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指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)專題
1.函數(shù)值域?yàn)椋? )
A. B. C. D.
2.給出下列三個(gè)等式:,.下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是( )
A. B. C. D.
3.以下四個(gè)數(shù)中的最大者是( )
A.(ln2)2 B.ln(ln2) C.ln D.ln2
4.若A=,B=,則的元素個(gè)數(shù)為( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
5.設(shè)是奇函數(shù),則使的的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.對(duì)于函數(shù)①,②,③,判斷如下三個(gè)命題的真假:
命題甲:是偶函數(shù);
命題乙:在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
命題丙:在上是增函數(shù).
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是( )
A.①③ B.①② C.③ D.②
7.函數(shù)y=是( )
(A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù) (C)既奇又偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù)
8.設(shè)均為正數(shù),且則( )
A. B. C. D.
9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镸,的定義域?yàn)镹,則MN( )
A. B. C. D.
10.設(shè)a{-1,1,,3},則使函數(shù)y=xa的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有a值為( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
11.設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上,它的圖象關(guān)于直線=1對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),=,則有( )
A. B.
C. D.
12.函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
13.函數(shù)=與=在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是( )
14.設(shè),函數(shù)=在區(qū)間上的最大值與最小值之差為,則=( )
A. B.2 C.2 D.4
15.若,且,則與之間的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.無法確定
16.函數(shù)的圖象大致是( )
17.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則____________。
18.函數(shù)的定義域?yàn)開________。
19.設(shè)函數(shù),則其反函數(shù)的定義域?yàn)開________。
20.方程的解是_________。
21.若函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的最大值是,且是偶函數(shù),則________.
22.已知函數(shù)(且)的圖象如圖,則函數(shù)的圖象可能是________
23.設(shè)(且),若(,),則的值等于________。
24.將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位,得到圖象C1,再將C1向上平移一個(gè)單位得到圖象C2,則C2的解析式為________。
25.若函數(shù)y=lg(ax2+2x+1)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________。
26.若函數(shù)y=log2(kx2+4kx+3)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________。
27.給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)(且)與函數(shù)(且)的定義域相同;
②函數(shù)和的值域相同;
③函數(shù)與都是奇函數(shù);
④函數(shù)與在區(qū)間上都是增函數(shù)。
其中正確命題的序號(hào)是:__________。(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)
28.直線()與函數(shù)、、、的圖像依次交于A、B、C、D四點(diǎn),則這四點(diǎn)從上到下的排列次序是________。
29.若關(guān)于的方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________。
30.已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值。
31.根據(jù)函數(shù)的圖象判斷:當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí),方程無解?有一解?有兩解?
32.已知是方程xlgx=2008的根,是方程x·10x=2008的根,求的值.
33.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足2b=a+c,且滿足2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),同時(shí)a+b+c=15,求實(shí)數(shù)a、b、c的值。
34.已知。
(1)求的定義域;(2)判斷的奇偶性;(3)求使的的取值范圍。
35.已知函數(shù)。
(1)求函數(shù)的解析式;(2)求的值;(3)解方程。
36.已知函數(shù)()。
(1)求的定義域、值域;(2)判斷的單調(diào)性;
(3)解不等式。
指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)專題
1.函數(shù)值域?yàn)椋? )
A. B. C. D.
B;[解析] 函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域,原函數(shù)的值域?yàn)椤?
2.給出下列三個(gè)等式:,.下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是( )
A. B. C. D.
B;[解析] 依據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A滿足,C滿足,而D滿足,B不滿足其中任何一個(gè)等式。
3.以下四個(gè)數(shù)中的最大者是( )
A.(ln2)2 B.ln(ln2) C.ln D.ln2
D;[解析] ∵,∴l(xiāng)n(ln2)<0,(ln2)2
0恒成立,當(dāng)k=0時(shí),3>0恒成立;當(dāng)時(shí),即時(shí)也符合題意。
[考點(diǎn)透析]把函數(shù)的定義域問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)不等式的恒成立問題,再結(jié)合參數(shù)的取值情況加以分類解析。
27.給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)(且)與函數(shù)(且)的定義域相同;
②函數(shù)和的值域相同;
③函數(shù)與都是奇函數(shù);
④函數(shù)與在區(qū)間上都是增函數(shù)。
其中正確命題的序號(hào)是:__________。(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)
①、③;[解析] 在①中,函數(shù)(且)與函數(shù)(且)的定義域都是R,則結(jié)論正確;在②中,函數(shù)的值域?yàn)镽,的值域?yàn)椋瑒t結(jié)論錯(cuò)誤;在③中,函數(shù)與都是奇函數(shù),則結(jié)論正確;在④中,函數(shù)在上是增函數(shù),在R上是增函數(shù),則結(jié)論錯(cuò)誤。
[考點(diǎn)透析]綜合考察指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的定義、定義域、值域、函數(shù)性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容。
28.直線()與函數(shù)、、、的圖像依次交于A、B、C、D四點(diǎn),則這四點(diǎn)從上到下的排列次序是________。
D、C、B、A;[解析] 結(jié)合四個(gè)指數(shù)函數(shù)各自的圖象特征可知這四點(diǎn)從上到下的排列次序是D、C、B、A。
[考點(diǎn)透析]結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象規(guī)律,充分考察不同的底數(shù)情況下的指數(shù)函數(shù)的圖象特征問題,加以判斷對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)的上下順序問題。
29.若關(guān)于的方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________。
{m|};[解析] 令,則有,則可轉(zhuǎn)化得,根據(jù)題意,由于有實(shí)根,則,解得。
[考點(diǎn)透析]通過換元,把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程來分析求解,關(guān)鍵要注意換元中對(duì)應(yīng)的參數(shù)y的取值范圍,為求解其他參數(shù)問題作好鋪墊。
30.已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值。
[分析] 考慮到對(duì)數(shù)式去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后,要保證x0,y0,x-2y0這些條件成立。假如x=y,則有x-2y=-x0,這與對(duì)數(shù)的定義不符,從而導(dǎo)致多解。
[解析] 因?yàn)閘gx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,
即x2-5xy+4y2=0,所以(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y,
又因?yàn)閤0,y0,x-2y0,所以x=y不符合條件,應(yīng)舍去,
所以=4,即==4。
[考點(diǎn)透析] 在對(duì)數(shù)式logaN中,必須滿足a0,a1且N0這幾個(gè)條件。在解決對(duì)數(shù)問題時(shí),要重視這幾個(gè)隱含條件,以免造成遺漏或多解。
31.根據(jù)函數(shù)的圖象判斷:當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí),方程無解?有一解?有兩解?
[分析] 可以充分結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象加以判斷.可以把這個(gè)問題加以轉(zhuǎn)換,將求方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)去理解。
[解析] 函數(shù)的圖象可由指數(shù)函數(shù)的圖象先向下平移一個(gè)單位,然后再作軸下方的部分關(guān)于軸對(duì)稱圖形,如下圖所示,
函數(shù)的圖象是與軸平行的直線,
觀察兩圖象的關(guān)系可知:
當(dāng)時(shí),兩函數(shù)圖象沒有公共點(diǎn),所以方程無解;
當(dāng)或時(shí),兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程有一解;
當(dāng)時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),所以方程有兩解.
[考點(diǎn)透析]由于方程解的個(gè)數(shù)與它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)是相等的,所以對(duì)于含字母方程解的個(gè)數(shù)討論,往往用數(shù)形結(jié)合方法加以求解,準(zhǔn)確作出相應(yīng)函數(shù)的圖象是正確解題的前提和關(guān)鍵.
32.已知是方程xlgx=2008的根,是方程x·10x=2008的根,求的值.
[分析] 觀察此題,易看到題中存在和,從而聯(lián)想到函數(shù)與.而可以看成和交點(diǎn)的橫坐標(biāo),同樣可看成和交點(diǎn)的橫坐標(biāo),若利用函數(shù)與的對(duì)稱性,此題便迎刃而解了.
[解析] 令,,設(shè)其交點(diǎn)坐標(biāo)為,
同樣令,它與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
由于反比例函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,則有和關(guān)于直線對(duì)稱,
點(diǎn)即點(diǎn)應(yīng)該在函數(shù)上,所以有=2008.
[考點(diǎn)透析] 中學(xué)數(shù)學(xué)未要求掌握超越方程的求解,故解題中方程是不可能的.而有效的利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題此題就不難了,否則此題是一個(gè)典型的難題.以上求解過程不能算此題超綱.
33.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足2b=a+c,且滿足2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),同時(shí)a+b+c=15,求實(shí)數(shù)a、b、c的值。
[分析] 在解題過程中,遇到求某數(shù)的平方根時(shí),一般應(yīng)求出兩個(gè)值來,再根據(jù)題設(shè)條件來決定取舍,如果僅僅取算術(shù)平方根,那么往往會(huì)出現(xiàn)漏解。
[解析] 因?yàn)?b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,即b=5,
由于2b=a+c=10,則可設(shè)a=5-d,c=5+d,
因?yàn)?lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),
所以2lg4=lg(6-d)+lg(4+d),即16=25-(d-1)2,則有(d-1)2=9,
所以d-1=3,則d=4或d=-2,
所以實(shí)數(shù)a、b、c的值分別為1,5,9或7,5,3。
34.已知。
(1)求的定義域;(2)判斷的奇偶性;(3)求使的的取值范圍。
[解析] (1),即,等價(jià)于,得,
所以的定義域是;
(2)==,
所以,即為奇函數(shù);
(3)由,得,
當(dāng)時(shí),有,解得;
當(dāng)時(shí),有,解得;
故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。
35.已知函數(shù)。
(1)求函數(shù)的解析式;(2)求的值;(3)解方程。
[解析] (1)由于,
上式中,以代可得:,則有,
把代入可得:
,解得;
(2)由(1)得,則;
(3)由(1)得,則(2)得,
則有,即,
解得或,所以原方程的解為:或。
[考點(diǎn)透析]對(duì)于給定抽象函數(shù)關(guān)系式求解對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,要合理選取比較適合的方法加以分析處理,關(guān)鍵是要結(jié)合抽象函數(shù)關(guān)系式的特征,這里用到的是以代的方式來達(dá)到求解函數(shù)解析式的目的。
36.已知函數(shù)()。
(1)求的定義域、值域;(2)判斷的單調(diào)性;
(3)解不等式。
[分析]根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的特征,分析相應(yīng)的定義域問題,同時(shí)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的特征,綜合分析值域與單調(diào)性問題,綜合反函數(shù)、不等式等相關(guān)內(nèi)容,考察相關(guān)的不等式問題。
[解析] (1)要使函數(shù)()有意義,則需要滿足,
即,又,解得,所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?
又,即,所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?
(2)令,由于,則在上是減函數(shù),
又是增函數(shù),所以函數(shù)在上是減函數(shù);
(3)設(shè),則,所以,即,
所以函數(shù)的反函數(shù)為,
由于,得,
由于,則,即,
所以,解得,
而函數(shù)的定義域?yàn)?,故原不等式的解集為?
[考點(diǎn)透析] 主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域、值域、圖象以及主要性質(zhì),應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)數(shù)的大小,以及解指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式等。
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