同濟大學工程數學線性代數第六版答案(全).doc
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______________________________________________________________________________________________________________ 第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1); 解 =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然數從小到大為標準次序, 求下列各排列的逆序數: (1)1 2 3 4; 解 逆序數為0 (2)4 1 3 2; 解 逆序數為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序數為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序數為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解 逆序數為: 3 2 (1個) 5 2, 5 4(2個) 7 2, 7 4, 7 6(3個) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解 逆序數為n(n-1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解 含因子a11a23的項的一般形式為 (-1)ta11a23a3ra4s, 其中rs是2和4構成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項分別是 (-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3 . (2); 證明 . (3); 證明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 證明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明 用數學歸納法證明. 當n=2時, , 命題成立. 假設對于(n-1)階行列式命題成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉、或逆時針旋轉90°、或依副對角線翻轉, 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明 因為D=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解 (按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =[x+(n-1)a](x-a)n-1. (3); 解 根據第6題結果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展開) . 再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an10. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1); 解 因為 , , , , , 所以 , , , . (2). 解 因為 , , , , , , 所以 , , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數行列式為 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. 第二章 矩陣及其運算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4. 計算下列乘積: (1); 解 . (2); 解 =(1′3+2′2+3′1)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設, , 問: (1)AB=BA嗎? 解 AB1BA. 因為, , 所以AB1BA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎? 解 (A+B)21A2+2AB+B2. 因為, , 但 , 所以(A+B)21A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎? 解 (A+B)(A-B)1A2-B2. 因為, , , 而 , 故(A+B)(A-B)1A2-B2. 6. 舉反列說明下列命題是錯誤的: (1)若A2=0, 則A=0; 解 取, 則A2=0, 但A10. (2)若A2=A, 則A=0或A=E; 解 取, 則A2=A, 但A10且A1E. (3)若AX=AY, 且A10, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A10, 但X1Y . 7. 設, 求A2, A3, × × ×, Ak. 解 , , × × × × × ×, . 8. 設, 求Ak . 解 首先觀察 , , , , × × × × × ×, . 用數學歸納法證明: 當k=2時, 顯然成立. 假設k時成立，則k+1時， , 由數學歸納法原理知: . 9. 設A, B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣. 證明 因為AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而BTAB是對稱矩陣. 10. 設A, B都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA. 證明 充分性: 因為AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是對稱矩陣. 必要性: 因為AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因為 , 故 . (2); 解 . |A|=110, 故A-1存在. 因為 , 所以 . (3); 解 . |A|=210, 故A-1存在. 因為 , 所以 . (4)(a1a2× × ×an 10) . 解 , 由對角矩陣的性質知 . 12. 解下列矩陣方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: (1); 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為 , 故 , 故有 . 14. 設Ak=O (k為正整數), 證明(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1. 證明 因為Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因為 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1)=E, 由定理2推論知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1. 證明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2-× × ×-Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+× × ×+A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+× × ×+Ak-1)(E-A), 兩端同時右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+× × ×+Ak-1. 15. 設方陣A滿足A2-A-2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 證明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 兩端同時取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A||A-E|=2, 故 |A|10, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|210, 故A+2E也可逆. 由 A2-A-2E=O TA(A-E)=2E TA-1A(A-E)=2A-1ET, 又由 A2-A-2E=OT(A+2E)A-3(A+2E)=-4E T (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 16. 設A為3階矩陣, , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因為, 所以 =|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8′2=-16. 17. 設矩陣A可逆, 證明其伴隨陣A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*. 證明 由, 得A*=|A|A-1, 所以當A可逆時, 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-110, 從而A*也可逆. 因為A*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 18. 設n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1. 證明 (1)用反證法證明. 假設|A*|10, 則有A*(A*)-1=E, 由此得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 這與|A*|10矛盾，故當|A|=0時, 有|A*|=0. (2)由于, 則AA*=|A|E, 取行列式得到 |A||A*|=|A|n. 若|A|10, 則|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時命題也成立. 因此|A*|=|A|n-1. 19. 設, AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 20. 設, 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因為, 所以(A-E)可逆, 從而 . 21. 設A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得 (A*-2E)BA=-8E, B=-8(A*-2E)-1A-1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E-2A)-1 =-8(-2E-2A)-1 =4(E+A)-1 =4[diag(2, -1, 2)]-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA-1=BA-1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A, B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A . 23. 設P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 設AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 25. 設矩陣A、B及A+B都可逆, 證明A-1+B-1也可逆, 并求其逆陣. 證明 因為 A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 而A-1(A+B)B-1是三個可逆矩陣的乘積, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. (A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A. 26. 計算. 解 設, , , , 則 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 驗證. 解 , 而 , 故 . 28. 設, 求|A8|及A4. 解 令, , 則 , 故 , . . 29. 設n階矩陣A及s階矩陣B都可逆, 求 (1); 解 設, 則 . 由此得 T, 所以 . (2). 解 設, 則 . 由此得 T, 所以 . 30. 求下列矩陣的逆陣: (1); 解 設, , 則 , . 于是 . (2). 解 設, , , 則 . 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) ~(下一步: r2?(-1), r3?(-2). ) ~(下一步: r3-r2. ) ~(下一步: r3?3. ) ~(下一步: r2+3r3. ) ~(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) ~. (2); 解 (下一步: r2′2+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ~(下一步: r1?2. ) ~. (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) ~(下一步: r2?(-4), r3?(-3) , r4?(-5). ) ~(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) ~. (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) ~(下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) ~(下一步: r1?r2, r2′(-1), r4-r3. ) ~(下一步: r2+r3. ) ~. 2. 設, 求A. 解 是初等矩陣E(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣E(1, 2(1)), 其逆矩陣是 E(1, 2(-1)) . . 3. 試利用矩陣的初等變換, 求下列方陣的逆矩陣: (1); 解 ~ ~~ ~ 故逆矩陣為. (2). 解 ~ ~ ~ ~ ~ 故逆矩陣為. 4. (1)設, , 求X使AX=B; 解 因為 , 所以 . (2)設, , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因為 , 所以 , 從而 . 5. 設, AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A-2E)X =A. 因為 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r-1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r-1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問A, B的秩的關系怎樣? 解 R(A)3R(B). 這是因為B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會小于B的秩. 8. 求作一個秩是4的方陣, 它的兩個行向量是 (1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構成一個有4個非零行的5階下三角矩陣: , 此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個最高階非零子式: (1); 解 (下一步: r1?r2. ) ~(下一步: r2-3r1, r3-r1. ) ~(下一步: r3-r2. ) ~, 矩陣的, 是一個最高階非零子式. (2); 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) ~(下一步: r3-3r2. ) ~, 矩陣的秩是2, 是一個最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) ~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) ~(下一步: r2?16r4, r3-16r2. ) ~ ~, 矩陣的秩為3, 是一個最高階非零子式. 10. 設A、B都是m′n矩陣, 證明A~B的充分必要條件是R(A)=R(B). 證明 根據定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設R(A)=R(B), 則A與B的標準形是相同的. 設A與B的標準形為D, 則有 A~D, D~B. 由等價關系的傳遞性, 有A~B. 11. 設, 問k為何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)當k=1時, R(A)=1; (2)當k=-2且k11時, R(A)=2; (3)當k11且k1-2時, R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1); 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k為任意常數). (2); 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數). (3); 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數). 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1); 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無解. (2); 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k為任意常數). (3); 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數). (4). 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數). 14. 寫出一個以 為通解的齊次線性方程組. 解 根據已知, 可得 , 與此等價地可以寫成 , 或 , 或 , 這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組. 15. l取何值時, 非齊次線性方程組 . (1)有唯一解; (2)無解; (3)有無窮多個解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當l11且l1-2時方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須R(A)
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