同濟大學(xué)工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第六版答案(全).doc

_第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1); 解 =2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8 -0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序, 求下列各排列的逆序數(shù): (1)1 2 3 4; 解 逆序數(shù)為0 (2)4 1 3 2; 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序數(shù)為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解 逆序數(shù)為: 3 2 (1個) 5 2, 5 4(2個) 7 2, 7 4, 7 6(3個) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解 逆序數(shù)為n(n-1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解 含因子a11a23的項的一般形式為(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項分別是 (-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3 . (2); 證明 . (3); 證明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 證明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時, , 命題成立. 假設(shè)對于(n-1)階行列式命題成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90°、或依副對角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明因為D=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解 (按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3); 解 根據(jù)第6題結(jié)果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展開) . 再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an¹0. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1); 解 因為 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因為 , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當(dāng)m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當(dāng)l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. 第二章矩陣及其運算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設(shè), , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4. 計算下列乘積: (1); 解 . (2); 解 =(1´3+2´2+3´1)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設(shè), , 問: (1)AB=BA嗎? 解 AB¹BA. 因為, , 所以AB¹BA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎? 解 (A+B)2¹A2+2AB+B2. 因為, , 但 , 所以(A+B)2¹A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎? 解 (A+B)(A-B)¹A2-B2. 因為, , , 而 , 故(A+B)(A-B)¹A2-B2. 6. 舉反列說明下列命題是錯誤的: (1)若A2=0, 則A=0; 解 取, 則A2=0, 但A¹0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E; 解 取, 則A2=A, 但A¹0且A¹E. (3)若AX=AY, 且A¹0, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A¹0, 但X¹Y . 7. 設(shè), 求A2, A3, × × ×, Ak. 解 , , × × × × × ×, . 8. 設(shè), 求Ak . 解 首先觀察 , , , , × × × × × ×, . 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)k=2時, 顯然成立. 假設(shè)k時成立，則k+1時， , 由數(shù)學(xué)歸納法原理知: . 9. 設(shè)A, B為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣. 證明 因為AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而BTAB是對稱矩陣. 10. 設(shè)A, B都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA. 證明 充分性: 因為AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是對稱矩陣. 必要性: 因為AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因為 , 故 . (2); 解 . |A|=1¹0, 故A-1存在. 因為 , 所以 . (3); 解 . |A|=2¹0, 故A-1存在. 因為 , 所以 . (4)(a1a2× × ×an ¹0) . 解 , 由對角矩陣的性質(zhì)知 . 12. 解下列矩陣方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: (1); 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為 , 故 , 故有 . 14. 設(shè)Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1. 證明 因為Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因為 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1)=E, 由定理2推論知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1. 證明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2-× × ×-Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+× × ×+A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+× × ×+Ak-1)(E-A),兩端同時右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+× × ×+Ak-1. 15. 設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 證明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 兩端同時取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|¹0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2¹0, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O ÞA(A-E)=2E ÞA-1A(A-E)=2A-1EÞ, 又由 A2-A-2E=OÞ(A+2E)A-3(A+2E)=-4E Þ (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 16. 設(shè)A為3階矩陣, , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因為, 所以 =|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16. 17. 設(shè)矩陣A可逆, 證明其伴隨陣A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*. 證明 由, 得A*=|A|A-1, 所以當(dāng)A可逆時, 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0, 從而A*也可逆. 因為A*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 18. 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1. 證明 (1)用反證法證明. 假設(shè)|A*|¹0, 則有A*(A*)-1=E, 由此得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 這與|A*|¹0矛盾，故當(dāng)|A|=0時, 有|A*|=0. (2)由于, 則AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|¹0, 則|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時命題也成立. 因此|A*|=|A|n-1. 19. 設(shè), AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 20. 設(shè), 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因為, 所以(A-E)可逆, 從而 . 21. 設(shè)A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得 (A*-2E)BA=-8E, B=-8(A*-2E)-1A-1 =-8A(A*-2E)-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E-2A)-1 =-8(-2E-2A)-1 =4(E+A)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA-1=BA-1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A, B=3(A-E)-1A=3A(E-A-1)-1A . 23. 設(shè)P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 設(shè)AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 25. 設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆, 證明A-1+B-1也可逆, 并求其逆陣. 證明 因為 A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 而A-1(A+B)B-1是三個可逆矩陣的乘積, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. (A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(A+B)-1A. 26. 計算. 解 設(shè), , , , 則 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 驗證. 解 , 而 , 故 . 28. 設(shè), 求|A8|及A4. 解令, , 則 , 故 , . . 29. 設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆, 求 (1); 解 設(shè), 則 . 由此得 Þ, 所以 . (2). 解 設(shè), 則 . 由此得 Þ, 所以 . 30. 求下列矩陣的逆陣: (1); 解 設(shè), , 則 , . 于是 . (2). 解 設(shè), , , 則 . 第三章矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2¸(-1), r3¸(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r3¸3. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r2´2+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r1¸2. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1«r2, r2´(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 設(shè), 求A. 解 是初等矩陣E(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣E(1, 2(1), 其逆矩陣是 E(1, 2(-1) . . 3. 試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q, 求下列方陣的逆矩陣: (1); 解 故逆矩陣為. (2). 解 故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求X使AX=B; 解 因為 , 所以 . (2)設(shè), , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因為 , 所以 , 從而 . 5. 設(shè), AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A-2E)X =A. 因為 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r-1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r-1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問A, B的秩的關(guān)系怎樣? 解 R(A)³R(B). 這是因為B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會小于B的秩. 8. 求作一個秩是4的方陣, 它的兩個行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個最高階非零子式: (1); 解 (下一步: r1«r2. ) (下一步: r2-3r1, r3-r1. ) (下一步: r3-r2. ) , 矩陣的, 是一個最高階非零子式. (2); 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) (下一步: r3-3r2. ) , 矩陣的秩是2, 是一個最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r2¸16r4, r3-16r2. ) , 矩陣的秩為3, 是一個最高階非零子式. 10. 設(shè)A、B都是m´n矩陣, 證明AB的充分必要條件是R(A)=R(B). 證明 根據(jù)定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設(shè)R(A)=R(B), 則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的. 設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D, 則有AD, DB.由等價關(guān)系的傳遞性, 有AB. 11. 設(shè), 問k為何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)當(dāng)k=1時, R(A)=1; (2)當(dāng)k=-2且k¹1時, R(A)=2; (3)當(dāng)k¹1且k¹-2時, R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1); 解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k為任意常數(shù)). (2); 解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). (3); 解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1); 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無解. (2); 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k為任意常數(shù)). (3); 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). (4). 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). 14. 寫出一個以為通解的齊次線性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價地可以寫成 , 或 , 或 , 這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組. 15. l取何值時, 非齊次線性方程組. (1)有唯一解; (2)無解; (3)有無窮多個解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當(dāng)l¹1且l¹-2時方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須R(A)<R(B), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2¹0. 因此l=-2時, 方程組無解. (3)要使方程組有有無窮多個解, 必須R(A)=R(B)<3, 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0. 因此當(dāng)l=1時, 方程組有無窮多個解. 16. 非齊次線性方程組當(dāng)l取何值時有解？并求出它的解. 解. 要使方程組有解, 必須(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 當(dāng)l=1時, , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當(dāng)l=-2時, , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 17. 設(shè). 問l為何值時, 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時求解. 解 B= . 要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須 (1-l)(10-l)¹0,所以當(dāng)l¹1且l¹10時, 方程組有唯一解. 要使方程組無解, 必須R(A)<R(B), 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)¹0, 所以當(dāng)l=10時, 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須R(A)=R(B)<3, 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以當(dāng)l=1時, 方程組有無窮多解.此時，增廣矩陣為 B,方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數(shù)). 18. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, ×××, 0)Q-1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因為a與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)³1. 因為 1£R(A)=R(abT)£minR(a), R(bT)=min1, 1=1, 所以R(A)=1. 19. 設(shè)A為m´n矩陣, 證明 (1)方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m; 證明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩陣(A, Em)的最高階非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n. 證明 注意, 方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要條件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=R(AT)=n. 20. 設(shè)A為m´n矩陣, 證明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 則X=Y. 證明 由AX=AY, 得A(X-Y)=O. 因為R(A)=n, 由定理9, 方程A(X-Y)=O只有零解, 即X-Y=O, 也就是X=Y.第四章向量組的線性相關(guān)性 1. 設(shè)v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3. 解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T. 3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3´1+2´0-3, 3´1+2´1-4, 3´0+2´1-0)T =(0, 1, 2)T. 2. 設(shè)3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T. 解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)T. 3. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R(B)=2. 因為R(B)¹R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示. 4. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 證明A組與B組等價. 證明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 顯然在A中有二階非零子式, 故R(A)³2, 又R(A)£R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價. 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3線性表示. 證明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4線性無關(guān), 故a2, a3也線性無關(guān). 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3線性相關(guān), 故a1能由a2, a3線性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3線性表示, 則因為a1能由a2, a3線性表示, 故a4能由a2, a3線性表示, 從而a2, a3, a4線性相關(guān), 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3線性表示. 6. 判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān): (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因為 , 所以R(A)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān). (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因為 , 所以R(B)=3等于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相無關(guān). 7. 問a取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當(dāng)a=-1、0、1時, R(A)<3, 此時向量組線性相關(guān). 8. 設(shè)a1, a2線性無關(guān), a1+b, a2+b線性相關(guān), 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因為a1+b, a2+b線性相關(guān), 故存在不全為零的數(shù)l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設(shè), 則 b=ca1-(1+c)a2, cÎR. 9. 設(shè)a1, a2線性相關(guān), b1, b2也線性相關(guān), 問a1+b1, a2+b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當(dāng)a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T時, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的對應(yīng)分量不成比例, 是線性無關(guān)的. 10. 舉例說明下列各命題是錯誤的: (1)若向量組a1, a2, × × ×, am是線性相關(guān)的, 則a1可由a2, × × ×, am線性表示. 解 設(shè)a1=e1=(1, 0, 0, × × ×, 0), a2=a3= × × × =am=0, 則a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), 但a1不能由a2, × × ×, am線性表示. (2)若有不全為0的數(shù)l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0成立, 則a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性相關(guān). 解 有不全為零的數(shù)l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam +l1b1+ × × × +lmbm =0,原式可化為l1(a1+b1)+ × × × +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, × × ×, am=em=-bm, 其中e1, e2, × × ×, em為單位坐標(biāo)向量, 則上式成立, 而a1, a2, × × ×, am和b1, b2, × × ×, bm均線性無關(guān). (3)若只有當(dāng)l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0才能成立, 則a1, a2, × × ×, am線性無關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性無關(guān). 解 由于只有當(dāng)l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式由l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm =0成立, 所以只有當(dāng)l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ × × × +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, × × ×, am+bm線性無關(guān). 取a1=a2= × × × =am=0, 取b1, × × ×, bm為線性無關(guān)組, 則它們滿足以上條件, 但a1, a2, × × ×, am線性相關(guān). (4)若a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性相關(guān), 則有不全為0的數(shù), l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam=0, l1b1+ × × × +lmbm=0同時成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T, l1a1+l2a2 =0Þl1=-2l2,l1b1+l2b2 =0Þl1=-(3/4)l2,Þl1=l2=0, 與題設(shè)矛盾. 11. 設(shè)b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 證明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 證明 由已知條件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,從而 b1-b2+b3-b4=0, 這說明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 12. 設(shè)b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量組a1, a2, × × × , ar線性無關(guān), 證明向量組b1, b2, × × × , br線性無關(guān). 證明 已知的r個等式可以寫成,上式記為B=AK. 因為|K|=1¹0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 從而向量組b1, b2, × × × , br線性無關(guān). 13. 求下列向量組的秩, 并求一個最大無關(guān)組: (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線性無關(guān), 所以a1, a2是一個最大無關(guān)組. (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, -1, -5, -6), a3T=(1, -3, -4, -7). 解 由, 知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1T與a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T線性無關(guān), 所以a1T, a2T是一個最大無關(guān)組. 14. 利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組: (1); 解 因為,所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組. (2). 解 因為,所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組. 15. 設(shè)向量組(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩為2, 求a, b. 解 設(shè)a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因為, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 16. 設(shè)a1, a2, × × ×, an是一組n維向量, 已知n維單位坐標(biāo)向量e1, e2,× × ×, en能由它們線性表示, 證明a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 證法一 記A=(a1, a2, × × ×, an), E=(e1, e2,× × ×, en). 由已知條件知, 存在矩陣K, 使E=AK. 兩邊取行列式, 得|E|=|A|K|.可見|A|¹0, 所以R(A)=n, 從而a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 證法二 因為e1, e2,× × ×, en能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 所以R(e1, e2,× × ×, en)£R(a1, a2, × × ×, an),而R(e1, e2,× × ×, en)=n, R(a1, a2, × × ×, an)£n, 所以R(a1, a2, × × ×, an)=n, 從而a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 17. 設(shè)a1, a2, × × ×, an是一組n維向量, 證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是: 任一n維向量都可由它們線性表示. 證明 必要性: 設(shè)a為任一n維向量. 因為a1, a2, × × ×, an線性無關(guān), 而a1, a2, × × ×, an, a是n+1個n維向量, 是線性相關(guān)的, 所以a能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一n維向量都可由a1, a2, × × ×, an線性表示, 故單位坐標(biāo)向量組e1, e2, × × ×, en能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 于是有n=R(e1, e2, × × ×, en)£R(a1,