)概念: 二面角:從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做 二面角. 二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點(diǎn),以該點(diǎn)為垂足, 在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作_的兩條射線,這兩條射線所 構(gòu)成的角叫做二面角的平面角. 二面角的范圍:_.,兩個(gè)半平面,垂直于棱,(2)平面和平面垂直的定義:兩個(gè)平面相交,如果所成的二面角 是_,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直. (3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:,直二面角,垂線,交線,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: 直線l不可能和兩個(gè)相交平面都垂直; 當(dāng)時(shí),直線l過(guò)內(nèi)一點(diǎn)且與交線垂直,則l; 異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為 二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形; 若兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選D.正確.否則兩個(gè)平面應(yīng)平行. 錯(cuò)誤.當(dāng)該點(diǎn)是交線上的點(diǎn)時(shí),l與不一定垂直. 錯(cuò)誤.異面直線所成角的范圍是 而二面角的范圍是0,. 錯(cuò)誤.二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形. 錯(cuò)誤.若平面平面,則平面內(nèi)的直線l與可平行,可相交,也可在平面內(nèi).,2.下列條件中,能判定直線l平面的是( ) A.l與平面內(nèi)的兩條直線垂直 B.l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直 C.l與平面內(nèi)的某一條直線垂直 D.l與平面內(nèi)任意一條直線垂直 【解析】選D.由直線與平面垂直的定義,可知D正確.,3.已知如圖,六棱錐P-ABCDEF的底面是正六 邊形,PA平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是 ( ) A.CD平面PAF B.DF平面PAF C.CF平面PAB D.CF平面PAD,【解析】選D.A中,因?yàn)镃DAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立; B中,因?yàn)锳BCDEF為正六邊形,所以DFAF. 又因?yàn)镻A平面ABCDEF,所以PADF,又因?yàn)镻AAF=A,所以DF平面PAF成立; C中,因?yàn)镃FAB,AB平面PAB,CF平面PAB, 所以CF平面PAB; 而D中CF與AD不垂直,故選D.,4.直線a平面,b,則a與b的位置關(guān)系是 . 【解析】由b可得b平行于內(nèi)的一條直線,設(shè)為b.因?yàn)閍,所以ab,從而ab,但a與b可能相交,也可能異面. 答案:垂直(相交垂直或異面垂直),5.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB= . 【解析】如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,BD, 則DOAC,BOAC,故DOB為二面角的平面 角,從而DOB=90.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則 DO=BO= ,所以DB=1,故ADB為等邊三角形,所以DAB=60. 答案:60,考點(diǎn)1 有關(guān)垂直關(guān)系的判斷 【典例1】(1)(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知m,n為異面直線, m平面,n平面.直線l滿足lm,ln,l,l,則( ) A.且l B.且l C.與相交,且交線垂直于l D.與相交,且交線平行于l,(2)(2013廣東高考)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( ) A.若,m,n,則mn B.若,m,n,則mn C.若mn,m,n,則 D.若m,mn,n,則,【解題視點(diǎn)】(1)作出與直線m,n平行的直線,證明平面,相交,然后可證交線與直線l平行. (2)利用面面平行與垂直的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.因?yàn)閙,n為異面直線,m平面, n平面.所以,相交(否則m,n為平行直線). 設(shè)=l, 則lm,ln, 過(guò)空間一點(diǎn)P作mm,nn. 則m,n可確定平面. 由題意知:l,l. 所以ll.,(2)選D.對(duì)于選項(xiàng)A,分別在兩個(gè)垂直平面內(nèi)的兩條直線平行、相交、異面都可能,但未必垂直;對(duì)于選項(xiàng)B,分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線平行、異面都可能;對(duì)于選項(xiàng)C,兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩垂直直線中的一條,不能保證兩個(gè)平面垂直;對(duì)于選項(xiàng)D,m,mn,則n;又因?yàn)閚,則內(nèi)存在與n平行的直線l,因?yàn)閚,則l,由于l,l,所以.,【規(guī)律方法】空間垂直關(guān)系的判斷方法 (1)借助幾何圖形來(lái)說(shuō)明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)、甚至無(wú)需作圖在頭腦中形成印象來(lái)判斷. (2)尋找反例,只要存在反例,那么結(jié)論就不正確. (3)反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況,必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明.,【變式訓(xùn)練】(2014衡水模擬)設(shè)l是直線,是兩個(gè)不同的平面( ) A.若l,l,則 B.若l,l,則 C.若,l,則l D.若,l,則l 【解析】選B.對(duì)于A,若l,l,則,可能相交;對(duì)于B,若l,則平面內(nèi)必存在一直線m與l平行,則m,又m,故.選項(xiàng)C,l可能平行于或l在平面內(nèi);選項(xiàng)D,l還可能平行于或在平面內(nèi).,【加固訓(xùn)練】 1.如果直線l,m與平面,滿足:=l,l,m且m,那么必有( ) A.且lm B.且 C.且m D.m且lm 【解析】選A.m且m,則;m且l,則lm.,2.(2013杭州模擬)設(shè)a,b,c是三條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則ab的一個(gè)充分條件是( ) A.ac,bc B.,a,b C.a,b D.a,b 【解析】選C.對(duì)于選項(xiàng)C,在平面內(nèi)存在cb,因?yàn)閍,所以ac,故ab;A,B選項(xiàng)中,直線a,b可能是平行直線,相交直線,也可能是異面直線;D選項(xiàng)中一定推出ab.,考點(diǎn)2 線面垂直的判定和性質(zhì) 【考情】線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是高考立體幾何的命題熱點(diǎn).試題以解答題形式出現(xiàn),主要考查利用判定定理及性質(zhì)定理證明線線垂直、線面垂直等問(wèn)題,常與線面平行、線線平行問(wèn)題、體積問(wèn)題交匯出現(xiàn),試題難度不大,易得分.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例2】(1)已知ABCD為矩形,PA平面ABCD,下列判斷中正確的是( ) A.ABPC B.AC平面PBD C.BC平面PAB D.平面PBC平面PDC,(2)(2013重慶高考)如圖,四棱錐P-ABCD 中,PA底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2, ACB=ACD= 求證:BD平面PAC; 若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC, 求三棱錐P-BDF的體積.,【解題視點(diǎn)】(1)畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形判斷選項(xiàng)的正誤. (2)由BC=CD及ACB=ACD證明BDAC,再由PA底面ABCD, 得PABD.直接利用線面垂直的判定定理證明; 利用VP-BCD= SBCDPA,VF-BCD= SBCD PA,VP-BDF= VP-BCD-VF-BCD,可求解三棱錐的體積.,【規(guī)范解答】(1)選C.由題意畫(huà)出幾何體 的圖形,如圖,顯然ABPC不正確;AC不垂 直P(pán)O,所以AC平面PBD不正確;BCAB, PA平面ABCD,PABC,PAAB=A, 所以BC平面PAB,正確.,(2)因BC=CD,即BCD為等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC. 因?yàn)镻A底面ABCD,所以PABD. 從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.,三棱錐P-BCD的底面BCD的面積 由PA底面ABCD，得 由PF=7FC,得三棱錐F -BCD的高為 故 所以,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】在證明線面垂直時(shí),一定要嚴(yán)格按照定理要求,不要忽視“平面中的兩條相交直線”這個(gè)條件.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014臺(tái)州模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,點(diǎn)M在邊CD上,點(diǎn)F在邊AB上,且DFAM,垂足為E,若將ADM沿AM折起,使點(diǎn)D位于D位置,連接DB,DC得四棱錐D-ABCM.,(1)求證:AMDF. (2)若DEF= ,直線DF與平面ABCM所成角的大小為 , 求直線AD與平面ABCM所成角的正弦值.,【解析】(1)因?yàn)锳MDE,AMEF, 又因?yàn)镈E,EF是平面DEF內(nèi)兩條相交直線, 所以AM平面DEF,所以AMDF. (2)由(1)知AM平面DEF, 所以平面DEF平面ABCM,且DEF= , 所以過(guò)D作平面ABCM的垂線,垂足H必在EF上, 所以DFE是DF與平面ABCM所成角. 因?yàn)镈EF= ,且DFE= , 所以DEF是等邊三角形,因?yàn)镈E=EF即DE=EF,所以DAF是等腰直角三角形, 設(shè)AD=2,所以AF=2,且EF= , 所以四棱錐D-ABCM的高DH= . 設(shè)直線AD與平面ABCM所成角為,則sin= 所以直線AD與平面ABCM所成角的正弦值為,2.(2013廣東高考)如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊ABC中，D,E分 別是AB,AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G， 將ABF沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐A-BCF，其中 (1)證明：DE平面BCF. (2)證明：CF平面ABF. (3)當(dāng) 時(shí)，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG,【解析】(1)在等邊ABC中，AD=AE，所以 在折疊后 的三棱錐A-BCF中也成立，所以DEBC.因?yàn)镈E平面BCF， BC平面BCF，所以DE平面BCF. (2)在等邊ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)， 所以AFFC， 因?yàn)樵谌忮FA-BCF中， 所以BC2=BF2+CF2,CFBF. 因?yàn)锽FAF=F，所以CF平面ABF.,(3)由(1)可知GECF，結(jié)合(2)可得GE平面DFG.,【加固訓(xùn)練】1.(2014韶關(guān)模擬)已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5,BC=4,AC=3,M是AB邊上的點(diǎn),P是平面ABC外一點(diǎn). 給出下列四個(gè)命題: 若PA平面ABC,則三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形; 若PM平面ABC,且M是AB邊的中點(diǎn),則有PA=PB=PC; 若PC=5,PC平面ABC,則PCM面積的最小值為 ;,若PC=5,P在平面ABC上的射影是ABC內(nèi)切圓的圓心,則點(diǎn)P 到平面ABC的距離為 . 其中正確命題的序號(hào)是 .(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào) 都填上),【解析】由題知ACBC,對(duì)于,若PA平面ABC,則PABC, 又知PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,因此該三棱錐 P-ABC的四個(gè)面均為直角三角形,正確;對(duì)于,由已知得M為 ABC的外心,所以MA=MB=MC.因?yàn)镻M平面ABC,則PMMA, PMMB,PMMC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故正確;對(duì)于 ,要使PCM的面積最小,只需CM最短,在RtABC中,(CM)min,= ,所以(SPCM)min= 5=6,故錯(cuò)誤;對(duì)于,設(shè)P點(diǎn)在 平面ABC內(nèi)的射影為O,且O為ABC的內(nèi)心,由平面幾何知識(shí)得內(nèi) 切圓半徑為r=1,且OC= ,在RtPOC中,PO= 所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為 ,故正確. 答案:,2.(2014鄭州模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ABAA1，CAB (1)證明：CB1BA1. (2)已知AB2， 求三棱錐C1-ABA1的體積,【解析】(1)如圖所示，連接AB1. 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱， CAB 所以AC平面ABB1A1， 故ACBA1. 又因?yàn)锳BAA1， 所以四邊形ABB1A1是正方形，所以BA1AB1. 又CAAB1A， 所以BA1平面CAB1，故CB1BA1.,(2)因?yàn)锳BAA12，BC 所以ACA1C11. 由(1)知，A1C1平面ABA1， 所以,3.如圖(1),在RtABC中,C=90,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn), 點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使 A1FCD,如圖(2).,(1)求證:DE平面A1CB. (2)求證:A1FBE. (3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C平面DEQ?說(shuō)明理由. 【解析】(1)因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn), 所以DEBC. 又因?yàn)镈E平面A1CB,BC平面A1CB, 所以DE平面A1CB.,(2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC. 所以DEA1D,DECD,A1DCD=D, 所以DE平面A1DC. 而A1F平面A1DC,所以DEA1F. 又因?yàn)锳1FCD,且DECD=D,所以A1F平面BCDE, 所以A1FBE.,(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C平面DEQ. 理由如下:如圖,分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQBC. 又因?yàn)镈EBC, 所以DEPQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE平面A1DC, 所以DEA1C.,又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn), 所以A1CDP.又DEDP=D, 所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C平面DEQ.,考點(diǎn)3 面面垂直的判定和性質(zhì) 【典例3】(2013山東高考)如圖,四棱錐 P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD, E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn). (1)求證:CE平面PAD. (2)求證:平面EFG平面EMN.,【解題視點(diǎn)】(1)本題考查線面平行的證法,可利用線線平行,也可利用面面平行來(lái)證明線面平行. (2)本題考查了面面垂直的判定,在平面EMN中找一條直線MN,確定MN平面EFG即可.,【規(guī)范解答】(1)方法一:取PA的中點(diǎn)H,連接EH,DH. 因?yàn)镋為PB的中點(diǎn), 所以EHAB,EH= AB. 又ABCD,CD= AB, 所以EHCD,EH=CD. 因此四邊形DCEH是平行四邊形. 所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD, 因此CE平面PAD .,方法二:連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn), 所以AF= AB.又CD = AB,所以AF=CD. 又AFCD,所以四邊形AFCD為平行四邊形. 因此CFAD. 又CF平面PAD,AD平面PAD,所以CF平面PAD. 因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EFPA.又EF平面PAD,AP平面PAD, 所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEF=F,故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF,所以CE平面PAD.,(2)因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn), 所以EFPA.又ABPA . 所以ABEF . 同理可證ABFG. 又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG, 因此AB平面EFG,又M,N分別為PD,PC的中點(diǎn), 所以MNCD .又ABCD, 所以MNAB, 因此MN平面EFG,又MN平面EMN, 所以平面EFG平面EMN.,【易錯(cuò)警示】關(guān)注面面垂直的條件 本例中(2)證明平面EFG平面EMN,要關(guān)注平面與平面垂直判定定理的兩個(gè)條件,即MN平面EFG,又MN平面EMN,避免步驟不全導(dǎo)致失誤.,【互動(dòng)探究】若本例條件不變,證明:平面EMN平面PAC. 【證明】因?yàn)镋,F為PB,AB的中點(diǎn),則EFPA, 又因?yàn)镚為BC的中點(diǎn),則GFAC,而GFEF=F,PACA=A,所以平面EFG平面PAC. 因?yàn)槠矫鍱FG平面EMN. 所以平面EMN平面PAC.,【規(guī)律方法】面面垂直的證明方法 (1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.,提醒:兩平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面.這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù).運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.,【變式訓(xùn)練】在如圖所示的幾何體中,四邊形 ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,E,G,F 分別為MB,PB,PC的中點(diǎn),且AD=PD=2MA. (1)求證:平面EFG平面PDC. (2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.,【解析】(1)由已知MA平面ABCD,PDMA, 得PD平面ABCD. 又BC平面ABCD,所以PDBC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形, 所以BCDC. 又PDDC=D,因此BC平面PDC. 在PBC中,因?yàn)镚,F分別為PB,PC的中點(diǎn), 所以GFBC,因此GF平面PDC. 又GF平面EFG,所以平面EFG平面PDC.,(2)因?yàn)镻D平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA1， 則PDAD2， 所以 由于DA平面MAB，且PDMA， 所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離， 所以VP-MABVP-ABCD14.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD 平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分別 是AP,AD的中點(diǎn). 求證:(1)直線EF平面PCD. (2)平面BEF平面PAD.,【證明】(1)在PAD中,因?yàn)镋,F分別為AP,AD的中點(diǎn), 所以EFPD. 又因?yàn)镋F平面PCD,PD平面PCD, 所以直線EF平面PCD.,(2)連接BD.因?yàn)锳B=AD,BAD=60, 所以ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BFAD. 因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,BF平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD. 又因?yàn)锽F平面BEF. 所以平面BEF平面PAD.,2.如圖,在ABC中,ABC=45,BAC=90,AD是BC上的高,沿AD把ABD折起,使BDC=90. (1)證明:平面ADB平面BDC. (2)若BD=1,求三棱錐D-ABC的表面積.,【解析】(1)因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高, 所以當(dāng)ABD折起后,ADDC,ADDB, 又DBDC=D,所以AD平面BDC, 又因?yàn)锳D平面ADB. 所以平面ADB平面BDC.,(2)由(1)知，DADB,DBDC,DCDA, 因?yàn)镈B=DA=DC=1， 所以AB=BC=CA= ABC=60，,3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD 為菱形,BAD=60,Q為AD的中點(diǎn). (1)若PA=PD,求證:平面PQB平面PAD. (2)點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定t的 值,使PA平面MQB.,【解析】(1)如圖,連接BD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形, BAD=60, 所以ABD為正三角形. 又因?yàn)镼為AD的中點(diǎn), 所以ADBQ. 因?yàn)镻A =PD,Q為AD的中點(diǎn),所以ADPQ. 又BQPQ=Q,所以AD平面PQB. 又AD平面PAD, 所以平面PQB平面PAD.,(2)當(dāng) 時(shí)，PA平面MQB. 連接AC交BQ于點(diǎn)N，連接MN. 由AQBC可得，ANQCNB，所以 因?yàn)镻A平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN， 所以PAMN. 所以 即 所以,考點(diǎn)4 線面角與二面角的求法 【典例4】(2014寧波模擬)如圖所示,三棱 柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且 側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長(zhǎng)是 ,D是AC的中點(diǎn). (1)求證:B1C平面A1BD. (2)求二面角A1-BD-A的大小. (3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.,【解題視點(diǎn)】(1)三棱柱的側(cè)面是矩形,對(duì)角線A1B,AB1的交點(diǎn)與點(diǎn)D的連線平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形,D為AC的中點(diǎn),由側(cè)面與底面垂直,可以得到BD平面ACC1A1,BD A1D,A1DA就是二面角的平面角.(3)根據(jù)(2)得平面A1BD平面A1AD,只要過(guò)點(diǎn)A作A1D的垂線即可得到點(diǎn)A在平面A1BD內(nèi)的射影,即得到了線面角.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P,連接PD,則P為AB1的中點(diǎn),因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以PDB1C. 又因?yàn)镻D平面A1BD,B1C平面A1BD,所以B1C平面A1BD.,(2)由題知,平面ACC1A1平面ABC, 平面ACC1A1平面ABC=AC,又因?yàn)锽DAC,則BD平面ACC1A1,所以BDA1D,所以A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角. 因?yàn)?則 即二面角A1-BD-A的大小是,(3)作AMA1D于M.由(2)，易知BD平面ACC1A1， 因?yàn)锳M平面ACC1A1，所以BDAM. 因?yàn)锳1DBD=D，所以AM平面A1BD. 連接MP，易知APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角. 因?yàn)锳A1= ，AD=1，所以在RtAA1D中，A1DA= ， 所以AM=1sin 60= 所以sinAPM= 所以直線AB1與平面A1BD所成 的角的正弦值為 .,【規(guī)律方法】 1.求空間角的三個(gè)步驟 (1)找:根據(jù)圖形找出相關(guān)的線面角或二面角. (2)證:證明找出的角即為所求的角. (3)算:根據(jù)題目中的數(shù)據(jù),通過(guò)解三角形求出所求角. 2.空間角的求法 (1)線面角的求法:找出斜線在平面上的射影,作出垂線,確定垂足.,(2)二面角的求法: 直接法:根據(jù)概念直接作,如二面角的棱是兩 個(gè)等腰三角形的公共底邊,就可以取棱的中點(diǎn); 垂線法:如圖,過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn) A作另一個(gè)半平面的垂線,再?gòu)拇棺鉈向二面角 的棱作垂線,垂足為C,這樣二面角的棱就垂直于 這兩個(gè)垂線所確定的平面ABC,連接AC,則AC也與二面角的棱垂直,ACB就是二面角的平面角或其補(bǔ)角.,【變式訓(xùn)練】(2014?？谀M)如圖,在 四棱錐P-ABCD中,ADBC,ABAD,ABPA, BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB平面ABCD, (1)求證:平面PED平面PAC. (2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ,求二面角 A-PC-D的平面角的余弦值.,【解析】(1)如圖所示,取AD的中點(diǎn)F, 連接BF,則FD BE, 所以四邊形FBED是平行四邊形,所以 FBED. 因?yàn)镽tBAF和RtCBA中, 所以RtBAFRtCBA,易知BFAC,所以EDAC.,又因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,ABPA, 所以PA平面ABCD,ED平面ABCD, 所以PAED,因?yàn)镻AAC=A, 所以ED平面PAC,因?yàn)镋D平面PED, 所以平面PED平面PAC.,(2)設(shè)ED交AC于G，連接PG， 則EPG是直線PE與平面PAC所成的角.設(shè)BE=1， 由AGDCGE，知 因?yàn)锳B=AD=2,所以 因?yàn)閟inEPG= 所以PE=3,AE= ,PA= 作GHPC于H，連接HD，由PCDE,PC平面HDG， 所以PCHD，所以GHD是二面角A-PC-D的平面角.,因?yàn)镻CAGCH,所以 則 得cosGHD= ,即二面角A-PC-D的平面角的余弦值為,【加固訓(xùn)練】 1.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為 ( ),【解析】選D.BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所 成的角,在三棱錐D-ACD1中,由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底 面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的中心H,連接D1H,DH,則 DD1H為DD1與平面ACD1所成的角,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則 cosDD1H=,2.在三棱錐P-ABC中,PC,AC,BC兩兩垂直, BC=PC=1,AC=2,E,F,G分別是AB,AC,AP的 中點(diǎn). (1)證明:平面GFE平面PCB. (2)求二面角B-AP-C的正切值.,【解析】(1)因?yàn)镚,E,F分別為AP,AB,AC的中點(diǎn),所以GFPC,EFBC, 又GF平面PBC,EF平面PBC, PC平面PBC,BC平面PBC, 所以GF平面PBC,EF平面PBC, 又GFEF=F,所以平面GFE平面PCB.,(2)過(guò)C作CHAP交AP于點(diǎn)H,連接BH, 因?yàn)镻C,AC,BC兩兩垂直,所以BC平面APC, 所以BCAP,又CHBC=C,所以AP平面BHC, 所以APBH,所以CHB就是二面角B-AP-C的平面角. 在RtPAC中,CH= 在RtBHC中,tanCHB= 故二面角B-AP-C的正切值為 .,3.(2014哈爾濱模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,F分別為PC，CD的中點(diǎn)，DE=EC. (1)求證：平面ABE平面BEF. (2)設(shè)PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成 銳二面角 求a的取值范圍.,【解析】(1)因?yàn)锳BCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,F為CD的中點(diǎn)， 所以四邊形ABFD為矩形，ABBF. 因?yàn)镈E=EC，所以DCEF,又ABCD,所以ABEF. 因?yàn)锽FEF=F,所以AB平面BEF，AB平面ABE， 所以平面ABE平面BEF.,(2)連AC交BF于點(diǎn)K,連接AF,四邊 形ABCF為平行四邊形,所以K為AC 的中點(diǎn),連EK,則EKPA,EK平 面ABCD,BDEK,作KHBD于H點(diǎn), 所以BD平面EKH,連EH,則BDEH,EHK即為. 在RtEHK中， 解得,【規(guī)范解答9】垂直關(guān)系的證明與求解 【典例】(14分)(2013浙江高考改編) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD, AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,ABC=120, G為線段PC上的點(diǎn). (1)證明:BD平面PAC. (2)若G為PC的中點(diǎn),求DG的長(zhǎng). (3)若G滿足PC平面BGD,求 的值.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)設(shè)點(diǎn)O為AC，BD的交點(diǎn)， 由AB=BC,AD=CD，得BD是線段AC的中垂線. 所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，BDAC. 2分 又因?yàn)镻A平面ABCD，BD平面ABCD， 所以PABD. 又ACPA=A， 所以BD平面PAC. 4分,(2)連接OG，由(1)可知 OD平面PAC，因?yàn)镺G平面PAC, 所以O(shè)DOG, 由題意得 在ABC中，AC= 6分 所以 在RtOCD中， 在RtOGD中， 9分,(3)因?yàn)镻C平面BGD，OG平面BGD， 所以PCOG， 在RtPAC中，得 因?yàn)镚OCAPC，所以 , 12分 所以 從而 所以 14分,【點(diǎn)題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練,能力遷移 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB平面PAD, ABCD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn), 且DF= AB,PH為PAD中AD邊上的高. (1)證明:PH平面ABCD. (2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積. (3)證明:EF平面PAB.,【解析】(1)AB平面PAD，PH平面PADPHAB， 又PHAD,AD，AB平面ABCD， ADAB=APH平面ABCD. (2)E是PB的中點(diǎn)點(diǎn)E到平面BCF的距離 所以三棱錐E-BCF的體積,(3)取PA的中點(diǎn)為G，連接DG,EG. PD=ADDGPA， 又AB平面PAD，AB平面PAB平面PAD平面PAB， 又平面PAD平面PAB=PA， DG平面PADDG平面PAB， 點(diǎn)E,G是棱PB,PA的中點(diǎn)EG AB， 又DF ABEG DFDGEF， 得：EF平面PAB.,