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高一數(shù)學下第5章《向量的應用》解析及答案
鞏固基礎
一、自主梳理
理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應用,能將當前的問題轉化為可用向量解決的問題,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和應用能力.
二、點擊雙基
1.(理)(2005全國高考卷Ⅲ,理)已知雙曲線x2-=1的焦點F1、F2，點M在雙曲線上且=0，則點M到x軸的距離為( )
A. B. C. D.
解析：如圖，不妨設M在右支上，則MF1⊥MF2.
設|MF1|=r1,|MF2|=r2,由定義r1-r2=2a=2. ①
Rt△MF1F2中，r12+r22=(2c)2=12. ②
①式平方代入②后得r1r2=4,
∴S△MF1F2=r1r2=2=|F1F2|h=2h.∴h=.
答案：C
(文)若O是△ABC內(nèi)一點,++=0,則O是△ABC的( )
A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析：以、為鄰邊作平行四邊形OBDC,則=+.
又++=0,
∴+=-.
∴-=.
∴O為AD的中點,且A、O、D共線.
又E為OD的中點,∴O是中線AE的三等分點,且OA=AE.
∴O是△ABC的重心.
答案：D
2.(2006山東濰坊檢測)已知點A(,1)、B(0,0)、C(,0),設∠BAC的平分線AE與BC相交于E,若=λ,則λ等于 …( )
A.- B. C.-3 D.-
解析：由=λ,得λ=-=-=-1-=-1-=-1-=-.故選擇A.
答案：A
3.(2006湖北八校聯(lián)考)(理)已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a與b的夾角為60,則直線xcosα-ysinα+=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置關系是( )
A.相交 B.相交且過圓心 C.相切 D.相離
解析：由題意得=,
∴cosαcosβ+sinαsinβ=.
圓心為(cosβ,-sinβ).
設圓心到直線的距離為d,則
d==1>,
∴直線和圓相離.故選D.
答案：D
(文)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|+|=|-|,其中O為原點,則實數(shù)a的值為( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6
解析：由|+|=|-|,得=0,∴OA⊥OB.
聯(lián)立方程組整理得2x2-2ax+(a2-4)=0,
設A(x1,y1)、B(x2,y2),
∴x1+x2=a,x1x2=.
∴y1y2=(a-x1)(a-x2)=a2-a(x1+x2)+x1x2=a2-2.
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.
∴+-2=0.∴a2=4.∴a=2.
又∵Δ=(-2a)2-8(a2-4)>0,
∴a2<8.∴a∈(-2,2),而2∈(-2,2).故選C.
答案：C
4.在四邊形ABCD中，=0,=，則四邊形ABCD是______________________.
解析：由=0知⊥.由=知BCAD.∴四邊形ABCD是矩形.
答案：矩形
5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb成立的實數(shù)x、y取值是_____________.
解析：依題意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),解得
答案：7、4
訓練思維
【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t，求：
(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不?，请说明来?
解：(1)=+t=(1+3t,2+3t).
若P在x軸上，則2+3t=0,∴t=-;
若P在y軸上，只需1+3t=0,∴t=-;
若P在第二象限，則∴-
0.
∴|a+b|=2cosx.
(2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.
∵x∈［0,］，∴0≤cosx≤1.
①當λ<0時，當且僅當cosx=0時，f(x)取得最小值-1，這與已知矛盾.
②當0≤λ≤1時，當且僅當cosx=λ時，f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-,解得λ=.
③當λ>1時，當且僅當cosx=1時，f(x)取得最小值1-4λ.由已知得1-4λ=-，解得λ=.這與λ>1相矛盾.綜上所述，λ=為所求.
加強篇
8.(2006北京海淀模擬)設a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,且θ1-θ2=,求sin的值.
解：a=(2cos2,2sincos)
=2cos(cos,sin),
b=(2sin2,2sincos)
=2sin(sin,cos),
∵α∈(0,π),β∈(π,2π),
∴∈(0,),∈(,π).
故|a|=2cos,|b|=2sin ,
cosθ1===cos,
cosθ2===sin=cos(-).∴θ1=.
∵0<-<,∴θ2=-.又θ1-θ2=,∴-+=.
故=-,∴sin=sin(-)=-.
講評：本題考查向量的坐標表示及其運算，向量數(shù)量積的夾角公式的運用，注意角度范圍的變化應用，結合三角函數(shù)的關系進行求值.
9.(全新創(chuàng)編題)如圖所示，點F(a,0)(a>0),點P在y軸上運動，M在x軸上，N為動點，且=0,+=0.
(1)求點N的軌跡C的方程；
(2)過點F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點，設點K(-a,0),與的夾角為θ，求證：0<θ<.
解：(1)設N(x,y)、M(x0,0)、P(0,y0),
則=(x0,-y0),=(a,-y0),=(x,y-y0).
由=0,得ax0+y02=0. ①
由+=0，得(x+x0,y-2y0)=0,即所以
代入①,得y2=4ax即為所求.
(2)設l的方程為y=k(x-a),由消去x,得y2-y-4a2=0.
設A(x1,y1)、B(x2,y2),則y1y2=-4a2,=(x1+a,y1),=(x2+a,y2),
=(x1+a)(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2=+a(+)+a2-4a2
=(y12+y22)-2a2>(2|y1y2|)-2a2=4a2-2a2=0,所以cosθ=>0.所以0<θ<.
講評：向量及其運算是新課程的新增內(nèi)容，由于向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，使它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介.本題是將向量與解析幾何、方程、不等式以及三角函數(shù)等知識有機結合，體現(xiàn)了《考試大綱》要求的“在知識網(wǎng)絡交匯點處命題”的精神，我們預測今年的向量高考題的難度可能上升到壓軸題水平.
一、教學思路
向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀，向量本身是一個數(shù)形結合的產(chǎn)物，因此在向量的復習中要注意數(shù)與形的結合、代數(shù)與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合.應用向量可以解決平面幾何中的一些問題，在物理和工程技術中應用也很廣泛，教學要結合實例，引導學生把向量的相關知識和實際問題相結合，滲透向量解決問題的高效性.
二、注意問題
與向量相關的綜合應用問題類型較多，往往都和幾何圖形或某種類型曲線相關聯(lián)，這就要求在轉化成向量方法或抽象為確定的數(shù)學模型時，一定要注意和題意等價，善于綜合全局，把握轉化合理性.
三、參考資料
【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x-3),x∈［-4,4］.
(1)求f(x)=ab的表達式;
(2)求f(x)的最小值,并求此時a與b的夾角.
解：(1)f(x)=ab=x2x+x(x-3)=x3+x2-3x,x∈［-4,4］.
(2)f′(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1).
列表:
x
-4
(-4,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,4)
4
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值9
↘
極小值-
↗
故當x=1時,f(x)有最小值為-.
此時a=(,1),b=(1,-2).
設θ為a與b的夾角,則cosθ==-.
又由θ∈［0,π］,得θ=.
【例2】 如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪,用一條(足夠長)繩子跨過它們,并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質量應是多少?(忽略滑輪半徑、繩子的重量)
剖析：先進行受力分析,列出平衡方程,然后用數(shù)學方法求解.
解：設所求物體質量為m kg時,系統(tǒng)保持平衡,再設F1與豎直方向的夾角為θ1,F2與豎直方向的夾角為θ2,則有
(其中g為重力加速度)
由①式和②式消去θ2,得
m2-8mcosθ1+12=0,
即m=4cosθ12.③
∵cosθ2＞0,由②式知,③式中m=4cosθ1-2不合題意,舍去.
又∵4cos2θ1-3≥0,解得≤cosθ1≤1.
經(jīng)檢驗,當cosθ1=時,cosθ2=0,不合題意,舍去.
∴2＜m＜6.
綜上,所求物體的質量在2kg到6 kg之間變動時,系統(tǒng)可保持平衡.
講評：(1)m的范圍是通過函數(shù)y=4x+2的單調(diào)性求得的.(2)實際問題的處理要注意變量的實際意義,本題容易忽略cosθ2＞0的實際限制.
優(yōu)化測控
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)
1.(2006江蘇南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λ,μ的值分別為( )
A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0
解析：∵c=λa+μb=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),而c=(-1,0),∴
∴故選擇D.
答案：D
2.有三個命題：①向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=.其中正確的是( )
A.② B.③ C.①③ D.②③
解析：①與共線，AB與CD也可以平行.②中a與b也可能有0.
答案：B
3.(2006四川成都檢測)設向量a=(cos25,sin25),b=(sin20,cos20),若t是實數(shù),且u=a+t b,則|u|的最小值為( )
A. B.1 C. D.
解析：|a|=|b|=1,ab=sin20cos25+cos20sin25=sin45=,
∴|u|2=|a+t b|2=a2+2t ab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.
∴|u|≥.選C.
答案：C
4.已知|a|=4，|b|=8，且a與2b-a互相垂直，則向量a與b的夾角是( )
A.arccos B.π-arccos C. D.
解析：由a⊥(2b-a),得a(2b-a)=0.
∴2|a||b|cosθ-|a|2=0.
∴cosθ=,θ=arccos.
答案：A
5.(2006北京西城模擬)向量=(1,),=(0,1),若動點P(x,y)滿足條件則P(x,y)的變動范圍(不含邊界的陰影部分)是( )
解析：=(1,),=(0,1).
設P(x,y),則=(x,y),
∵即
經(jīng)分析，選A.
答案：A
6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a為實數(shù)，O為原點，當這兩向量的夾角在(0,)變動時，a的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(,) C.(,1)∪(1,) D.(1,)
解析：只需保證直線AO和OB的夾角為此范圍就行，顯然kOA=1,kOB=a.應用夾角公式tanθ=||<,可得選項C.
答案：C
7.已知向量m與向量n互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),則n等于( )
A.(1,-2) B.(-2,1)
C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)
解析：設n=(x,y),由題意設解得或
∴n=(1,-2)或(-1,2).
答案：D
8.已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上(不包括端點A、C)，則等于( )
A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,)
解析：由平行四邊形法則及共線的充要條件容易得到選項A.
答案：A
9.(2006西安五校聯(lián)考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+λb與向量-b互相垂直，則實數(shù)λ的值為( )
A. B. C.2 D.-
解析：a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b)，則-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-.故選D.
答案：D
10.若a與b的夾角為60，|b|=4，(a+2b)(a-3b)=-72，則向量a的模是( )
A.2 B.4 C.6 D.12
解析：由題意知a2-ab-6b2=-7a,把|b|=4,cos60=代入得|a|2-2|a|-24=0.∴|a|=6或|a|=-4(舍).
答案：C
11.命題p:△ABC及點G滿足++=0；命題q：G是△ABC的重心，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件
解析：若G是△ABC的重心，由課本例題可知，++=0成立.若++=0，則+=-，可證CG必經(jīng)過AB的中點.
答案：C
12.在平面直角坐標系中，O為原點，=a,=b，對任意一點M，它關于A的對稱點為S，S關于點B的對稱點為N，則用a、b表示為( )
A.2(b-a) B.(a-b) C.a+b D.(a+b)
解析：=+=2+2=2-2(四邊形OASB是平行四邊形).
答案：A
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分，共16分)
13.=3e1,=3e2,且=,則=__________________________.
解析：=3e2-3e1,==e2-e1,=+=2e1+e2.
答案：2e1+e2
14.(2006北京海淀模擬)若向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量2a-b的坐標是_______________；ab=_______________________.
解析：a=(3,2),b=(0,-1),∴2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),ab=30+2(-1)=-2.
答案：(6,5) -2
15.若對n個向量a1,a2,…,an存在n個不全為零的實數(shù)k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱向量a1,a2,…,an為“線性相關”.依此規(guī)定，能說明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“線性相關”的實數(shù)k1、k2、k3依次可以取_____________________________(寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況).
解析：設k1a1+k2a2+k3a3=0,
即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0).
∴
∴k1=-4k3,k2=2k3.
取k3=1得一組k1、k2、k3依次為-4、2、1.
答案：-4、2、1
16.(2006江蘇南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為__________.
解析：∵c=a-b且c⊥a,∴ca=0,即(a-b)a=0,a2=ab=1,cos〈a,b〉==.∴〈a,b〉=.
答案：
三、解答題(本大題共6小題，共74分)
17.(本小題滿分12分)已知向量a=(3，-4)，求：
(1)與a平行的單位向量b；
(2)與a垂直的單位向量c；
(3)將a繞原點逆時針方向旋轉45得到的向量e的坐標.
解：(1)設b=λa,則|b|=1，b=(,-)或b=(-,).
(2)由a⊥c，a=(3,-4),可設c=λ(4,3),求得c=(,)或c=(-,-).
(3)設e=(x,y),則x2+y2=25.
又ae=3x-4y=|a||e|cos45,即3x-4y=,由上面關系求得e=(,-)或e=(-,-).
而向量e由a繞原點逆時針方向旋轉45得到，故e=(,-).
18.(本小題滿分12分)已知a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊,
(1)若△ABC面積為,c=2,A=60,求a、b的值；
(2)若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀，證明你的結論.
解：(1)由已知得=bcsinA=bsin60,
∴b=1.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=3,
∴a=.
(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,
∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.
由已知A、B為三角形內(nèi)角，∴A+B=90或A=B.
故△ABC為直角三角形或等腰三角形.
19.(本小題滿分12分)向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(sinθ,1),其中θ∈(0,).
(1)求ab-cd的取值范圍；
(2)若函數(shù)f(x)=|x-1|,判斷f(ab)與f(cd)的大小，并說明理由.
解：(1)ab=2+cos2θ,cd=2sin2θ+1=2-cos2θ,
∵ab-cd=2cos2θ,
∴0<θ<.∴0<2θ<.
∴00.
∴f(ab)>f(cd).
20.(本小題滿分12分)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足下列條件：(1)A0).
(1)用k表示ab;
(2)求ab的最小值，并求此時a與b夾角的大小.
解：(1)將|ka+b|=|a-kb|兩邊平方得
ab==.
(2)∵(k-1)2≥0,又k>0,∴≥=,即ab≥,cosα=.又0≤α≤180，故a與b的夾角為60.
22.(本小題滿分14分)已知平面向量a=(，-1)，b=(,),
(1)證明a⊥b；
(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y，試求函數(shù)關系式k=f(t);
(3)據(jù)(2)的結論，確定函數(shù)k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.
(1)證明：ab=(,-1)(,)=-=0,∴a⊥b.
(2)解：∵x⊥y,∴xy=0且ab=0,a2=4,b2=1.
整理得-4k+t(t2-3)=0.
∴k=t(t2-3).
(3)解：記f(t)=(t3-3t),
∴f′(t)=t2-.
令f′(t)>0,得t<-1或t>1.
因此，當t∈(-∞,-1)時，f(t)是增函數(shù)；
當t∈(1,+∞)時，f(t)也是增函數(shù).
再令f′(t)<0得-1
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