數(shù)學(xué)排列組合公式.doc

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公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù) R參與選擇的元素個(gè)數(shù) ！-階乘 ，如9！9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2).(n-r+1); 因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n（n-r+1)r舉例：Q1:有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？A1: 123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。 上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式P（3，9)9*8*7,(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）Q2: 有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？A2: 213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。 上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析 例1 設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加各有多少種不同方法？ 解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法 （2）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有 種不同方法 點(diǎn)評(píng) 由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算 例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？ 解 依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排 、 、 中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出： 符合題意的不同排法共有9種 點(diǎn)評(píng) 按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型 例判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果 （1）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：從中任取兩個(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？ （4）有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 分析（1）由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題其他類似分析 （1）是排列問題，共用了 封信；是組合問題，共需握手 （次） （2）是排列問題，共有 （種）不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法 （3）是排列問題，共有 種不同的商；是組合問題，共有 種不同的積 （4）是排列問題，共有 種不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法 例證明 證明 左式 右式 等式成立 點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過程得以簡化 例5化簡 解法一原式 解法二原式 點(diǎn)評(píng) 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡化 例6解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程 解得 （2）原方程可變?yōu)?， ， 原方程可化為 即 ，解得 第六章排列組合、二項(xiàng)式定理 一、考綱要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡單的問題.2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題.3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡單問題.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示 (一)加法原理乘法原理說明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù).例15位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種?解：5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的 報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有33333=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說明排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研 究的對(duì)象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識(shí)不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查.例2由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有()A.60個(gè)B.48個(gè)C.36個(gè)D.24個(gè)解因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33，得P13P33P1236(個(gè))由此可知此題應(yīng)選C.例3將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解：將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P13=9(種).