管道相貫線自動切割機器人切割系統(tǒng)的研究設(shè)計含proe三維仿真及8張CAD圖

管道相貫線自動切割機器人切割系統(tǒng)的研究設(shè)計含proe三維仿真及8張CAD圖,管道,相貫線,自動,切割,機器人,系統(tǒng),研究,鉆研,設(shè)計,proe,三維,仿真,cad 基于幾何方法精確分析一類三自由度的平面并聯(lián)機器人 Alexander Yu（a），Ilian A. Bonev（b），Paul Zsombor-Murray（a） （a）機械工程學(xué)院，McGill大學(xué)，817 Sherbrooke St.W ，蒙特利爾，加拿大H3A 2K6 （b）自動化制造工程部，E′ cole de technologie supe′ rieure (E′ TS) （a）1100 Notre-Dame St.W.，蒙特利爾，魁北克，加拿大 H3C 1K3 2006年6月12收到; 2006年12月11收到訂正形式; 2007年3月16號被接受 2007年5月3日出現(xiàn)在網(wǎng)上 摘要 并聯(lián)機器人正越來越多地被用于工業(yè)的精確定位和調(diào)整。他們的優(yōu)點是剛性好，快速，準(zhǔn)確。隨著并聯(lián)機器人被廣泛使用，我們有必要制定一種方法來比較不同的并聯(lián)機器人設(shè)計方案。但是不存在一個簡單的方法用來充分比較并聯(lián)機器人的精確度。過去已有某些被采用的指標(biāo)如靈活度，可達工作空間和總體調(diào)節(jié)指數(shù)，但當(dāng)它們用于既有平移又有轉(zhuǎn)動自由度的機器人時表現(xiàn)都不完美。針對這些問題，本文提出了一種簡單的幾何方法來精確計算由于驅(qū)動元件的準(zhǔn)確性不夠而引起的局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。這個方法是針對一類三自由度平面并聯(lián)機器人的，該類機器人的最大的工作空間是由圓弧和直線段構(gòu)成的，并且工作空間內(nèi)沒有奇異位置。三個特別設(shè)計的方案用于說明這種方法。 2007 Elsevier Ltd. 版權(quán)所有。 關(guān)鍵詞：并聯(lián)機器人； 靈活度；工作空間； 位置； 精確性；誤差分析 1. 引言 并聯(lián)機器人一度是實驗室里純學(xué)術(shù)的東西，但是在最近幾年它已經(jīng)被越來越多地用于工業(yè)上的定位和調(diào)整。由于當(dāng)今市場有這些快速和敏捷的機器人的需求，因此新的并聯(lián)機器人正在被設(shè)計和制造。但是，仍然有許多設(shè)計新的并聯(lián)機器人的關(guān)鍵問題沒有解決，如優(yōu)化設(shè)計和性能標(biāo)指。怎么能證明一個新的并聯(lián)機器人設(shè)計是現(xiàn)有機器人的優(yōu)化方案呢？根據(jù)機器人的工作空間來評價該機器人的性能是否就足夠了呢？顯然，在當(dāng)前工業(yè)環(huán)境下，答案是否定的，因為在許多應(yīng)用中定位精度已成為一個關(guān)鍵的問題。 有幾個很好的界定性能指標(biāo)已被廣泛的用于串聯(lián)和并聯(lián)的機器人。然而，最近的一項研究[ 1 ]再次審查這些指標(biāo)，并討論其用于有平移和旋轉(zhuǎn)自由度的并聯(lián)機器人的嚴(yán)重不一致性。該研究審查了最常見的指標(biāo)，優(yōu)化并聯(lián)機器人：靈活度[ 2 ] 和整體協(xié)調(diào)指數(shù)。用各種條件指數(shù)應(yīng)用于機器人以找出其靈活度，以提高其準(zhǔn)確性，如兩種標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)或弗洛比尼斯指數(shù)，并通過計算機器人的全部工作空間來了解它的整體協(xié)調(diào)指數(shù)。[ 3 ]論文的結(jié)論是，這些指標(biāo)不應(yīng)當(dāng)用于混合自由度類型的并聯(lián)機器人（平移和旋轉(zhuǎn)） 。 當(dāng)作者設(shè)計了一個新的三自由度（ 3自由度）平面并聯(lián)機器人，他們用靈活度來比較類似的設(shè)計 [ 4 ] 。這種是比較公平的，因為設(shè)計允許使用相同的層面。但是如果比較的是一個變化的單位（例如，從厘米級到毫米級） ，這些數(shù)字的指數(shù)將發(fā)生重大變化。更高價值的長度單位實質(zhì)上將使機器人的靈活度接近0。如圖1所示。 靈活度指標(biāo)對使用部件的類型和部件的重要性非常敏感，因為靈活度依賴于雅可比矩陣。這個矩陣混合了可變的功能，如平移和旋轉(zhuǎn)功能。一種可能的解決這一問題的辦法是增加了條件數(shù)，但是每個條件都是由特定的問題來描述的[ 1 ]。 整體協(xié)調(diào)指數(shù)（ GCI ）可以用來評估機器人在其工作空間里指標(biāo)，它可用于機器人的優(yōu)化設(shè)計。但是，仍然存在著兩個問題，這指數(shù)。首先，它仍是依賴于一些問題的條件，這些問題必須已被概括描述出來[ 1 ] 。其次，它是計算密集型的。 顯然，工業(yè)并聯(lián)機器人最好的測量精度應(yīng)與局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差在一個數(shù)量級上，因為驅(qū)動器誤差（輸入誤差） ，或一些廣義的誤差（例如，在特定工作空間里的均值和方差的誤差） 。一般方法可以在區(qū)間分析的基礎(chǔ)上近似計算這些誤差[ 5 ] 。但是，此方法計算密集型的，并沒有深入到此問題優(yōu)化設(shè)計的運動學(xué)分析。 圖 1 靈活度例子（a） PreXYT ， （b） HephAist并聯(lián)機器人（ c ）星三角并聯(lián)機器人。 圖2 （a） PreXYT （正在申請專利）（ b ） HephAist的NAF3型校準(zhǔn)臺（courtesy of HephAist Seiko Co., Ltd） 。 與此相反，本文提出了一種簡單的幾何方法用于準(zhǔn)確的計算一類三自由度平面完全并聯(lián)機器人局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。該機器人的可達工作空間是由圓弧和直線組成的，并且工作空間內(nèi)沒有奇異位置。該方法不僅速度快于其他任何方法（針對特定類別的并聯(lián)機器人） ，而且也帶來了有價值的運動學(xué)分析。 這種做法體現(xiàn)在三個特別設(shè)計，這些設(shè)計中最佳微定位的位置在相對較大的工作空間里的位置頗有不同： 1. 一種新的并聯(lián)機器人，名為PreXYT ，由E′ cole de technologie supe′rieure (E′ TS)設(shè)計和建造，它具有獨特2-PRP/1-PPR配置（ P和R用于被動棱柱和旋轉(zhuǎn)接頭，而P用于驅(qū)動滑移鉸）。圖2（a）顯示的是PreXYT的CAD模型。 2. HephAist的3-PRP并聯(lián)機器人，由日本公司HephAist Seiko設(shè)計 ，目前已投入商業(yè)使用。圖2顯示的是其工業(yè)模型的照片。 3. 星三角并聯(lián)機器人是另外一種在法國LIRMM設(shè)計的3-PRP并聯(lián)機器人 [ 6 ] 。這種機器人是雙三角并聯(lián)機器人的優(yōu)化設(shè)計方案 [ 7 ] 。 其余內(nèi)容安排如下。下一節(jié)介紹了擬議的幾何方法。然后，第3節(jié)介紹了所有三個并聯(lián)機器人逆運動學(xué)方程和直接運動學(xué)方程，其精確度將是本文研究重點。第4節(jié)簡要敘述了這三個機器人幾何形狀不變的工作空間。第5節(jié)適用于擬議的幾何方法計算局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。最后一節(jié)給出了結(jié)論。 2. 幾何方法計算輸出誤差 考慮三自由度完全平行平面機器人在一個理想的（名義上）狀態(tài)下。設(shè)x， y和Φ表示移動平臺的假設(shè)位置和假設(shè)方向，ρ1、ρ2和ρ3表示活動關(guān)節(jié)的變量。由于驅(qū)動器的誤差是±ε ，實際活動關(guān)節(jié)變量的范圍大概在[ρ1-ε，ρ2+ε]。因此，移動平臺的實際位置和方向分別是x+Δx，y+Δy，和Φ+ΔΦ?，F(xiàn)在的問題是給動機器人的公稱尺寸（x，y，Φ，ρ1，ρ2，ρ3）和公差范圍 ±ε，怎樣確定最大位置誤差和最大方向誤差。例如，最大位置誤差 δmax=max?x2+?y2 ，最大方向誤差σmax=max?Φ。 為了計算這些誤差，我們基本上需要找到活動關(guān)節(jié)的變量中存在誤差的值。最大的錯誤是假設(shè)無論什么類型的機器人，無論機器人的尺寸如何，當(dāng)機器人的活動關(guān)節(jié)變量受最大輸入誤差影響時，產(chǎn)生最大位置誤差，如誤差是+ε或-ε。事實上，在[ 8 ] ，這是代數(shù)證明的最大方向角的三自由度平面并聯(lián)機器人，在兩條支鏈平行時，在兩條支鏈平行時可能會出現(xiàn)第1類（串聯(lián)）或第2類（并聯(lián)）奇異，這就是間隔輸入誤差。同樣，有人證明，并非所有活動關(guān)節(jié)變量必須在間隔輸入誤差里才會產(chǎn)生最大位置誤差。 當(dāng)然，雖然也有例外，三自由度平面并聯(lián)機器人用于精確定位操作遠離第1類奇異點，當(dāng)然也遠離第2類奇異（如果存在） 。另外，無論機器人得兩條支鏈?zhǔn)欠衿叫卸己苋菀淄茢喑鼍植孔畲蠓较蛘`差，并且很容易設(shè)計出這種沒有奇異點的機器人。因此，實際上當(dāng)八個活動關(guān)節(jié)變量中有一個的輸入誤差是+ε或-ε時，這種三自由度平面并聯(lián)機器人會產(chǎn)生局部最大方向誤差。 現(xiàn)在，找到局部最大位置誤差相當(dāng)于找到距離移動平臺通常位置最遠的不確定區(qū)域的中心點。這種不確定區(qū)域基本上是機器人通過改變活動鉸鏈所能到達的最大工作空間，距離是[ρi-ε，ρi+ε] 。顯然正因為這一點，我們正在尋求在邊界的最大工作空間。 在[ 9 ]中有一個計算邊界的幾何算法 ，但我們不會在這里討論細節(jié)。我們只需要提及的是組成這一邊界部份的曲線的形態(tài)，至少有一條支鏈會出現(xiàn)第1類奇異（這不在我們的研究范圍之內(nèi)） ，或者解耦度較低。當(dāng)這些曲線是由直線段或圓弧組成時，這將是非常容易距離移動平臺通常位置最遠的不確定區(qū)域的中心點。這一點將會是最大工作空間的交匯點。 下面，將三個例子加以研究，以說明擬議的幾何方法。 3 。運動學(xué)分析和逆運動學(xué)分析 從圖3a-c可以看出，基礎(chǔ)參考系Oxy固定在地面上，定義一個每個平面都是水平運動的并聯(lián)機器人。同樣，移動參照系Cx’ y’是固定在移動平臺上的，并且與Oxy在同一平面內(nèi)。定義Ai是轉(zhuǎn)動支鏈i的轉(zhuǎn)軸點（本文中，i=1，2，3），并且在Oxy平面內(nèi)。 從圖3a和b中可以看出，基礎(chǔ)y軸沿著A2點的運動方向 ，而運動的x’ 軸沿著線A2A3的方向。從圖3a中可以看出，原點C與A1點重合。而在圖3b中，原點C 的擺放可以使A1沿著y’ 軸移動。S是A2和A3兩點的平行移動路徑之間的距離。而在HephAist的調(diào)整平臺，H是基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸與A1移動路徑之間的距離。 從圖3中可以看出，設(shè)Oi是等邊三角形的三個頂點。令O點與O1點重合，令基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸與線O1O2重合。令移動平臺上三條交叉線的交點是C點，讓C點隨著Ai點的移動而移動。這三條線之間的夾角相同。最后，移動坐標(biāo)系y’ 軸與線A1C重合。 圖。 3 。示意圖（a） PreXYT （正在申請專利） ， （b） HephAist的并聯(lián)機器人和（ c ）星三角并聯(lián)機器人。 令ρi是活動鉸鏈的距離，定義如下。以PreXYT和HephAist的調(diào)整平臺（圖3a和b ）為例，ρ1是基礎(chǔ)坐標(biāo)系y軸到A1點的距離 ，而ρ2和ρ3是基礎(chǔ)坐標(biāo)系x軸分別到A2和A3的距離。最后，對于星三角機器人（圖3C） ，ρi是Oi到Ai的距離。事實上，對于星三角機器人，從機械設(shè)計上保證了Ai不能與Oi重合。 3.1. PreXYT 給定活動鉸鏈變量，可以非常好的直截了當(dāng)?shù)拇_定移動平臺的位置和方向。方向角也是很容易得到的,如： Φ=tan-1 ρ3-ρ2s （1） 而移動平臺的位置如下確定 x=ρ1 （2） y=ρ2+ρ1(ρ_3-ρ_2s) （3） 從這個例子可以看到，直接運動學(xué)PreXYT非常簡單，部分解耦。 逆運動學(xué)分析也是很簡單的。根據(jù)移動平臺位置和方向可以如下獲得活動鉸鏈變量： ρ1=x （4） ρ2=y-x tanΦ （5） ρ3=y+s-xtanΦ （6） Obviously, PreXYT has no singularities (provided that s is non-zero). 顯然， PreXYT沒有奇異點（前提是S是非零） 。 3.2 。 HephAist的并聯(lián)機器人 給定活動鉸鏈變量，可以非常好的直截了當(dāng)?shù)拇_定移動平臺的位置和方向。方向角度的方程和方程（1）非常相似。移動平臺的位置是A_2A_3與過A_1且與A_2A_3正交的線的交點。因此可以由方程計算出x和y： x=dρ1s+h-ρ2ρ3-ρ2s2+ρ3-ρ22 （7） y=s2ρ2+hρ3-ρ22+sρ1(ρ3-ρ2)s2+ρ3-ρ22 （8） 我們可以看到，直接運動學(xué)HephAist的并聯(lián)機器人更為復(fù)雜而且耦合度高。 逆運動學(xué)是比較容易解決的。根據(jù)移動平臺的位置和方向，可以獲得活動鉸鏈變量： ρ1=x-h-ytanΦ （9） ρ2=y-x tanΦ （10） ρ3=y+s-xtanΦ （11） 由方程（（7）-（11））定義（假設(shè)s是50），很顯然，這并聯(lián)機器人也沒有奇異點。注意 ，這是很大的優(yōu)勢，通常大多數(shù)平面并聯(lián)機器人都有奇異點。 3.3 。星三角并聯(lián)機器人 給定活動鉸鏈變量，通過這種直接的運動中使用的方法，如[ 10 ]中，可以非常好的直截了當(dāng)?shù)拇_定移動平臺的位置和方向。在圖4中，通過下列幾何的基礎(chǔ)上定義的第一次費爾馬點可以很容易的獲得C點的位置。 圖。 4 。星三角并聯(lián)機器人的運動學(xué)求解 由于三角形A1A2A3中，沒有任何一個角大于120度 （因為點Ai無法移動到三角形O1O2O3外面），等邊三角形在它外面。用Qi表示三角形最外層的角（見圖4 ）。然后使QiAi成120度并且相交于一點，即所謂的第一費爾馬點。這一點是移動支架的原點C。 雖然目前移動平臺的位置是唯一的，但有兩種可能的方向角（Φ和Φ+180°） 。但是，很明顯只兩個方案中只有一個是是可行的（那個-90°<Φ<90°是可行的） 。 要找到C點的坐標(biāo)和方向角度θ ，必須進行以下簡單的計算。讓Qi表示Ai到Qi的矢量，ai=[xAiyAi]T表示O到Ai點的矢量。因此，Qi可以被很簡單的寫成： qi≡xQiyQi=12aj+ak+32E(aj-ak) （12） 其中 E=-1001 （13） 而且（i，j，k）=（1，2，3），（2，3，1）或（3，1，2）?，F(xiàn)在拿A1Q1和A2Q2來舉例說明，它們的交點是C，坐標(biāo)如下： x=xA1yQ1-xQ1yA1xA2-xQ2-xA2yQ2-xQ2yA2xA1-xQ1xA1-xQ1yA2-yQ2-xA2-xQ2yA1-yQ1 （14） y=xA1yQ1-xQ1yA1yA2-yQ2-xA2yQ2-xQ2yA2yA1-yQ1xA1-xQ1yA2-yQ2-xA2-xQ2yA1-yQ1 （15） 移動平臺的方向可通過測量線A_1C和基礎(chǔ)坐標(biāo)系y軸的夾角來獲得： Φ=a tan2y-yA1，x-xA1 （16） 這個裝置的逆運動學(xué)也很容易解決的。讓矢量c=[x，y]T表示基礎(chǔ)坐標(biāo)系原點O到移動平臺原點C的距離。bi和pi分別表示沿著線OiAi和CAi的單位長度。然后，它可以被很容易地表示： ρi=biTE(oi-c)biTEpi-d （17） 其中d是的三角形O1O2O3各頂點和相應(yīng)初始位置之間的線性調(diào)節(jié)器（見圖3c） 。 4 。恒方向工作空間分析 不變方向（位置）工作的平面并聯(lián)機器人[ 9 ]存在一個簡單的幾何計算方法。雖然，計算恒定方向工作的三個機器人時沒有必要精確計算。這個工作空間的分析表明，這些機器人沒有簡單的關(guān)系，精確的工作空間形狀和尺寸。 為了能夠公平比較，這將假定只有限個制約工作機器人驅(qū)動器的限制。在這種情況下，恒定方向工作的所有三個平面并聯(lián)機器人可以很容易達到如圖5所示的幾何形狀，那里的恒定方向工作空間顯示為一塊區(qū)域。 很顯然，導(dǎo)向工作的PreXYT的工作空間為任何非零方向大于恒定方向工作的HephAist機器人的工作空間。此外，導(dǎo)向工作的PreXYT機器人始終有兩到三個運動方向 ，而位置不變的恒定方向工作的HephAist的機器人是非常不同的。這意味著，局部地區(qū)每個點在某一范圍內(nèi)至少有一個方向，Φ∈-Φmax，Φmax，并且比PreXYT更大 。然而，所謂的最大的工作空間（所有能到達的位置）HephAist的并聯(lián)機器人要大得多的。 不幸的是，圖5c不能明確表明恒定方向工作的平面星三角并聯(lián)機器人的工作空間是否大于其他兩個機器人，因為方向不一樣，也沒有限制的驅(qū)動器。事實上，在零方向，導(dǎo)向工作的PreXYT工作空間大于星三角并聯(lián)機器人，但是除了某些特定的方向角，情況就會反過來。然而，很明顯，星三角并聯(lián)機器人的最大工作空間大于PreXYT （這是一個正方形，其副作用是致i動器的運動）。 直觀地看，一個機器人的工作空間越大，它的定位精度就越低。但是，如果只考慮最大位置度誤差（如文中所做） ，而沒有考慮它是否在準(zhǔn)確定義的最大工作空間內(nèi)，就會出現(xiàn)極端的現(xiàn)象，它將會在下一節(jié)中出現(xiàn)。 5 。誤差分析 因為用于比較的原因，將被認為所有這三個并聯(lián)機器人使用相同的驅(qū)動器，其行程為500毫米。設(shè)這些驅(qū)動器的精確度是ε=0.05毫米，這意味著如果活動鉸鏈i的形式參數(shù)是Qi，那 么它的實際參數(shù)再[ρi-ε，ρi+ε]范圍內(nèi)。設(shè)星三角并聯(lián)機器人的偏距是100毫米?；谶@些假設(shè)，它現(xiàn)在將顯示，可以使用簡單幾何方法來分析最大的方向和位置誤差。 圖5 恒方向工作空間（a） PreXYT ， （b） HephAist的并聯(lián)機器人和（ c ）星三角并聯(lián)機器人。 5.1. PreXYT 5.1.1 。最大方向度誤差 圖6a顯示，很明顯，最大方向度誤差并不取決于名義位置的移動平臺并且最大方向度誤差發(fā)生在2號和3號驅(qū)動器各自在ρ_2和ρ_3的位置（取決于名義方向角的符號，這將是兩個組合） 。為了分析方向度誤差，應(yīng)分析一個簡單的系統(tǒng)的類似三角形。跳過詳細分析，可以表示最大方向角： σmax=sin-12εcosΦs2+s tanΦ-2ε2 （18） Φ是名義上的方向角。圖7顯示了PreXYT用作表示的名義方向角時的最大的方向誤差。顯然，這清楚地表明，當(dāng)Φ增加， σmax下降。 5.1.2 。最大位置度誤差 再次談到圖6a，陰影區(qū)域是活動鉸鏈的角度在[ρi-ε，ρi+ε]范圍內(nèi)的最大工作空間。事實上，這是該地區(qū)在C點。其幾何計算[ 9 ]是相當(dāng)簡單的，三自由度并聯(lián)機器人的腿關(guān)節(jié)有兩個平動關(guān)節(jié)和一個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。最大工作空間的邊界是，當(dāng)兩個驅(qū)動器正處于一個極限點時，C點描述的曲線。請注意，對于一般3自由度平面并聯(lián)機器人的界限，最大的工作空間的邊界可能還包括其中一條支鏈?zhǔn)窃谄娈愇恢脮r的曲線，在奇異位置時計算很復(fù)雜。 圖。 6 。獲得的最大位置度誤差 （a） PreXYT ， （b） HephAist的并聯(lián)機器人和（ c ）星三角并聯(lián)機器人。 圖。 7 。最大方向度誤差函數(shù)的名義方向角PreXYT 。 圖。 8 。最大位置度誤差函數(shù)的名義方向角PreXYT 。 但幸運的是，所有三個并聯(lián)機器人的所有支鏈都沒有奇異位置（在不拆卸機器人的情況下）。 要找的最大位置度誤差，就應(yīng)該找到名義位置與最大工作空間邊界的最大距離。分析一個通用3自由度平面并聯(lián)機器人很困難，最大工作空間的邊界可能是橢圓的一個片斷或者是連續(xù)狀態(tài)。然而，三自由度并聯(lián)機器人的腿關(guān)節(jié)有兩個平動關(guān)節(jié)和一個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)（或者是交叉形的）。而且由于這些環(huán)形交叉口的中心明顯在最大工作空間外（與驅(qū)動器的行程相比ε非常?。畲笪恢枚日`差發(fā)生在最大工作空間的一個角落。即，當(dāng)三個驅(qū)動器正處于一個極限位置時。因此，只有8個可能性（8個角）應(yīng)檢查移動平臺的每個名義位置和方向。 然而對PreXYT來說，最大工作空間是一個平行四邊形，最大位置度誤差δmax較長對角線的一半。因此，下面的簡單方程表示PreXYT的最大位置度誤差： δmax=ε1+1+tanΦ2 （19） 請注意， PreXYT的最大位置度誤差并不取決于機器人的尺寸（驅(qū)動器的距離和行程s） 。這一誤差在圖8中顯示為關(guān)于Φ的函數(shù)。 5.2 。 HephAist的并聯(lián)機器人 5.2.1 。最大方向度誤差 HephAist并聯(lián)機器人的最大方向角的解析表達式顯然和PreXYT的一樣 ，即方程（18）。 5.2.2 。最大位置度誤差 HephAist并聯(lián)機器人最大工作空間的邊界是由四個圓弧和兩個線段的一部分組成的（圖6b）。可以看出，最大位置度誤差出現(xiàn)時最大方向度誤差已經(jīng)出現(xiàn)了。因此，不難看出，要找出最大位置度誤差只有兩種配置需要測試：ρ1-ε，ρ2+ε，ρ3-ε和ρ1+ε，ρ2-ε，ρ3+ε。經(jīng)過進一步分析后確定，如果Φ是確定的，那么最大位置度誤差發(fā)生在δmax和ρ1-ε處，否則最大位置度誤差發(fā)生在δmax和ρ1+ε處。從本質(zhì)上講，對于給定移動平臺名義位置和方向的HephAist并聯(lián)機器人只要一次計算就能找到的最大位置度誤差。 通過一個解析表達式可以很容易的找到最大位置度誤差，就不在這里推導(dǎo)了。對于一個給定的名義位置和方向，我們只需要解決活動鉸鏈的正確組合的正運動學(xué)問題，并且計算出名義位置和新位置的距離。利用這一過程，就能找到最大位置度誤差與名義位置和兩個給定方向之間的關(guān)系曲線（圖9）。 圖。 9清楚地表明， HephAist的并聯(lián)機器人的移動平臺遠離它的最大高度時，最大位置度誤差顯著上升。同樣明顯的是，從總體上來說， HephAist的并聯(lián)機器人比PreXYT的最大位置度誤差要大。 5.3 。星三角并聯(lián)機器人 5.3.1 。最大方向度誤差 直觀來看，最大方向度誤差發(fā)生在ρ1-ε，ρ2-ε，ρ3-ε和ρ1+ε，ρ2+ε，ρ3+ε處。進一步檢查發(fā)現(xiàn)，最大的方向度誤差發(fā)生在，Φ≥0時ρ1-ε，ρ2-ε，ρ3-ε，Φ≤0時ρ1+ε，ρ2+ε，ρ3+ε處。 數(shù)值分析表明，在星三角并聯(lián)機器人的工作空間中對任何名義的位置和方向來說，最大方向度誤差幾乎是相同的。因此，只有均值和方差是這里的最大方向度誤差，而不是表現(xiàn)出輪廓線，或是曲線： Φ=0°時， σmaxmean=14.117°×10-3 σmaxvar=9.71°×10-27 Φ=15°時 σmaxmean=13.228°×10-3 σmaxvar=6.86°×10-27 請注意，最大位方向度誤差很可能是關(guān)于名義方向角Φ的函數(shù)，這將解釋幾乎為零的方差。需要作進一步分析，以驗證這一有趣的假設(shè)，這將極大地簡化了最大方向角的計算。 應(yīng)當(dāng)指出的是，星三角并聯(lián)機器人的最大方向度誤差是其他兩個平行的機器人的近兩倍。 5.3.2 。最大位置度誤差 如前所述，最大位置度誤差將出現(xiàn)在所有驅(qū)動器正處于極端的位置（最大工作空間的轉(zhuǎn)彎處，如圖6c所顯示的）。只要有一種舍棄8種配置中幾種的方法，就可以簡單地測試所有這些配置，并且不需要擔(dān)心計算時間。的確，對于每一個配置來說，通過正運動學(xué)方程（14）和（15）可以達到相同的位置。然后這一位置和名義位置的距離可以用于計算，最大位置度誤差是所有8個距離中最大的距離。 星三角機器人的最大位置度誤差的等高線圖（圖10）清楚地表明，其平均最大位置度誤差與PreXYT 是類似的。然而，這不是什么在圖1中建議的巧妙方法，這說明靈巧度的不足保證了其精確度。 圖。 9 。HephAist的并聯(lián)機器人的最大位置度誤差的等高線圖（在μm級別）：（a）Φ=0°和（b）Φ=15°。 圖。 10 。星三角并聯(lián)機器人最大位置度誤差（在μm級別）的等高線圖：（a）Φ=0°和（b）Φ=15°。 顯然，對一個特定的工作空間來說，一個更詳細的比較應(yīng)基于均值和方差的最大位置和最大方向角。由于這些設(shè)備是最有可能像圓片一樣對齊，這樣的工作空間可能是一個直徑300毫米的圓形區(qū)域，在這圓形區(qū)域中±5度角內(nèi)的任何方向角都是可能的。但是，這并不是主題，本文并不會詳細敘述。 6 。結(jié)論 本文是失敗古典精度指標(biāo)的直接響應(yīng)，如局部靈巧指標(biāo)，在處理并聯(lián)機器人的平移和取向的自由度，在優(yōu)化設(shè)計和比較。而不是使用非物理概念，如靈活性，作者提出了簡單的幾何辦法來精確的確定在某一特定的名義位置和方向時的由于驅(qū)動器誤差而引起的最大位置度誤差和最大的方向度誤差。顯然，這種方法還可以提供最大線速度和最大角速度。 這種方法只適用于簡單的三自由度平面完全并聯(lián)機器人，并且沒有奇異位置。不過，這種機器人肯定是最佳的微定位和調(diào)整儀器。作者說明擬議幾何方法中引用了三個特殊的例子，其中有一個是商用的。簡單的比較揭示了大多數(shù)商用設(shè)計上的缺點。 鳴謝 作者要感謝Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC)和Fonds Que′becO_is de la recherche sur la nature et les technologies (FQRNT)的經(jīng)濟支持。 翻譯人：蔣林 翻譯文獻: Geometric approach to the accuracy analysis of a class of 3-DOF planar parallel robots。Available online at www.sciencedirect.com。Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364–375。